I POLINOMI INTRODUZIONE AL CALCOLO LETTERALE Guardatevi intorno

I POLINOMI

INTRODUZIONE AL CALCOLO LETTERALE Guardatevi intorno e descrivete il numero di tutto ciò che vedete: 1 cattedra 26 sedie 2 evidenziatori 3 penne 12 libri ecc. In pratica quando parlate di numeri nel mondo reale avete sempre i numeri con accanto un'etichetta: il fatto di essere libri o penne. Non esistono numeri senza una qualità; se dici 2 non ha significato mentre se dici 2 sedie, 2 mele e così via ha significato.

PROVATE A FARE QUESTO GIOCO: n n n Suddivido la classe in piccoli gruppi e distribuisco un foglio dove è scritto questo gioco: Pensa un numero, moltiplicalo per 3 aggiungi 4 al risultato a quello che hai ottenuto aggiungi ancora il numero di partenza dividi quello che viene per 4 togli il numero che hai pensato all'inizio IL RISULTATO E' 1 Come ho fatto? Provate a pensare un altro numero cosa ottieni? Ma è sempre vero? Cercate di capire perché avete ottenuto sempre lo stesso numero (usate schemi, lettere, simboli, ecc. ) Se la classe fatica ad raggiungere l’obiettivo suggerisco:

Continua il gioco … n Siete giunti alla soluzione: avete fatto alcune operazioni e poi le stesse operazioni al contrario fino a giungere al risultato e, qualunque numero voi scegliate, il risultato e' sempre 1 n Formalizziamo alla lavagna pensa un numero a moltiplicalo per 3 3 a aggiungi 4 al risultato 3 a+4 a quello che hai ottenuto aggiungi ancora il numero di partenza 3 a+4+a=4 a+4 dividi quello che viene per 4 (4 a+4)/4=a+1 togli il numero che hai pensato all'inizio a+1 -a=1 IL RISULTATO E' 1 n n Esercizio: provate ad inventare altri giochi simili.

n Cio' dovrebbe farvi capire l'importanza delle lettere: possiamo utilizzare nelle operazioni le lettere al posto dei numeri ed in questo modo potremo fare tantissime (infinite) operazioni al posto di 1 n Inoltre, nelle unità precedenti abbiamo usato le lettere per esprimere proprietà generali dei numeri. In questa unità approfondiremo l’argomento e vedremo come grazie a questo uso delle lettere in matematica si riescono ad esprimere in modo rigoroso e sintetico proposizioni che nel linguaggio naturale (in italiano) possono risultare complicate e confuse.

GLI ALBORI DELL’ALGEBRA n n n I simboli e le modalità di calcolo dell’algebra sono in realtà frutto di un lavoro di rielaborazione di molti secoli. I Babilonesi, (secondo millennio a. C. ) che sotto molti aspetti sono considerati i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le procedure risolutive di vari problemi. Presso i Greci l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore nel periodo ellenistico (III secolo d. C. ), soprattutto a opera di un matematico di Alessandria, Diofanto, che per primo elaborò un sistema di simboli adatti a rappresentare, mediante segni speciali, la variabile, e qualche operazione. Notevoli passi avanti vennero fatti molti secoli dopo da due matematici italiani, Luca Pacioli e Raffaele Bombelli (XVXVI sec). Nella seconda metà del Cinquecento il francese Francois Viète, considerato il "padre dell' algebra“, ebbe per primo

Espressioni algebriche letterali n n n Scrivo alcune espressioni algebriche alla lavagna e constatiamo che esse sono composte da una lettera o da sequenze di simboli che indicano operazioni da compiere su oggetti matematici (lettere e numeri). Distinzione tra espressione razionale intera e fratta Una volta assegnate alle lettere di una espressione letterale dei valori, l’espressione si trasforma in un espressione algebrica numerica e poi, eseguendo le operazioni indicate si ottiene un VALORE NUMERICO dell’espressione

n n Espressione algebrica e funzione Consideriamo l’espressione algebrica (3 x-2)/(x+1) calcoliamo alcuni valori di questa espressione. Le operazioni in essa indicate sono razionali e si possono sempre eseguire, tranne quando il denominatore si annulla x=-1. Se indichiamo con D l’insieme dei valori che posso attribuire a x nell’espressione abbiamo D= R-{-1}. Questo insieme prende il nome di dominio o insieme di esistenza dell’espressione. Valore x n Nella tabella a fianco sono indicati i valori di x scelti in modo arbitrario e, nella stessa riga, i valori assunti dall’espressione. Ora possiamo osservare che l’insieme delle infinite coppie ordinate formate da x e dal corrispondente valore dell’espressione, è una funzione f perché ad ogni elemento di D associa un solo valore. numerico esp. algebrica -5 17/4 -3 11/2 -2 8 1 ½ 3 7/4

