CALCOLO LETTERALE I MONOMI TEMI TRATTATI Unit didattica

CALCOLO LETTERALE I MONOMI

TEMI TRATTATI • Unità didattica (seguendo le modalità di progettazione didattica inserita nelle Indicazioni Nazionali della Riforma n. 53/2003 e D. Lgs. n. 59/2004) e traccia didattica (modalità di svolgimento degli argomenti scelta dall’insegnante); • Confronto fra testi per scuola secondaria di 1^ grado; • Critica sull’argomento.

UNITA’ DIDATTICA ANNO: III PREREQUISITI: • possedere il concetto di numero relativo; • capacità di operare con i numeri relativi; • Capacità di operare con le potenze; OBIETTIVI FORMATIVI: • Acquisire il concetto di monomio; • Acquisire la capacità di operare con i monomi; ABILITA’: • Saper tradurre in un’espressione letterale una informazione; • Saper calcolare il valore numerico di una espressione letterale; • Saper utilizzare le regole di calcolo con i monomi; INTERDISCIPLINARIETA’: • Scienza greca (600 a. C. – 150 a. C. ); • Fisica; CONTENUTI: • Uso delle lettere per indicare numeri; • Espressioni algebriche letterali; • Concetto di monomio; • Le operazioni con i monomi; METODOLOGIE: • “costruzione” del concetto di calcolo letterale attraverso esperienze pratiche; • Lezione frontale partecipata; • Esercitazioni di gruppo; ATTIVITA’E VERIFICHE: • Esperienze pratiche attraverso oggetti comuni; • Prove oggettive (esercizi guidati; V/F; esercizi di recupero; verifica delle conoscenze; padronanza dei contenuti; esercizi di autovalutazione) ELEMENTI RIFERITI AL PECUP: • Rappresentare con lettere le principali proprietà delle operazioni;

Perché il calcolo letterale… • Guardati intorno e descrivi il numero di cio' che vedi: 1 computer 1 schermo 2 sedie 3 penne 12 libri In pratica quando parliamo di numeri nel mondo reale abbiamo sempre a che fare con i numeri con “appiccicata un'etichetta”: il fatto di essere libri o penne. Non esistono numeri senza una qualità; se diciamo 2 non ha significato mentre se dici 2 sedie, 2 mele e così via ha significato. Allora noi dobbiamo studiare le proprietà dei numeri che hanno un'etichetta: come si comportano 2 mele oppure 2 sedie rispetto alle operazioni? • Senza scomodare mele o sedie semplificheremo chiamando i numeri con relative proprietà 2 a oppure 2 b (utilizzando il minor numero possibile di lettere dell'alfabeto).

Il calcolo letterale: un esempio … Il calcolo letterale si occupa del calcolo relativo alle espressioni letterali. Illustriamo tale concetto con un semplice esempio: Indichiamo con a il notes, con b la matita e con c la penna e vogliamo eseguire la seguente addizione per saper quanti oggetti di ciascuna specie abbiamo: 3 l + 5 b + 2 c + 7 l + 3 b + 4 c

È chiaro che possiamo addizionare fra loro soltanto gli oggetti di ciascuna specie. Applicando prima la proprietà commutativa e poi quella associativa, abbiamo: 3 l + 5 b + 2 c + 7 l + 3 b + 4 c = 3 l + 7 l + 3 b + 5 b + 2 c + 4 c = (3 l + 7 l ) + (3 b + 5 b ) + (2 c + 4 c ) = 10 l + 8 b + 6 c Cioè abbiamo in tutto 10 notes, 8 matite, 6 penne.

