APLIKASI INTEGRAL INTEGRAL Standar kompetensi Menggunakan konsep integral

  • Slides: 45
Download presentation
APLIKASI INTEGRAL

APLIKASI INTEGRAL

INTEGRAL Standar kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar: 1. Memahami

INTEGRAL Standar kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar: 1. Memahami konsep integral tak tentu dan tentu 2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri 3. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar a. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. b. Menghitung volume benda putar.

PENERAPAN INTEGRAL Standar kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. Tacoma Bridge, Washington,

PENERAPAN INTEGRAL Standar kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. Tacoma Bridge, Washington, 1940 • Encarta Encyclopedia

History of Tacoma Bridge • The original Tacoma Narrows Bridge stretched 1, 810 m

History of Tacoma Bridge • The original Tacoma Narrows Bridge stretched 1, 810 m (5, 940 ft) across a narrow channel of Puget Sound near Tacoma, Washington. After two years of construction, the bridge opened to traffic on July 1, 1940. Four months later the bridge collapsed during a windstorm with gusts that reached 68 km/h (42 mph). The catastrophe was attributed to faulty design. Instead of allowing the wind to pass through, the suspended girders caught the wind, causing the bridge to buck and roll. The bucking motion earned the bridge the nickname Galloping Gertie. The stronger the wind blew, the more violently the structure oscillated, until it finally broke apart and crashed into the water. In 1992 the bridge’s sunken remains were placed on the United States National Register of Historic Places. • Encarta Encyclopedia • Archive Photos • Microsoft ® Encarta ® 2008. © 1993 -2007 Microsoft Corporation. All rights reserved.

The Akashi Kaikyo Bridge in Japan is the longest suspension bridge in the world.

The Akashi Kaikyo Bridge in Japan is the longest suspension bridge in the world. Completed in 1998, it measures 1. 99 km (1. 24 mi) between its two supporting towers. The bridge connects the city of Kōbe with Awaji Island carries both road and rail traffic. Built to withstand earthquakes, the bridge survived a 1995 tremor measuring 7. 2 on the Richter scale. Microsoft ® Encarta ® 2008. © 19932007 Microsoft Corporation. All rights reserved.

Minaret of the Great Mosque at Sāmarrā’ This spiral minaret, where the muezzin once

Minaret of the Great Mosque at Sāmarrā’ This spiral minaret, where the muezzin once called the faithful to prayer, is the only surviving feature of the Great Mosque at Sāmarrā’, Iraq. At the time of its construction (848 -852), the Great Mosque at Sāmarrā’ was the largest Islamic mosque in the world. SEF/Art Resource, NY • .

The Golden Gate Bridge links the city of San Francisco with Marin County to

The Golden Gate Bridge links the city of San Francisco with Marin County to the north. The suspension bridge was opened in 1937 and since then has been one of the principal landmarks of both San Francisco and California

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu -sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. Luas daerah

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu -sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. Volume benda putar

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu -sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat : 1. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. 2. Menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah. 3. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya. 4. Merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu -sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. Indikator 1 Indikator 2 9 Luas daerah di bawah kurva Volume benda putar, jika kurva diputar mengelilingi sumbu Y

Luas Daerah Luas Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu

Luas Daerah Luas Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Contoh 1 : Hitunglah nilai dari Jawab = = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] Home = 16 – 8 + 2 = 12 Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi y Integral y Tentukan limitnya n x x 0 Home a x b 0 a b Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Kegiatan pokok dalam menghitung luas y xi daerah

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Kegiatan pokok dalam menghitung luas y xi daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya Li 3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li f(xi) xi 4. Jumlahkan luas partisi x xi 0 L f(xi) xi a 5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 1. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 1. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu x, dan garis x = 3 Jawab Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya y xi 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya Li xi 2 xi 4. Jumlahkan luasnya L xi 2 xi 5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim xi 2 xi 6. Li 6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya Home x 0 xi Back 3 Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 2. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 2. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu Y, dan garis y = 4 Jawab y Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 4 xi 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya L xi. y 4. Jumlahkan luasnya L y. y 5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim y. y 6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya Home x 0 Back Next

Luas Daerah Luas Menghitung Luas dengan Integral Contoh 3. Hitunglah luas daerah tertutup yang

Luas Daerah Luas Menghitung Luas dengan Integral Contoh 3. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4 x - x 2, sumbu x, dan garis x = 6 Jawab y Langkah penyelesaian: xi 1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li (4 xi - xi 2) xi dan Aj -(4 xj - xj 2) xj 3. Jumlahkan : L (4 xi - xi 2) xi dan Li 0 xj 4 xi A -(4 xj - xj 2) xj 6 xj x Aj 4. Ambil limitnya L = lim (4 xi - xi 2) xi dan A = lim -(4 xj - xj 2) xj 5. Nyatakan dalam integral Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral y xi Li 0 xj 4 xi 6