ESERCIZI: Le espressioni algebriche letterali Passaggio dal registro linguistico naturale a quello matematico e viceversa Esempio 1: Scrivi le espressioni algebriche esprimono in forma sintetica le operazioni descritte dalle seguenti espressioni linguistiche: Aggiungi al numero a il doppio del numero b n Esempio 2: Esprimi in linguaggio comune le operazioni corrispondenti alle seguenti espressioni algebriche. a-2 b; 3 b+2 a; (2 a-b)2 n Calcola i valori numerici delle seguenti espressioni per a=1, b=-2 3 b+2 a-(2 a-b)2

Problemi sulle espressioni

INTRODUZIONE AI POLINOMI n Prendiamo una scatola senza coperchio e dopo averla completamente aperta calcoliamo l’area della seguente figura h a b che rappresenta lo sviluppo piano della scatola suddetta di dimensioni a, b e h. n Insieme definiamo che la superficie totale della scatola è data dalla somma dell’area delle 5 facce che possiamo esprimere nel seguente modo: a. h + b. h +ab=2 a. h +2 b. h +ab per la proprietà distributiva QUESTO È UN POLINOMIO CON TRE TERMINI

INTRODUZIONE AI POLINOMI 2 n Supponiamo di voler esprimere l’area di un triangolo in funzione della sua base (b) e altezza (h) Area=(b. h)/2 h b Anche questo è un polinomio ed è formato da un solo termine. n Ora siamo pronti per dare la definizione… n

DEFINIZIONE DI POLINOMIO n Scrivo alla lavagna POLIMONIO dal greco poli: molti, nomos: termine, parte, MONOMIO dal greco monos: un solo, unico nomos: termine, parte n Scrivo a questo punto altri polinomi: Es. 3 x 2 y-s 6, 5 a+4 -2 z, -y, 3, 1200 -2 x-w, 67/3 h-3 w, ecc Insieme alla fine scriviamo la definizione che poi possiamo confrontare con il libro e anche con il vocabolario di matematica. Si chiama polinomio una somma algebrica di monomi. Ciascun monomio si chiama termine del polinomio. Definiamo monomio un’espressione algebrica letterale intera costituita da un numero o da una lettera oppure da un prodotto di fattori numerici e letterali. (Trigiante Fazio). n n n

RIFLETTIAMO SU ALCUNI TERMINI n n n Un polinomio si dice monomio se ha un termine, binomio se ha 2 termini, trinomio se ha 3 termini, quadrinomio se ha 4 termini e poi polinomio a 5 termini ecc. . Ciascun termine del polinomio (monomio) può essere scritto in modo che si abbia un solo fattore numerico detto coefficiente e ciascuna lettera (parte letterale)vi compaia una sola volta. Per ridurre un termine del polinomio a forma normale sottolineiamo che si applicano le proprietà delle operazioni M= 4 xy 23 x 3 z 5 y 5; si ha successivamente: Per la proprietà commutativa M= 4. 3. 5. x. x 3. y 2 y 5. z; Per la proprietà associativa M= [4. 3. 5 ]. x. x 3. y 2 y 5. z; Per le proprietà delle potenze M= 60 x 4 y 7 z Monomio simili monomi che hanno la stessa parte letterale Si dice che il polinomio è ridotto a forma normale se non contiene monomi simili. Polinomi uguali se i monomi che li compongono hanno stessa parte letterale e numerica. Polinomio nullo un polinomio avente tutti i termini con coefficiente 0 Es: 0 x 2 y-p 6 + 0 x 5 z+0

