Il corpo rigido un particolare sistema di punti

Il corpo rigido • È un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo – un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate. Il corpo rigida conserva la sua forma. • I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. – Il corpo rigido è un’astrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi – Ci saranno corpi il cui comportamento, in particolari condizioni, può essere descritto come quello di un corpo rigido. – Un corpo rigido non può avere moti caratterizzati da una variazione delle dimensioni del corpo stesso (vibrazioni, maree, etc. ) discreto n numero di punti continuo Infiniti punti G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Le equazioni a disposizione • Corpo rigido = sistema di punti materiali: • I e II legge della dinamica dei sistemi. • Due equazioni vettoriali – Equivalenti a sei equazioni scalari • Poiché le distanze tra due punti qualsiasi di un corpo rigido si mantengono costanti – Il lavoro delle forze interne è nullo. • Il teorema delle forze vive diventa: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La terna solidale • E’ una terna con origine in un particolare punto del corpo rigido e assi che passano per punti fissi del corpo rigido y’ corpo rigido O’ P Terna solidale L’asse z’ è perpendicolare alla figura uscente dal foglio. x’ • Ogni punto del corpo rigido, proprio per la definizione del corpo rigido, occupa una posizione fissa in questa terna. • Descrizione del moto di un CR: – trovo la posizione di tutti i punti del CR all’istante di tempo iniziale to rispetto alla terna solidale (questa posizione è costante modulo direzione e verso) – trovo la posizione della terna solidale in un istante successivo t. – Utilizzando la posizione di ciascun punto del CR rispetto alla terna solidale determinata all’istante iniziale, posso determinare la posizione di ciascun G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03 punto all’istante t.

I moti del corpo rigido: la traslazione y’ • Traslazione – Le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi) – Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo P CM O’ x’ • Spostamento che è lo stesso di quello subito dal centro di massa • Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa – È sufficiente determinare il moto del centro di massa, utilizzando la I equazione cardinale della dinamica dei sistemi. – La II equazione richiede che il momento risultante valutato rispetto al centro di massa sia nullo. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

I moti del corpo rigido: la rotazione • Rotazione – Tutti i punti subiscono lo stesso spostamento angolare nello stesso intervallo di tempo – Tutti i punti si muovono con la stessa velocità ed accelerazione angolare rispetto all’asse di rotazione y’ P P y’ P • Il piano della traiettoria è perpendicolare all’asse di rotazione • Il centro della traiettoria circolare è il punto comune dell’asse di rotazione e del piano della traiettoria P x’ x’ x ’ x’x’ x’’ x x’ – Tutti i punti si muovono su traiettorie circolari attorno all’asse di rotazione OO’ ’’’ OO O’ P y’ • Asse di rotazione (asse fisso) • L’asse z’ nel caso dell’animazione OOO’’’ – Le orientazioni degli assi della terna solidale non rimangono costanti – Esiste un insieme di punti, allineati su una retta, che rimangono fermi y’ y’ y’ y P P’ y’ P y’ y’ P P Dq O’ O’ x’ G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03 x

I moti del corpo rigido: la rotazione • Rotazione – La velocità di ciascun punto è tangente alla traiettoria circolare – Il modulo della velocità è proporzionale alla distanza del punto considerato dall’asse di rotazione – Anche l’accelerazione tangenziale è proporzionale alla distanza dall’asse di rotazione y’ y’ P P v Dq O’ O’ x’ x’ – Così come lo è l’accelerazione centripeta G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• • Un volano di diametro di 1. 20 m gira a velocità angolare di 200 giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s? Applica zione G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• • Un volano di diametro di 1. 20 m gira a velocità angolare di 200 giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s? Applica zione G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

I moti del corpo rigido: la rotatraslazione y’ P y’ • Rototraslazione – In generale il moto di un corpo rigido sarà la composizione di un moto di traslazione – più un moto di rotazione y’P y’ y’ • Attenzione: non è detto che l’asse di rotazione si mantenga fisso • Esso può cambiare sia in posizione che in orientazione P y’ O’O’ O’ O O’ ’ x’ x’ P P O’ O’ O’ x’ x’ x’ – Un moto comunque complesso può sempre essere immaginato come la sovrapposizione del moto del CM (I equazione cardinale) – Più un moto di rotazione attorno al centro di massa (II equazione cardinale) – Noi non affronteremo il caso generale P • Ci occuperemo del moto di rotazione attorno ad un asse fisso • Moto di puro rotolamento (il moto delle ruote) G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