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral y xi Li 0 xj 4 xi 6 xj x Aj Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Kesimpulan : y y xi x 0 Home

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Kesimpulan : y y xi x 0 Home x 0 Latihan 9 hal 35 no 1 – 25 Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: y x 1. Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim [ f(x) – g(x) ] x Li 0 x a b x 6. Nyatakan dalam integral tertentu Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 4. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 4. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2 dan garis y = 2 - x Jawab Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x 2 = 2 – x x 2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (2 - x 2) x 5. Nyatakan dalam integral tertentu y 5 x 4 3 Li 2 1 x -3 Home -2 -1 x 0 1 Back 2 Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral y 5 x 4 3 Li 2 1

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral y 5 x 4 3 Li 2 1 x -3 Home -2 -1 x 0 1 Back 2 Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Untuk kasus tertentu pemartisian y secara vertikal menyebabkan

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Untuk kasus tertentu pemartisian y secara vertikal menyebabkan ada x dua bentuk integral. Akibatnya Li x diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. Ai 0 a x b Luas daerah = Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y d Li y x 0 c Luas daerah = Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 5. Hitunglah luas daerah di kuadran I

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 5. Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y 2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y 2 = 6 – y y 2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (6 - y 2) y 5. Nyatakan dalam integral tertentu y 6 2 Luas daerah = Home y Li y 6 x 0 Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Luas daerah = y Luas daerah = 6

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Luas daerah = y Luas daerah = 6 Luas daerah = 2 Luas daerah = y Li y 6 x 0 Luas daerah = Latihan 10 hal. 38 no. 1 – 25 Home Back Next

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan

PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu -sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. Volume benda putar

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Home Gb. 4 Back Next

Volume Benda Putar Volume Pendahuluan Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

Volume Benda Putar Volume Pendahuluan Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y y y 4 3 0 x 2 x 1 x 2 Home 1 0 1 Back 2 Next

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y Bentuk cakram di samping dapat x dianggap

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y Bentuk cakram di samping dapat x dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r 2 h atau V f(x)2 x. Dengan cara jumlahkan, ambil a x x y limitnya, dan nyatakan dalam integral h= x diperoleh: V f(x)2 x V = lim f(x)2 x x 0 x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y y x a x x h= x

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y y x a x x h= x y x 0 h= y y x x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram Contoh 6. Hitunglah volume benda putar yang terjadi

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram Contoh 6. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab y Langkah penyelesaian: y 1. Gambarlah daerahnya x h= x 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 1 x 2 x x 4. Nyatakan dalam bentuk integral. Home x Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y h= x x x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y h= x x x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram Contoh 7. Hitunglah volume benda putar yang terjadi

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram Contoh 7. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y Jawab Langkah penyelesaian: 2 1. Gambarlah daerahnya y 2. Buatlah sebuah partisi y 3. Tentukan ukuran dan bentuk x y partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home h= y y x Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y y = x 2 2 h= y

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y y = x 2 2 h= y y x Home Back Next

Metode Cincin Volume Benda Putar Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar

Metode Cincin Volume Benda Putar Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. Home Back Next

Volume Benda Putar Metode Cincin Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode R cincin

Volume Benda Putar Metode Cincin Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode R cincin dilakukan dengan h r memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R 2 – r 2)h dan Home Back Next

Volume Benda Putar Metode Cincin Contoh 8. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika

Volume Benda Putar Metode Cincin Contoh 8. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan garis y = 2 x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab Langkah penyelesaian: y y 1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi y = 2 x 4 x 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan x 2 x x 2 x nyatakan dalam bentuk integral. Home Back Next

Volume Benda Putar Metode Cincin V (R 2 – r 2) h V [

Volume Benda Putar Metode Cincin V (R 2 – r 2) h V [ (2 x)2 – (x 2)2 y ] x y = 2 x 4 x R=2 x r=x 2 x y x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung Contoh 9. Hitunglah volume benda putar yang

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung Contoh 9. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab Langkah penyelesaian: y 1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home 4 3 x 2 1 x 0 x 1 2 Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung Jika daerah pada contoh ke-9 tersebut dipartisi

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung Jika daerah pada contoh ke-9 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. y y 4 4 3 3 R=2 2 2 r=x y 1 1 x 0 Home x 1 2 x -2 -1 0 1 2 Back Next

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung r r h a b h V

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung r r h a b h V = 2 rhΔr 2 r Home Δr Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung y y 4 4 3 x r=x

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung y y 4 4 3 x r=x 2 2 x 2 1 1 h = x 2 x 0 x 1 2 0 1 2 V 2 rh x V 2 (x)(x 2) x V 2 x 3 x V = lim 2 x 3 x Home Back Next