La fattorizzazione dei polinomi Cos la fattorizzazione Fattorizzare

La fattorizzazione dei polinomi Cos’è la fattorizzazione Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori primi. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. Metodi di scomposizione I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri: • i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale • il riconoscimento di prodotti notevoli • la regola del trinomio caratteristico • l’individuazione dei divisori della forma x – a 1

La fattorizzazione dei polinomi Raccoglimenti RACCOGLIMENTO TOTALE A FATTOR COMUNE • Si individua il M. C. D. fra i termini del polinomio • Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune per il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei suoi monomi per il M. C. D. calcolato. ESEMPIO 5 mn – 10 mn 2 + 15 m 2 n = 5 m n – 2 5 m n n + 3 5 m m n = = 5 mn(1 – 2 n + 3 m) 2

La fattorizzazione dei polinomi Raccoglimenti RACCOGLIMENTO PARZIALE A FATTOR COMUNE Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini, in modo tale che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale. ESEMPIO 2 ay + 2 by + ax + bx = 2 y(a + b) + x(a + b) = (a + b) (2 y + x) raccoglimento parziale raccoglimento totale 3

La fattorizzazione dei polinomi Riconoscimento dei prodotti notevoli TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a 2 − 2 ab + b 2 = (a − b)2 = (b – a)2 ESEMPI 1. a 2 + 8 a + 16 = (a + 4)2 (a)2 (4)2 2 a 4 4

La fattorizzazione dei polinomi 2. Riconoscimento dei prodotti notevoli 9 x 2 – 12 xy + 4 y 2 = (3 x – 2 y)2 = (2 y – 3 x)2 (2 y)2 2 3 x 2 y 3. 4 a 2 – 6 xy + 9 x 2 (2 a)2 non è lo sviluppo di un quadrato (3 x)2 2 a 3 x 5

La fattorizzazione dei polinomi Riconoscimento dei prodotti notevoli POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc= (a + b + c)2 ESEMPI 1. a 2 + 2 ab + b 2 + 4 a + 4 b + 4 = (a + b + 2)2 (a)2 (b)2 2 a b (2)2 2 a 2 2 b 2 6

La fattorizzazione dei polinomi Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPI x 2 + 4 y 6 + 9 − 4 xy 3 + 6 x − 12 y 3 Tenendo conto dei segni dei doppi prodotti: x e 3 hanno lo stesso segno (x)2 x e 2 y 3 hanno segni discordi 2 y 3 e 3 hanno segni discordi (2 y 3)2 (3)2 2 x 2 y 3 (x − 2 y 3 + 3)2 oppure (− x + 2 y 3 – 3) 2 x 3 2 2 y 3 3 7

La fattorizzazione dei polinomi Riconoscimento dei prodotti notevoli DIFFERENZA DI QUADRATI a 2 − b 2 = (a + b) (a – b) ESEMPI 1. 9 x 2 − y 2 = (3 x + y) (3 x – y) (3 x)2 (y)2 2. 9 z 2 − (z + 5)2 = [3 z + (z + 5)] [3 z – (z + 5)] = (3 z)2 (z + 5)2 = (3 z + z +5) (3 z – 5) = = (4 z + 5) (2 z – 5) = 8

La fattorizzazione dei polinomi Riconoscimento dei prodotti notevoli QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 = (a + b)3 a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 = (a − b)3 ESEMPIO 1. x 3 + 6 x 2 y + 12 xy 2 + 8 y 3 = (x + 2 y)3 (x)3 (2 y)3 3 (x)2 (2 y) 3 x (2 y)2 9

La fattorizzazione dei polinomi Riconoscimento dei prodotti notevoli 2. a 6 − 9 a 4 b + 27 a 2 b 2 − 27 b 3 = (a 2 − 3 b)3 (a 2)3 (− 3 b)3 3(a 2)2 (− 3 b) 3(a 2) (− 3 b)2 10

La fattorizzazione dei polinomi Forma del trinomio caratteristico: Trinomio caratteristico x 2 + (a + b)x + ab Procedura di scomposizione • si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x 2 + ax + bx + ab • Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a) • Si esegue un raccoglimento totale: (x + a) (x + b) Regola di scomposizione: x 2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) ESEMPIO x 2 + 5 x + 6 = x 2 + (2 + 3)x + 2 3 = (x + 2) (x + 3) somma prodotto 11

La fattorizzazione dei polinomi Ricerca dei divisori di un polinomio • Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a). • Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0. • Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x). ESEMPIO x 3 + 4 x 2 + x − 6 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 12

La fattorizzazione dei polinomi Ricerca dei divisori di un polinomio Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. ESEMPIO 2 x 3 + 3 x 2 + 11 x + 6 Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 Divisori di 2: ± 1, ± 2 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 3 1 , ± 2 2 13

