CALCOLO LETTERALE Perch E opportuno rappresentare i numeri

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CALCOLO LETTERALE • Perché? E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare

CALCOLO LETTERALE • Perché? E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

POTENZE • Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice

POTENZE • Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a an = a • … • a n volte Esempio: 32 = 3 • 3 (-2)2 = (-2) • (-2) = 4 (-2)3 = (-2) • (-2) = -8

PROPRIETA’ DELLE POTENZE Dati a, b R, m, n N • a n +

PROPRIETA’ DELLE POTENZE Dati a, b R, m, n N • a n + m = a n a m, • a -n = 1 / a n • a n - m = a n: a m, n m, se n = m, a 0 • (a: b) n = a n: b n, b 0 • (ab) n = a n b n, • (a n) m = a n m, • a 0= 1,

ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6 (5 • 2)2

ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6 (5 • 2)2 : 50 = (5)2 • (2)2 (8)0=1 3 -4 = 1 / 34 e 2 • e 3 • e-4= e (- 2)2 • (-2)3 = -32

RADICALI • Si dice radice ennesima (n N) aritmetica del numero reale non negativo

RADICALI • Si dice radice ennesima (n N) aritmetica del numero reale non negativo a l’unico numero reale non negativo b tale che bn = a • Si pone per convenzione:

PROPRIETA’ DEI RADICALI

PROPRIETA’ DEI RADICALI

ESERCIZI

ESERCIZI

ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE • Una espressione numerica è un insieme di operazioni da

ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE • Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine: {[(-1+3)2 • 8]+(5 • 4)}: 2= Una espressione letterale è una espressione numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere: {[(-a+b)2 • c]+(d • e)}: 2=

VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE • Esempio: se a = 1 b = 0

VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE • Esempio: se a = 1 b = 0 c = 1 a + 2 b + 1/c = 2 N. B. Non è possibile dare a c il valore 0! • Insieme di definizione della espressione letterale è l’insieme di valori che possiamo attribuire alle lettere senza che l’espressione perda di significato

MONOMIO • Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione,

MONOMIO • Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza: Esempio: 3 ab 2 3 = coefficiente ab 2 = parte letterale

Grado di un monomio Grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle

Grado di un monomio Grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio Grado del monomio rispetto a una lettera è l’esponente con cui tale lettera compare nel monomio Esempio: 3 ab 2 è un monomio di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b.

POLINOMIO • La somma di più monomi, detti termini del polinomio: Esempio: 3 ab

POLINOMIO • La somma di più monomi, detti termini del polinomio: Esempio: 3 ab + 2 ac + 4 b 3 Grado complessivo del polinomio è il massimo dei gradi dei singoli monomi (nell’esempio 3) Grado complessivo del polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi rispetto a quella lettera (nell’esempio 1 rispetto ad a e c, 3 rispetto a b)

OPERAZIONI TRA POLINOMI • ADDIZIONE • SOTTRAZIONE • PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di

OPERAZIONI TRA POLINOMI • ADDIZIONE • SOTTRAZIONE • PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli • DIVISIONE

DIFFERENZE DI QUADRATI (x + y) • (x - y) = (x 2 -

DIFFERENZE DI QUADRATI (x + y) • (x - y) = (x 2 - y 2) Esempi: (2 x + y) • (2 x - y) = (4 x 2 – y 2) (2 ab 3 + c) • (2 ab 3 - c) = (4 a 2 b 6 – c 2) (9 x 2 y 2 – 4 a 2 b 2) = (3 xy + 2 ab) • (3 xy - 2 ab) (x-3)4 – 81 = [(x – 3)2 – 9] • [(x – 3)2 +9] = [(x – 3) – 3] [(x – 3) +3] • [(x – 3)2 +9]

QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y)2= x 2 + 2 xy + y

QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y)2= x 2 + 2 xy + y 2 (x - y)2= x 2 - 2 xy + y 2 Esempi: (a – 3 b)2= a 2 – 6 ab +9 b 2 (a + 2 b)2= a 2 + 4 ab +4 b 2 ((3/2)a + b 2)2= (9/4)a 2 + 3 ab 2 + b 4

CUBO DI UN BINOMIO (x + y)3= x 3 + 3 x 2 y

CUBO DI UN BINOMIO (x + y)3= x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 (x - y)3= x 3 - 3 x 2 y + 3 xy 2 - y 3 Esempi: (2 x - y)3= 8 x 3 - 12 x 2 y + 6 xy 2 - y 3 (3 x + y)3= 27 x 3 + 27 x 2 y + 9 xy 2 + y 3 (x 3 - 5 y)3= x 9 - 15 x 6 y + 75 x 3 y 2 - 125 y 3

