MATEMTICA CERO TEORA DE CONJUNTOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

MATEMÁTICA CERO TEORÍA DE CONJUNTOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

El líder exitoso debe entender y aplicar el principio del esfuerzo cooperativo y ser capaz de inducir a sus seguidores a hacer lo mismo. El liderazgo exige poder y el poder exige cooperación.

CASO Recientemente los estudiantes del colegio están empleando el uso de tecnología para complementar su aprendizaje. Se realizo una encuesta sobre el tipo de aparato tecnológico que prefieren, los resultados fueron los siguientes : 60 preeren laptop, 25 preeren tablet, 10 prefieren smartphone, 2 prefieren los tres aparatos, 10 prefieren laptop y tablet, 4 prefieren tablet y smartphone, 4 ninguno, 70 no prefieren smartphone. Preguntas: a) 1 a) Cuantos estudiantes prefieren únicamente laptop? 2 b) Cuantos estudiantes prefieren laptop y smartphone? 4 d c) Cuantos estudiantes prefieren al menos un aparato? 5 d) Cuantos estudiantes fueron encuestados?

LOGRO DE LA SESIÓN Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve o trasforma situaciones problemáticas vinculadas a los negocios y gestión a partir del manejo de la teoría de conjuntos, especificando de manera clara y precisa las conversiones y/o posibles soluciones encontradas a los casos.

NOCIÓN DE CONJUNTO Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida (es decir que siempre es posible determinar si un elemento pertenece o no al conjunto) de objetos de una misma clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados elementos del conjunto. NOTACIÓN: mayúscula minúsculas

RELACIÓN DE INCLUSIÓN Sean A y B dos conjuntos cualquiera no vacios. Se dice que A esta incluido en B, cuando todo elemento de A también es elemento de B. Ejemplo: entonces decimos que B está incluido en A. A B

Conjuntos disjuntos Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Ejemplo: C D

CARDINAL DE UN CONJUNTO: N(A) Es el número de elementos que tiene un conjunto. Ejemplos: A = { 28, 10, 98, 465 } Card(A)=n(A)=4 Q = { x/x es letra de la palabra saber} n(Q)=5 T = { x/x son las vocales de la palabra beso} n(T)=2

Conjunto Potencia: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar con un conjunto dado; denotado por: Ejemplo: OBSERVACIÓN

3) Sean A y B dos conjuntos comparables y diferentes del nulo o vacío, además el card P(A) = 256. Si card(B)–card(A)=3, determine el card P(B) Solución: Hallando n(A)= card(A): Hallando n(B): Finalmente, hallando n(P(B)):

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS A B Intersección Unión A B

Diferencia Simétrica Es decir: B A A B

Complemento A A’ U

CASO: CANTANTES De un grupo de 200 personas, se determina que 80 eran mudos, 70 cantantes y 90 ciegos. De estos últimos, los mudos eran tantos como los cantantes. Si los que no son cantantes ni mudos ni ciegos son 20, ¿cuántos solo cantan? a) 40 b) 28 c) 29 d) 30 e) 39

DIAGRAMAS DE VENN Y DE CARROL Los diagramas de Venn y de Carrol sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada, como ase muestra abajo A 7 1 9 4 8 3 6 e 5 2 Diagramas de Venn T o i a u Diagrama de Carrol

4. En una reunión de la tercera edad, se realiza una encuesta a 56 abuelitas sobre sus preferencias en el lavado, planchado y en la cocina, obteniéndose: • De las que tienen menos de 70 años, a 12 les gusta lavar, a 6 solo cocinar y a 8 solo planchar. • De las que tienen 70 años o más, a 5 les gusta cocinar pero no planchar, a 10 solo lavar y a 4 solo planchar. Si a 5 abuelitas no les gusta realizar ninguna de las tres actividades y a ninguna abuelita que le gusta lavar, le gusta planchar. ¿A cuántas abuelitas les gusta planchar?

7. En un instituto de idiomas donde se dan clases de inglés, alemán y francés, se observa que de los que estudian alemán, ninguno estudia francés. De los 15 que estudian alemán 3 estudian inglés, de los 15 que estudian francés, 4 estudian inglés; además la mitad de los que estudian inglés, estudian otro idioma. ¿Cuántos alumnos estudian en dicho instituto? Solución: Si de los que estudian alemán ninguno estudia francés, entonces el gráfico es De los 15 que estudian alemán 3 estudian inglés, por tanto De los 15 que estudian francés, 4 estudian inglés, entonces 15 - 3 F I A 3 x 4 15 - 4 Representemos por x a aquellos que estudia solo ingles Además como la mitad de los que estudian inglés, estudian otro idioma, estaría representado por: Respuesta: En dicho instituto estudian 15+7+15 = 37 alumnos

9. A un espectáculo asisten 820 personas, de las cuales, 546 personas son mayores de edad, 435 son varones y 176 varones son menores de edad. ¿Cuántas damas menores de edad asistieron al espectáculo?