CONVENZIONI o semplificazioni di scrittura n n In base alla definizione che abbiamo dato scrivete vari polinomi sul vostro quaderno. ciascun alunno ne scrive uno alla lavagna e cerco di far scaturire le seguenti convenzioni: Per convenzione non si scrive il coefficiente 1 davanti alle lettere cioè si scrive -a²b invece di -1 a²b Per convenzione non si scrive il segno + davanti ad un monomio si scrive 7 ab² invece di + 7 ab² Si preferiscono mettere le lettere in ordine alfabetico Esempio invece di scrivere +1 ba scriveremo semplicemente ab

IL GRADO DI UN POLINOMIO n n n Definiamo il grado di un polinomio, non nullo, rispetto ad una sua lettera, l’esponente massimo con cui quella lettera compare nei vari termini del polinomio. Per grado assoluto o grado del polinomio non nullo s’intende il massimo della somma degli esponenti delle lettere che compaiono nei termini del polinomio. Es: -8 a²b+ a 3 y 2 è di grado assoluto 5 mentre è di grado 3 rispetto alla lettera a Facciamo diversi esercizi con polinomi di diversi grado e anche con polinomi di gradi 0 e 1.

RIFLETTI ancora sul grado n n Il polinomio 5 può essere scritto come 5 a 0 b 0 c 0 e il suo grado è 0. In generale un numero diverso da 0 è un polinomio di grado 0. Il caso del polinomio nullo è un caso a sé: essendo 0=0 x 3+0 x 2 y 7+0 x 10 z 4 n… il suo grado non è definito. Inoltre, esiste una funzione che associa ad ogni polinomio (non nullo) un numero naturale, cioè il suo grado. Se indichiamo con grad questa funzione e con A un generico polinomio si ha esempio Grad(1/2 x 3+3 x 2 y 7 -10 x 3 z 4)=9 Se un polinomio contiene una sola variabile, il suo grado è uguale a quello del monomio in cui la

Domanda: Osservate questi polinomi cosa notate? A) -2/7 a²b+5 ab²-7 abc C) -3 x+x²-3 x 3+1 D) x² n n B) 2 x 3 a+3/4 x 2 a 2 -10 x-1 E) 3 z 4+z²-1 Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi monomi hanno uguale grado (A) Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze crescenti (o decrescenti) di una variabile se gli esponenti delle potenze di quella lettera si succedono da sinistra verso destra in ordine crescente (o decrescente). (B) Un polinomio scritto in forma normale, si dice completo rispetto ad una lettera quando contiene tutte le potenze di questa lettera da quella di grado massimo presente fino a quella di grado zero (il termine noto) (C) N. B. : Un polinomio incompleto si può sempre rendere completo, basta aggiungere i termine mancanti dando loro per coefficiente il numero 0 Es. E) può diventare 3 z 4+0 z 3+z²+0 z-1

VARI TIPI DI ESERCIZI (1 a PARTE) sui POLINOMI n n n Tra le seguenti espressioni indica quali sono monomi, quali binomi, quali trinomi, e i polinomi nulli. Scrivere un polinomio che ridotto a forma normale sia un monomio. Dato un polinomio dire se è completo, ordinato, omogeneo, grado complessivo e il grado rispetto alle varie lettere che lo compongono. Scrivi un polinomio nelle due lettere x e y, di 5° omogeneo, completo, ordinato secondo le potenze decrescenti di x e crescenti di y. Calcola il valore del polinomio per i valori delle lettere indicate Distingui i seguenti polinomi a seconda dell’insieme numerico a cui appartengono i coefficienti dei termini che li compongono: n n n 2 x 3+3/4 x 2 -10 x-1 2/7 a²b+5/3 ab²-7 abc (2)1/3 x 3+1/4 x 2 -x-1 Z Q R NB In questa unità opereremo solo i polinomi i cui coefficienti sono interi o razionali, rimandiamo ad altra unità i polinomi a coefficienti irrazionali.

