Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Frazione

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie • Frazione algebrica: espressione letterale del tipo A B Definizione e caratteristiche , con A e B monomi o polinomi e B ≠ 0 ESEMPIO x 2 – 4 x + 1 x– 3 ; 6 x 5 y 2 • Dominio della frazione: insieme dei valori che è possibile attribuire alle lettere. ESEMPIO x 2 – 4 x + 1 x– 3 Dominio: x– 3≠ 0 x≠ 3 1

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Frazioni equivalenti Due frazioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, sono equivalenti se diventano numeri uguali in corrispondenza di ogni valore che è possibile attribuire alle variabili. Regola per individuare l’equivalenza: A B ESEMPIO 2 a a 2 – a Infatti: e C sono equivalenti se A D = B C. D è equivalente a 2 a + 2 a 2 – 1 2 a (a 2 – 1) = (2 a + 2) (a 2 – a) [2 a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1) a (a – 1)] Per ottenere frazioni algebriche equivalenti basta applicare la proprietà invariantiva della divisione, cioè possiamo: • dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo permette di semplificare una frazione • moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo serve per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore in modo da poterle sommare o sottrarre. 2

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Semplificazione L’algoritmo per semplificare una frazione è il seguente: • si scompongono numeratore e denominatore • si individuano i divisori comuni, cioè il M. C. D. • si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M. C. D. Se il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile. ESEMPI 1. 3 a 2 x 2 – 9 a 3 x ax 3 – 3 a 2 x 2 2. a + 2 b a 2 – b 2 = = 3 a 2 x (x – 3 a) ax 2 (x – 3 a) = 3 a x a + 2 b (a – b) (a + b) Il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni al di fuori dell’unità e quindi la frazione è irriducibile. 3

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Operazioni Addizione e sottrazione Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve seguire questa procedura: • scomporre i denominatori delle frazioni e determinare il dominio • semplificare le frazioni che non sono irriducibili • trovare il m. c. m. fra i denominatori • ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore • eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario ESEMPIO 3 b 2 x + y + b 2 x − y = D: 2 x + y ≠ 0 2 x – y ≠ 0 m. c. m = (2 x + y) (2 x − y) 3 b (2 x – y) + b (2 x + y) (2 x – y) = 6 bx – 3 by + 2 bx + by (2 x + y) (2 x – y) = 8 bx – 2 by (2 x + y) (2 x – y) 4

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Operazioni Moltiplicazione La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta. In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica. ESEMPIO 3 § con le frazioni numeriche 1 41 8 2 93 = 2 3 § con le frazioni algebriche 4 x 2 – y 2 x 2 + 2 xy + y 2 3 x + 3 y 2 x − y = (2 x – y) (2 x + y) (x + y)2 3 (x + y) 2 x − y = 3 (2 x + y) x+y 5

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Operazioni Divisione La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda. ESEMPIO x–y x : 2 = x + 3 y x–y x x + 3 y 2 = (x – y) (x + 3 y) 2 x Elevamento a potenza L’elevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. ESEMPIO 2 a a – 3 b 2 = (2 a)2 (a – 3 b)2 = 4 a 2 (a – 3 b)2 6

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Equazioni numeriche frazionarie Nelle equazioni frazionarie il dominio non è più R, perché bisogna escludere quei valori che, annullando qualche denominatore, fanno perdere significato all’equazione. Regola per determinare il dominio 1) si esegue, se necessario, la scomposizione dei polinomi ai denominatori; 2) si impone che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero; 3) si risolvono le condizioni trovate al punto due con la stessa procedura usata per risolvere le equazioni intere. Il dominio è l’insieme R – {valori trovati al punto 3} Determinato il dominio, si procede alla risoluzione dell’equazione applicando i principi di equivalenza. Una volta trovata la soluzione si deve confrontare il valore trovato con quelli esclusi dal dominio. 7

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Equazioni numeriche frazionarie ESEMPIO 1 3 5 – = 2 x – 4 x– 2 x+2 3 5 – = x– 2 x+2 (x – 2) (x + 2) 1 Poiché deve essere x + 2 ≠ 0 ∧ x – 2 ≠ 0 ossia x ≠ – 2 ∧ x≠ 2 Il dominio è l’insieme D = R – {– 2; 2} 1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2) (x + 2) continua 8

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie (x – 2) (x + 2) 1 – 3 (x + 2) = Equazioni numeriche frazionarie 5 (x – 2) (x + 2) 1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3 x – 6 = 5 x – 10 – 3 x – 5 x = – 10 + 6 – 1 – 8 x = – 5 Poiché 5 8 5 x= + 8 non coincide con uno dei valori esclusi dal domino, la soluzione è accettabile: S = { 5 8 } 9

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Equazioni letterali In un’equazione letterale si può sempre: u trasportare i termini da un membro all’altro dell’equazione cambiando loro di segno; u cambiare tutti i segni dei termini ai due membri; u moltiplicare o dividere entrambi i membri per un coefficiente numerico diverso da zero. Non è invece possibile: u moltiplicare o dividere per un coefficiente letterale senza avere posto le condizioni di diversità da zero di tale coefficiente. In un’equazione letterale bisogna distinguere: • il dominio, determinato rispetto all’incognita x • le condizioni sul parametro 2 a 1 + =2 x– 1 a x≠ 1 D = R – {1} a≠ 0 10

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Equazioni letterali Per risolvere un’equazione contenente il parametro al denominatore è necessario prima determinare le condizioni sul parametro e poi moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il m. c. m. fra i denominatori. ESEMPIO In sintesi: 11

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Equazioni letterali Per risolvere un’equazione letterale frazionaria, si determina il dominio e, trovate le soluzioni, si controlla la loro accettabilità. ESEMPIO In sintesi: 12

Le frazioni algebriche e le equazioni frazionarie Sistemi frazionari Un sistema frazionario è un sistema le cui equazioni contengono almeno un’incognita al denominatore. Per risolverlo è necessario determinare il dominio e verificare poi l’accettabilità delle soluzioni. ESEMPIO La soluzione non è accettabile perché la x coincide con il valore escluso dal dominio. Il sistema è impossibile, 13