La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini ESEMPIO P(x) = 2 x 3 + 9 x 2 + 7 x – 6 • Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± • Calcolo di P(a): 3 1 , ± 2 2 P(1) = 2 + 9 + 7 – 6 ≠ 0 P(− 1) = − 2 + 9 − 7 – 6 ≠ 0 P(− 2) = − 16 + 36 − 14 – 6 = 0 continua 14

La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini • Divisione con la regola di Ruffini 2 9 − 4 2 5 − 2 • 1 a scomposizione di P(x): (x • Scomponiamo 7 − 6 − 10 6 − 3 0 + 2) (2 x 2 + 5 x – 3) Q(x) = 2 x 2 + 5 x – 3 seguendo i passi precedenti: § Possibili valori di a: ± 1, ± 3 2 Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) ≠ 0 § Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0 Q(− 3) = 18 − 15 – 3 = 0 continua 15

La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini 2 § Regola di Ruffini 2 Quindi: − 3 − 6 +3 − 3 § scomposizione: 5 − 1 0 (x + 3) (2 x – 1) 2 x 3 + 9 x 2 + 7 x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2 x – 1) 16

La fattorizzazione dei polinomi Somma e differenza di cubi Applicando il metodo di Ruffini si ottengono le seguenti scomposizioni: • somma di cubi: x 3 + a 3 = (x + a) (x 2 – ax + a 2) somma delle basi quadrato della prima base quadrato della seconda base prodotto cambiato di segno delle due basi • differenza di cubi: x 3 − a 3 = (x − a) (x 2 + ax + a 2) differenza delle basi ESEMPIO x 3 – 27 = (x – 3) (x 2 +3 x + 9) 8 y 3 + 1 = (2 y + 1) (4 y 2 − 2 y + 1) 17

La fattorizzazione dei polinomi Somme e differenze di potenze Ricorda che: • Qualunque differenza di potenze pari può essere interpretata come differenza di quadrati. ESEMPI x 4 – 1 = (x 2)2 – (1)2 = (x 2 – 1) (x 2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) x 6 − 1 = (x 3 – 1) (x 3 + 1) = (x – 1) (x 2 + x + 1) (x +1) (x 2 – x + 1) differenza di cubi somma di cubi • Le somme di potenze con esponenti multipli di 3 possono essere scomposte come somme di cubi. ESEMPIO x 6 + 1 = (x 2)3 + 1 = (x 2 + 1) (x 4 − x 2 + 1) somma di cubi 18

La fattorizzazione dei polinomi Sintesi Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni: • controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale • riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un: binomio trinomio quadrinomio polinomio di sei termini differenza di quadrati x 2 – a 2 = (x – a) (x + a) somma di quadrati x 2 + a 2 irriducibile somma di cubi x 3 + a 3 = (x + a) (x 2 − ax + a 2) differenza di cubi x 3 – a 3 = (x − a) (x 2 + ax + a 2) quadrato di un trinomio a 2 ± 2 ab + b 2 = (a ± b)2 trinomio caratteristico x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) cubo di un binomio a 2 ± 3 a 2 b +3 ab 2 ± b 3 = (a ± b)3 differenza di due quadrati a 2 + 2 ab + b 2 – x 2 = (a + b)2 – x 2 = (a + b + x) (a + b − x) quadrato di un trinomio a 2 + 4 b 2 + 9 + 4 ab − 6 a – 12 b = (a + 2 b – 3)2 differenza dei quadrati di due binomi a 2 + 2 a + 1 – x 2 + 2 xy − y 2 = (a + 1)2 − (x – y)2 = = (a + 1 + x – y) (a + 1 – x + y) • cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini. 19

La fattorizzazione dei polinomi M. C. D. e m. c. m. tra polinomi Per determinare il M. C. D. fra due o più polinomi: • si scompongono i polinomi in fattori, • si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono. Per determinare il m. c. m. fra due o più polinomi: • si scompongono i polinomi in fattori, • si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con cui compaiono. 20

La fattorizzazione dei polinomi M. C. D. e m. c. m. tra polinomi ESEMPIO Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M. C. D. e m. c. m. : 8 x 2 + 16 xy + 8 y 2 4 x 4 – 4 x 2 y 2 12 x 2 + 12 xy Scomponiamo in fattori i tre polinomi: • 8 x 2 + 16 xy + 8 y 2 = 8(x 2 + 2 xy + y 2) = 8(x + y)2 • 4 x 4 – 4 x 2 y 2 = 4 x 2(x 2 – y 2) = 4 x 2(x – y) (x + y) • 12 x 2 + 12 xy = 12 x(x + y) M. C. D. = 4(x + y) m. c. m. = 24 x 2(x + y)2 (x – y) 21