I gradi di libertà del corpo rigido • • Le equazioni a disposizione sono sufficienti a risolvere il moto del corpo rigido? Quante coordinate ci servono per individuare la posizione del corpo rigido nello spazio? – Abbiamo detto che la posizione nello spazio di un CR è determinata se conosciamo la posizione nello spazio della terna solidale! • Osserviamo che per conoscere la posizione della terna basta fornire le posizioni dell’origine O’ del punto P 1 sull’asse x’ e del punto P 2 sull’asse y’. – Con questi tre punti si determinerà la posizione dell’origine e i due assi x’, y’. – L’asse z’ sarà automaticamente determinato dovendo passare per l’origine ed essere perpendicolare agli altri due. • • Occorrono dunque nove coordinate (tre per ciascun punto) Ma i tre punti non sono liberi di assumere delle posizioni arbitrarie – Facendo parte del CR le loro mutue distanze devono restare costanti! y’ P 2 CM O’ P 1 x’ G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

I gradi di libertà del corpo rigido • • Esistono quindi tre relazioni tra le nove coordinate dei punti O’, P 1 e P 2. Quindi solo sei di esse possono essere scelte in maniera indipendente. – Una volta scelte le prime sei le ultime tre vengono determinate dalle relazioni tra le coordinate. • I gradi di libertà di un corpo rigido, ossia le coordinate indipendenti sono solo sei (nove complessive meno tre relazioni) y’ P • 2 D’altro lato abbiamo a disposizione 6 equazioni – La prima e la seconda equazione cardinale • • Sei equazioni e sei coordinate da determinare Dovrebbero essere sufficienti per descrivere il moto di un corpo rigido. CM O’ P 1 x’ G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Moto di rotazione attorno ad un asse fisso: determinazione dell’energia cinetica • Consideriamo un corpo rigido discreto (fatto da n punti materiali) in rotazione attorno ad un asse fisso. • Tutti i punti si muovono attorno all’asse con la stessa velocità angolare. • Consideriamo l’i-esimo punto materiale. – Il mdulo della sua velocità: • La sua energia cinetica: • L’energia cinetica di tutto il sistema: Momento di inerzia G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto all’asse di rotazione mi = massa della i-esima particella Ri = distanza dell’i-esima particella dall’asse di rotazione • • Il momento di inerzia dipende dalle masse dei punti che costituiscono il corpo rigido Ma soprattutto dalla distribuzione della massa attorno all’asse di rotazione • Per i corpi continui: dm = massa contenuta nell’elemento infinitesimo d. V dm=rd. V R = distanza dell’elemento d. V dall’asse di rotazione Per un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso, l’energia cinetica è data da: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Momento di inerzia di un punto materiale di massa M • Consideriamo la situazione in figura: • Applichiamo la definizione: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse • Consideriamo la situazione della figura: • Supponiamo che l’anello ruoti attorno un asse, perpendicolare all’anello passante per il suo centro (asse dell’anello). • Indichiamo con l la densità lineare dell’anello: • Consideriamo un elemento dell’anello: • a cui corrisponde la massa: • Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: • I=MR 2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse • Consideriamo la situazione di figura: • Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco). • Indichiamo con s la densità superficiale del disco: • Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa: • a cui corrisponde un momento di inerzia: • Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Momento di inerzia di un cilindro omogeneo di massa M e raggio R e altezza h rispetto al proprio asse • Consideriamo la situazione di figura: • Supponiamo che il cilindro ruoti attorno al proprio asse. • Indichiamo con r la densità del cilindro: • Suddividiamo il cerchio in tanti strati infinitesime di altezza dz. A tutti gli effetti ogni strato può essere considerato un disco di massa: • a cui corrisponde un momento di inerzia: • Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: • Come il disco G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo • Consideriamo la situazione della figura: • Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo. • Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. • Introduciamo un sistema di riferimento come in figura • Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, – indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo – La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per il centro • Consideriamo la situazione della figura: • Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per il suo centro. • Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. • Introduciamo un sistema di riferimento come in figura • Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, – indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo – La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Tabella riassuntiva G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il teorema di Steiner • il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma – del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa – e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi: y’ y yi y’i mi R’i Ri P h CM x’ i b a xi x’ x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il teorema di Steiner • Dimostriamo per un CR discreto: Distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione passante per il CM y’ y yi y’i mi R’i Distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione passante per il punto P Ri P h CM x’ i b a xi x’ x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Verifica del teorema di Steiner • Momento di inerzia di una sbarra rispetto all’asse della sbarra • Momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un asse passante per un estremo • Verifica del teorema di Steiner G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• • • Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5. 20 m ed ha una massa di 240 kg Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili) Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min? Applica zione G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0. 5 kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1 kg di 20 cm di diametro. Determinare il momento di inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all figura passante per l’estremo superiore della sbarretta. y Applic azione Asse di rotazione x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03