Uso delle lettere per indicare i numeri: introduzione alle espressioni letterali Nello studio della matematica sovente si utilizzano le lettere dell’alfabeto per rappresentare numeri: a + b …………. . rappresenta la somma di a e b a + b = b + a…………. . rappresenta la proprietà commutativa dell’addizione In geometria si usano lettere per indicare le formule ( “si dice formula una uguaglianza che esprime una regola di calcolo od una proprietà”; Mariscotti, 1980) per calcolare aree e volumi, nelle scienze in genere e nella matematica finanziaria per rappresentare leggi: A = b*h S = vt I = Crt / 100 Possiamo concludere che si possono usare le lettere per indicare relazioni di carattere generale che sono valide qualunque sia il valore numerico che si attribuisce alle lettere stesse. L’uso delle lettere per rappresentare i numeri consente di scrivere in modo conciso proposizioni che potrebbero essere lunghe e laboriose, ad esempio: 3 a +2 ∕ 5 b + 2 c Indica l’addizione del triplo del numero a, di 2 ∕ 5 del numero b e del doppio del numero c. “Si dice espressione letterale algebrica un insieme di numeri, rappresentati tutti o in parte da lettere, legati fra loro da segni di operazioni” (Mariscotti, 1980; 2006). “Si dice espressione letterale una sequenza di operazioni i cui termini sono tutti o in parte rappresentati da lettere” (Lepora, 1996).

Se ad ognuna delle lettere che compaiono in una espressione letterale assegniamo un particolare valore numerico, otteniamo un’espressione numerica di cui possiamo calcolare il valore. “Calcolare il valore di un’espressione letterale per determinati valori attribuiti alle lettere che in essa figurano, significa sostituire a ciascuna lettera il corrispondente numero assegnato e calcolare il valore dell’espressione numerica così ottenuta” (Mariscotti, 2006). esempio: 3 a 2 - 2 ab 2 + b 2, per a = -3, b = -2 Sostituiamo alle lettere i valori assegnati e otteniamo: 3 a 2 - 2 ab 2 + b 2 = 3 (-3) 2 – 2 (-3) (-2)2 + (-2) 2 = 3 * 9 – 2 (-3) * 4 + 4 = 27 + 24 +4 =55 A questo punto si procederà con gli esercizi che avranno lo scopo di verificare lo stato d’apprendimento e rinsaldare le conoscenze pregresse. A tal proposito sarà utile inserire tra gli esercizi proposti, anche dei casi in cui la soluzione è impossibile o indeterminata. “Affinchè un’espressione letterale non perda di significato non si possono attribuire alle lettere valori che rendono uguali a zero eventuali denominatori, perché non ha senso dividere per zero. “…Non si possono attribuire valori alle lettere che rendono negative espressioni sotto il segno di radice quadrata, perché non esiste la radice quadrata di un numero negativo nell’insieme R dei numeri reali. ” (Mariscotti, 1980; 2006)

da Mariscotti (2006):

I segni che precedono le lettere… Se la lettera a rappresenta il numero +5 risulta: +a = + (+5) = +5 -a = - (+5) = -5 Se la lettera a rappresenta il numero -5 risulta: +a = + (-5) = -5 -a = - (-5) = +5 Possiamo concludere che: Scrivendo +a intendiamo considerare con il proprio segno il numero relativo rappresentato da a. Scrivendo -a intendiamo considerare con il segno cambiato il numero rappresentato da a.

I MONOMI: cosa sono? • Supponiamo di avere 2 mele ; cosa significa? che abbiamo un numero (2) seguito dalla proprietà di essere mele; ecco questo e' un monomio, cioè intuitivamente un monomio e' un numero seguito da una “proprietà”. • In greco MONOS significa uno solo cioè noi consideriamo più cose come un tutto unico: 2 a²b nb: il linguaggio utilizzato non è rigoroso ovvero non si tratta di una definizione in linguaggio matematico, ma rappresenta un possibile approccio da utilizzare con gli alunni per introdurre l’argomento dei monomi utilizzando il linguaggio naturale, per poi trattare l’argomento con il rigoroso ed inequivocabile linguaggio matematico.