11. En una fiesta donde había 120 personas, a 30 hombres no les gustaba la música de la orquesta y 50 mujeres gustaban de la orquesta. Si el número de hombres que gustaban de la música de la orquesta es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esa música. ¿A cuántos le gustaba la música de la orquesta? Solución: 30 hombres no les gustaba la orquesta 50 mujeres gustaban de la orquesta O 30 Consideremos los conjuntos H, M y O en el gráfico x H M Sea “x” el numero de hombres que gustan de la orquesta y “y” mujeres que no gustan de la orquesta 50 y Si el número de hombres que gustaban de la música de la orquesta es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esa música. Por último tenemos que, total de personas 120, entonces tenemos que Por lo tanto 50 + 10 = 60 personas que gustan de la orquesta

12. En una discoteca donde asistieron 200 personas se observó que 60 no fueron con zapatillas, también se notó que algunos tomaban cerveza, pero lo curioso fue que todos los que tomaban cerveza fueron con zapatillas y ninguna mujer tomaba cerveza. Si 18 tomaban cerveza y el número de hombres con zapatillas es el cuádruplo del número de mujeres con zapatillas. ¿Cuántos de los hombres que no toman cerveza fueron con zapatillas?

13. En un ómnibus viajaron 50 personas, de las cuales 22 eran hombres, 18 eran mujeres peruanas y en total había 23 extranjeros. Responde: a) ¿Cuántos pasajeros eran peruanos? b) ¿Cuántas mujeres viajaron en total? c) ¿Cuántos hombres extranjeros viajaron en el ómnibus? d) ¿Cuántas mujeres extranjeras viajaron en total? Solución: Consideremos los conjuntos H, M, P y E en el gráfico P = 27 De los datos: 22 eran hombres. Total de viajeros 50, entonces H = 22 M = 28 18 eran mujeres peruanas 23 extranjeros, entonces 18 a) ¿Cuántos pasajeros eran peruanos? Del gráfico observamos que 27 eran pasajeros peruanos b) ¿Cuántas mujeres viajaron en total? Observamos que 28 mujeres viajaron en total E = 23

Consideremos las variables “x” , “ y” y “w” Del gráfico podemos deducir que y +18 =27, entonces y = 9 P = 27 Además y + x = 22, entonces x = 13 c) ¿Cuántos hombres extranjeros viajaron en el ómnibus? H = 22 y x 18 w M = 28 Viajaron 13 hombres extranjeros Por último del gráfico tenemos que w + 18 = 28, entonces w = 10 d) ¿Cuántas mujeres extranjeras viajaron en total? Viajaron 10 mujeres extranjeras E = 23

15. En una encuesta realizada a 100 personas, todos los hombres tenían más de 20 años, en el grupo hay 50 mujeres. Hay 60 personas de más de 20 años, 25 mujeres casadas, 15 personas casadas con más de 20 años de edad y 10 mujeres casadas con más de 20 años de edad. Determinar la cantidad de hombres solteros.

17. Dos tercios de la facultad de una institución educativa son mujeres. Doce de los hombres de la facultad son solteros, mientras 3/5 de los profesores hombres están casados. El número total de los miembros de la facultad de esa institución es: Solución: Consideremos los conjuntos H, M, S y C en el gráfico Consideremos a “x” número total de los miembros de la facultad H 12 Dos tercios de la facultad de una institución educativa son mujeres, entonces Doce de los hombres de la facultad son solteros 3/5 de los profesores hombres están casados, esto es S Podemos deducir que Por tanto el total de los miembros de la facultad son 90 M C

Resolver el caso

CASO Recientemente los estudiantes del colegio están empleando el uso de tecnología para complementar su aprendizaje. Se realizo una encuesta sobre el tipo de aparato tecnológico que prefieren, los resultados fueron los siguientes : 60 prefieren laptop, 25 preeren tablet, 10 prefieren smartphone, 2 prefieren los tres aparatos, 10 prefieren laptop y tablet, 4 prefieren tablet y smartphone, 4 ninguno, 70 no prefieren smartphone. Preguntas: a) 1 a) Cuantos estudiantes prefieren únicamente laptop? 2 b) Cuantos estudiantes prefieren laptop y smartphone? 4 d c) Cuantos estudiantes prefieren al menos un aparato? 5 d) Cuantos estudiantes fueron encuestados? Solución: Consideremos los conjuntos L, T, y S en el gráfico Según los datos del problema 60 prefieren laptop 8 25 prefieren tablet 2 10 prefieren smartphone 2 prefieren los tres aparatos 10 prefieren laptop y tablet 4 prefieren tablet y smartphone 4 ninguno T= 25 L= 60 2 4 S = 10

Si 25 prefieren tablet, entonces Consideremos la variable “x” en el grafico Entonces deducimos que x 4 a) Cuantos estudiantes prefieren únicamente laptop? Repuesta: 50 – x = 50 -5 = 45 estudiantes b) Cuantos estudiantes prefieren laptop y smartphone? Respuesta: x + 2= 5 + 2 = 7 c) Cuantos estudiantes prefieren al menos un aparato? Respuesta: 45 + 8 + 13 + 5 + 2 + 1 = 76 13 8 50 - x Por último como, 70 no prefieren smartphone, tenemos que d) Cuantos estudiantes fueron encuestados? Respuesta: 76 + 4 = 80 T= 25 L= 60 2 6 -x 2 S = 10

AUTOEVALUACIÓN 1) Calcule el cardinal del conjunto B 2) De 50 alumnos, 30 estudian Matemática y 25 Historia. Además, 21 estudian Matemática e Historia. ¿Cuántos alumnos no estudian ni Matemática, ni Historia? 3) De 100 personas encuestadas, 40 sólo trabajan, 48 no estudian y 45 no trabajan. ¿Cuántas personas estudian y trabajan? 4) A una reunión donde asistieron 70 personas, 40 son hombres y 16 mujeres son casadas ¿Cuántos solteras asistieron a la reunión?

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