La integral n n Determina la antiderivada ms

La integral n n Determina la antiderivada más general. Interpreta la integral y su relación con la derivada. Define la integral definida. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano. 1

Antiderivadas Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua. 2

Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria. Teorema: Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I. 3

INTERPRETACION GEOMETRICA 4

INTERPRETACION GEOMETRICA 5

INTERPRETACION GEOMETRICA 6

INTERPRETACION GEOMETRICA 7

Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones. 8

Función Antiderivada particular 9

INTEGRAL DEFINIDA Y CALCULO DE ÁREAS ¿Área? A 3 A 4 A 2 A 1 10

11

Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: 12

No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. Limite superior Limite Inferior Integrando El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración. 13

2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función continua en [a, b] y F una antiderivada de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación. 14

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene: Propiedad de linealidad 15

2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración 16

La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar: 17

3. Y representa el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a). 18

DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces: 19

Definición: Sea f una función contínua tal que: • f(x) 0 en [a, b] y • S={(x, y)/ a x b, 0 y f(x)} Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por: A(S) = b ò f (x) dx a 20

y f(x) y = f(x) dx d. A = f(x)dx 0 a dx b x 21

Ejemplo 1: Calcular el área de la región: S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x 2 + 1} 22

y d g(y) dy dy x = g(y) d. A = g(y)dy c 0 x 23

Ejemplo 2: Hallar el área de la región limitada por y = 2 x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura. 24

f(x) y - g(x) y = f(x) dx 0 a dx b x d. A =[f(x) - g(x)]dx y = g(x) 25

3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x 3 ; y 1 x -1 1 -1 26

4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; 27