I MONOMI: definizione “si dice monomio ogni espressione algebrica, numerica o letterale, che non contiene le operazioni di addizione e sottrazione” (Mariscotti, 1980; 2006). “si dice monomio ogni espressione letterale che non contiene addizioni algebriche” (Lepora, 1996). “Un insieme di numeri e lettere in cui non compaiono operazioni di addizione e sottrazione ma solamente di moltiplicazione e divisione” (http: //www. ripmat. it/mate/a/ab/ab 0. html).

• Nel monomio si distinguono 3 parti: -3 a 2 b 3 il segno - il numero 3 le lettere a 2 b 3 Intuitivamente possiamo dire che: • sui segni si devono usare le regole studiate nei numeri interi relativi; • sui numeri si devono usare le regole dei numeri razionali; • sulle lettere si devono usare le regole delle potenze; Esempi di monomi: -3 a e' un monomio 7 ab e' un monomio ¾a³bc² e' un monomio ¼ - a non e' un monomio

Il fattore numerico si dice coefficiente del monomio e il prodotto dei fattori letterali si dice parte letterale del monomio. ESEMPIO: 3 a 2 bc coefficiente 3 parte letterale a 2 bc “Un monomio si dice intero se in esso non compaiono lettere (con esponente intero positivo) come divisori; in caso contrario si chiama frazionario o fratto. ” ESEMPIO MONOMI INTERI: 3 a 2 bc 4/5 x 3 yz 2 ESEMPIO MONOMI FRAZIONARI: -3 ab-2 = -3 a/b 2 -xy 2 z 3

• Se in un monomio figurano più fattori numerici o più volte la stessa lettera, la scrittura si semplifica. • ESEMPIO: -5 a 3 bc · (-2 a 2 b 3 c 2 d 2) = -5 · (-2) a 3 a 2 bb 3 cc 2 d 2 = 10 a 5 b 4 c 3 d 2 “Un monomio si dice ridotto a forma normale se contiene un solo fattore numerico, scritto al primo posto, e potenze letterali di basi tutte diverse tra loro” (Mariscotti, 2006). “Si dice monomio nullo un monomio che ha per coefficiente zero: 0 ab, 0 x 3 y 2 z, 0 b” (Mariscotti, 1980). “Si dice monomio unità un monomio costituito dalla sola unità (positiva). Sono monomi unità: a 0 b 0 c 0, (-1)2 a 0 b 0 c 0. ” (Mariscotti, 1980).

Grado di un monomio • “Si dice grado di un monomio rispetto a una lettera l’esponente con cui la lettera compare nel monomio”. • “Si dice grado complessivo del monomio, la somma degli esponenti delle sue lettere” (Mariscotti, 2006). Ad esempio: 2 abc ha grado 3 mentre 2 a³b²c ha grado 6 in totale perchè a³=aaa e' formato da tre lettere b²=bb e' formato da due lettere mentre c e' una lettera sola Quindi il monomio ha grado 3 rispetto alla lettera a grado 2 rispetto alla lettera b grado 1 rispetto alla lettera c in totale rispetto a tutte le lettere ha grado 6 • Proviamo a scrivere 2 case e poi scriviamo 2 casse sono due cose diverse, perchè? evidentemente perchè i numeri due si riferiscono ad oggetti diversi, ma perchè sono diversi? perchè nel primo oggetto c'e' una lettera s in meno e nel secondo c'e' una lettera s in piu' quindi e' importante contare quante lettere fanno parte del monomio perchè quantità diverse di lettere rappresentano cose diverse • cioe' ab² e' diverso da a²b.