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI (x 3 + y 3)= (x + y) •

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI (x 3 + y 3)= (x + y) • (x 2 - xy + y 2) (x 3 - y 3)= (x - y) • (x 2 + xy + y 2) Esempi: (8 x 3 + y 3)= (2 x + y) • (4 x 2 - 2 xy + y 2) (27 x 3 - 8 y 3)= (3 x - 2 y) • (9 x 2 + 6 xy + 4 y 2) (x - 2)3 + y 6= [(x - 2) + y 2)] • [(x - 2)2 (x - 2) y 2 + y 4)]

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI • Mediante l’uso dei prodotti notevoli • Raccoglimenti a fattore comune:

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI • Mediante l’uso dei prodotti notevoli • Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6 ab + 2 a 3 c - 8 ab = 2 a (3 b + a 2 c – 4 b) • Raccoglimenti parziali successivi: Esempio: 9 a 2 b 3 - 3 a 3 b 2 + 6 bc - 2 ac = 3 a 2 b 2 (3 b-a) + 2 c (3 b - a) = (3 b - a) (3 a 2 b 2 +2 c)

DIVISIONE TRA POLINOMI • Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile • Siano

DIVISIONE TRA POLINOMI • Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile • Siano P 1 e P 2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P 1 maggiore o uguale al grado di P 2. • Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P 1= Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

ESEMPIO (2 x 5– 3 x 3 + x + 1) : ( x

ESEMPIO (2 x 5– 3 x 3 + x + 1) : ( x 3 – x 2 +1) 2 x 5 + 0 x 4 – 3 x 3 + 0 x 2 + x + 1 2 x 5 – 2 x 4 + 2 x 2 2 x 4 – 3 x 3 - 2 x 2 + x + 1 2 x 4 – 2 x 3 +2 x – x 3 - 2 x 2 - x + 1 – x 3 + x 2 -1 - 3 x 2 - x + 2 x 3 – x 2 +1 2 x 2 +2 x -1

ESEMPIO (2 x 5 – 3 x 3 + x + 1) = (2

ESEMPIO (2 x 5 – 3 x 3 + x + 1) = (2 x 2 +2 x – 1) • (x 3 – x 2 +1) + (- 3 x 2 - x + 2) P 1= Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N. B. P 1 è divisibile per P 2 se il resto è uguale a zero.

ESEMPIO: (20 x 4 – 14 x 3 + 40 x - 32) :

ESEMPIO: (20 x 4 – 14 x 3 + 40 x - 32) : (4 x 2 + 2 x - 4) 20 x 4 – 14 x 3 + 0 x 2 + 40 x - 32 20 x 4 + 10 x 3 - 20 x 2 – 24 x 3 + 20 x 2 + 40 x - 32 – 24 x 3 - 12 x 2 + 24 x 32 x 2 + 16 x - 32 \ \ \ 4 x 2 + 2 x - 4 5 x 2 -6 x + 8

REGOLA DI RUFFINI • Divisione di un polinomio per un binomio • Sia P

REGOLA DI RUFFINI • Divisione di un polinomio per un binomio • Sia P 1(x) un polinomio di grado n e P 2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero. P 1 (x)= (x±a) P 2 (x)+ R

REGOLA DI RUFFINI Coefficienti P 1(x) Termine noto P 1(x) Coefficienti e termine noto

REGOLA DI RUFFINI Coefficienti P 1(x) Termine noto P 1(x) Coefficienti e termine noto P 2(x) Resto ±a

ESEMPIO (x 2 - 1) : (x + 2) 1 0 -2 -1 4

ESEMPIO (x 2 - 1) : (x + 2) 1 0 -2 -1 4 1 -2 3 -2 x 2 - 1 = (x + 2) (x – 2) + 3

REGOLA DEL RESTO • Il resto della divisione di un polinomio P 1(x) per

REGOLA DEL RESTO • Il resto della divisione di un polinomio P 1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P 1 assume per x = - a R= P 1(-a) Esempio: (x 2 - 1) : (x + 2) P 1(-2) = 3

OSSERVAZIONE • Se P 1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è

OSSERVAZIONE • Se P 1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P 1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P 1. • Nell’esempio precedente: P 1= (x 2 - 1) avrei dovuto provare con +1 e – 1: P 1(+1) = 0 quindi P 1 è divisibile per (x - 1) P 1(-1) = 0 quindi P 1 è divisibile per (x + 1)

ESEMPIO P 1(x) = x 3 + 3 x 2 - 7 x –

ESEMPIO P 1(x) = x 3 + 3 x 2 - 7 x – 6 P 1(± 1) 0 P 1(2) = 0 1 3 -7 -6 1 2 5 10 3 6 0 2 x 3 + 3 x 2 - 7 x – 6 = (x -2) (x 2+5 x+3)