ESERCIZI 1 a PARTE Completa la seguente tabella Polinomio Grado assoluto Grado rispetto ad a rispetto a b rispetto a x 2 x 3 a+b 2 -1 x 3 ab+x 2 … Completa i termini dei seguenti polinomi in modo che: q. Risultino omogenei q. Sia completo rispetto alla x

LE IDENTITA’ n n n Consideriamo due polinomi non nulli: A(x)=-2/3 x 2+3 x+1 B(x)= 1 - 2/3 x 2 +3 x con x Є R È facile notare che i due polinomi sono costituiti dagli stessi monomi quindi possiamo considerarli uguali A(x)= B(x): DEF: Due polinomi non nulli si dicono uguali, identici se ridotti a forma normale, sono composti dagli stessi monomi. Dunque, due polinomi uguali hanno lo stesso grado e i monomi simili hanno gli stessi coefficienti. Teorema: Due polinomi uguali assumono valori uguali per tutti i valori attribuiti alle loro variabili.

PRINCIPIO DI IDENTITA’ DEI POLINOMI Se supponiamo di avere due polinomi i cui coefficienti appartengono agli insiemi Z, Q, R, vale il teorema detto: n PRINCIPIO DI IDENTITA’ DEI POLINOMI se due polinomi nella stessa variabile assumono valori uguali della variabile, allora sono uguali come polinomi. n

Domanda: come si ottiene la successione dei coefficienti di un polinomio? n Scrivo questo polinomio alla lavagna: 1 -2/3 x 2+3 x 4 n n 1. 2. 3. Scrivete la successione dei suoi coefficienti Dopo (5 min. ) chiamo uno studente alla lavagna e formalizziamo: per ottenere la successione dei coefficienti di un polinomio ordino il polinomio 3 x 4 -2/3 x 2+1 lo rendo completo 3 x 4+0 x 3 -2/3 x 2+0 x+1 La successione dei suoi coefficienti è (3, 0, 2/3, 0, 1).

LE OPERAZIONI CON I POLINOMI n Consegna della scheda A cercare di risolvere gli esercizi senza consultare il libro tempo: 15 minuti raccolta delle schede compilate

SCHEDA A. n Calcola la somma algebrica dei seguenti polinomi utilizzando le proprietà delle operazioni commutativa, associativa, distributiva: 1. 3 a+2 a+7 a= 4 a 2+3 b+6 a 2= 7/3 x+1/2 xy+2+5= (5 ax 2+3 ax)-(6 ax 2+ax)= (2 bc 2+7 b)-(3 bc 2+b+9)= 3 a. (5 c 2+b)= 2. 3. 4. 5. 6.

SOMMA ALGEBRICA TRA I POLINOMI Dati due polinomi A(x) e B(x), A(x) + B(x)=C(x) si riduce all’addizione dei coefficienti dei monomi simili applicando le proprietà commutativa, associativa, distributiva. 1. 3 a+2 a+7 a = (3+2+7)a =12 a 2. 4 a 2+3 b+6 a 2= 4 a 2+6 a 2+3 b=(4+6) a 2+3 b=10 a 2+3 b

Anche con i polinomi si può eseguire l’addizione in colonna così come imparata alla scuola elementare: Scrivere i due polinomi completi e ordinati su due righe in modo che nella stessa colonna compaiono monomi simili: A B A+B 3 x 4+0 x 3 -7 x 2+0 x+1 + 2 x 4+3 x 3+0 x 2+5 x+9 5 x 4+3 x 3 -7 x 2+5 x+10 A+B A 3 0 7 0 1 + B 2 3 0 5 9 5 3 7 5 10 La seconda scrittura può essere utilizzata per semplificare l’algoritmo utilizzando le successioni dei coefficienti. Domanda RAGAZZI: Ma quale dobbiamo utilizzare tra le due tipologie per eseguire l’addizione tra p. ?

L’opposto di un polinomio Osserviamo che la somma di polinomi è nulla se e sole se i due polinomi sono opposti. L’opposto di un polinomio si ottiene cambiando i segni dei suoi coefficienti. n ES: Dato il polinomio 12 x 4+3 x 2 - 5 x+10 n Il suo opposto è -12 x 4 -3 x 2+5 x-10 n La somma tra un polinomio e il suo opposto è il polinomio nullo. n

PROPRIETA’ DELL’ADDIZIONE L’addizione tra i polinomi è un’operazione interna agli insiemi Z(x), Q(x), R(x). n Consideriamo i polinomi P e Q analizziamo le proprietà dell’addizione n Vale la proprietà commutativa: P+Q=Q+P n Vale la proprietà associativa (P+Q)+R=P+(Q+R) n Osserviamo ancora che per ogni polinomio P P+0=P e questo indica che il polinomio nullo è l’elemento neutro rispetto all’addizione. n

SOTTRAZIONE n n n n La definizione di differenza tra polinomi è analoga a quella data per i numeri relativi. P (x)-Q (x) = D(x) (P (x)-Q (x)) + Q (x) = P(x) D(x)=P (x)-Q (x) P (x)=D(x) + Q (x) Poiché P(x), Q(x) indicano numeri per ogni valore di x, applicando la regola per calcolare la differenza tra due numeri abbiamo P (x)-Q(x)=P(x)+ (-Q (x)) La differenza tra due polinomio si ottiene addizionando al polinomio minuendo l’opposto del sottraendo.

MOLTIPLICAZIONE CASO A: Moltiplicazione tra un polinomio e un monomio Riprendiamo l’esercitazione svolta in classe e discutiamo le varie soluzioni. n Applicando la proprietà distributiva n 3 a. (5 c 2+b)=3. a. 5. c 2+3. a. b=…

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA CASO A: Moltiplicazione tra un polinomio e un monomio n a(x+y)=ax+ay n Se a, x, y sono numeri positivi, l’area del rettangolo la cui base misura a e la cui altezza misura (x+y) è data da a(x+y). Il rettangolo è anche formato dall’unione del rettangolo di base a e altezza x con il rettangolo di base a e altezza y. L’area totale è dunque ax+ay. Pertanto poiché le due aree, calcolate nei due modi diversi sono uguali fra loro si conclude: n n a(x+y)=ax+ay y ay x ax a

MOLTIPLICAZIONE CASO B: Moltiplicazione tra due polinomi n In questo caso dobbiamo applicare la proprietà distributiva più volte iniziamo dal caso più semplice (a+b)(x+y)=ax+ay + bx+ by Proseguiamo con l’interpretazione geometrica

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA n n n CASO B: Moltiplicazione tra un polinomio e un polinomio (a+b)(x+y)=ax+ay + bx+ by Se a, b, x, y sono numeri positivi, l’area del rettangolo ABCD, la cui base misura (a+b) e la cui altezza misura (x+y) è data da (a+b)(x+y). Il rettangolo è anche formato dall’unione di 4 rettangoli le cui aree sono ax, ay, bx, by (vedi fig. ) Pertanto poiché le due aree, calcolate nei due modi diversi sono uguali fra loro si conclude: y (a+b)(x+y)=ax+ay + bx+ by ay by x ax a bx b

PROPRIETA’ MOLTIPLICAZIONE n n n La moltiplicazione tra i polinomi è un’operazione interna agli insiemi Z(x), Q(x), R(x). Consideriamo i polinomi P e Q Vale la proprietà commutativa: P. Q = Q. P Vale la proprietà associativa (P. Q). R = P. (Q. R) Osserviamo ancora che per ogni polinomio P P. 1=P e questo indica che il polinomio unità è l’elemento neutro rispetto all’addizione. Si verifica inoltre che P. 0=0 e 0. P=0 tale proprietà si esprime dicendo che il polinomio nullo è assorbente rispetto alla moltiplicazione. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: P. (Q + R) = (P. Q) + (P. R)

ESERCIZI Completa la seguente tabella A B A+B A-B B-A A. B 2 x 3 a+b 2 -1 x 3 ab+x 2 … q. Esegui le seguenti operazioni tra polinomi e riduci i termini simili. q. Caccia all’errore: controllare la soluzione dei seguenti esercizi e correggere eventuali errori. (10 x-3 y)-(5 x+9 y)= 10 x-3 y-5 x+9 y=5 x+6 y q. Determinare il polinomio P(x) che: sommato ad A(x)= 2 x 3+x 2 -1 dà B(x)=3 x 2+2 x

PROBLEMI Esprimi la somma tra la terza parte di un termine e il termine stesso. (Indico con x… 4/3) n Un trapezio isoscele ha i lati obliqui di misura a+3, la base minore uguale al doppio di un lato obliquo e la base maggiore uguale al triplo della base minore. Calcola il perimetro. n