Monomi simili • “Due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale, cioè se essa è formata dalle stesse lettere rispettivamente con gli stessi esponenti. ” (Mariscotti, 1980; 2006). • “Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale”. (Lepora, 1996). • “Due monomi si dicono opposti se sono simili e hanno per coefficienti due numeri opposti. ” (Mariscotti, 1980, 2006; Lepora, 1996). • “Due monomi si dicono uguali se sono simili e hanno un coefficiente uguale. ” (Mariscotti, 1980; 2006)

Monomi simili ESEMPI MONOMI SIMILI: 2 a³b²c -2/5 a³b²c 3/4 a³b²c ESEMPI MONOMI OPPOSTI: 2 a³b²c e -2 a³b²c -2/5 a³b²c e 2/5 a³b²c 3/4 a³b²c e -3/4 a³b²c ESEMPI MONOMI UGUALI: 2 a³b²c e 2 a³b²c 2/5 a³b²c e 2/5 a³b²c 3/4 a³b²c e 3/4 a³b²c OSSERVAZIONI I testi per il III anno della scuola secondaria di primo grado, sia i più superati che i più recenti consultati, non inseriscono durante questa prima parte dell’argomento molti esercizi di verifica, anche se, a parere della scrivente, questi sono necessari affinché l’alunno non abbia in seguito problemi affrontando esercizi su espressioni letterali sempre più complesse.

Esercizio 1 – verifica d’apprendimento e dell’uso del linguaggio obiettivi: raggiungere un buon livello dell’uso del linguaggio, saper distinguere le parti che compongono un monomio e un monomio opposto da uno uguale. difficoltà incontrate: entrare nell’ottica di ragionare non solo con i numeri ma anche con le lettere e rispettare allo stesso modo le regole che valgono per i numeri relativi (Z) e per le potenze.

Addizione tra due monomi Per capire le regole che guidano la somma fra monomi si pensi al seguente esempio: 2 mele + 3 banchi = (2 mele + 3 banchi) 2 mele + 3 mele = 5 mele si possono sommare fra loro degli oggetti solamente se sono dello stesso tipo, cioè se dopo il numero hai le stesse lettere. “ La somma di due o più monomi simili è il monomio simile a quelli dati, avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti” (Mariscotti, 1980, 2006). Lepora (1996) aggiunge alla definizione di cui sopra: “La somma algebrica di monomi non simili può solo essere indicata, scrivendo i monomi uno di seguito all’altro, ciascuno con il proprio segno”. ESEMPIO: 5 X 2 + 6 X 2 – 9 X 2 = (5 + 6 – 9)X 2 = 2 X 2 1/3 ax 2 + 3 x + 12 ax – 2 ax 2 + 5 = (1/3 – 2) ax 2 + 3 x + 12 ax +5 = 1 – 6/3 ax 2 + 3 x + 12 ax + 5 La somma di due monomi opposti è uguale a zero: -2/5 a³b²c + 2/5 a³b²c = 0

Sottrazione tra due monomi l PER LA DIFFERENZA LE REGOLE SONO LE STESSE CHE PER LA SOMMA INFATTI BASTERA' SOTTRARRE INVECE DI SOMMARE, QUINDI l 5 a³b²-2 a³b²=3 a³b² l mentre l 5 a³b²-2 a²b² l resta così perchè i monomi non hanno la stessa parte letterale (le lettere sono le stesse ma non sono uguali le potenze) • QUINDI D'ORA IN AVANTI QUANDO PARLEREMO DI SOMMA SI INTENDERA' LA SOMMA ALGEBRICA, • Applicheremo cioè le regole valide per la sottrazione dei numeri relativi. Anche le denominazioni di minuendo, sottraendo e differenza restano immutate.

Moltiplicazione di monomi • Per indicare la moltiplicazione di due monomi, ad esempio: -3 ab e -5 bc Possiamo ricorrere a una delle seguenti scritture: (-3 ab) · (-5 bc); (-3 ab) (-5 bc); -3 ab · (-5 bc) Dati i due monomi: 3 a 3 b 2 e 2 a 2 bc Il prodotto (+ 3 a 3 b 2) · ( - 2 a 2 bc) gode delle proprietà: Dissociativa = 3 · a 3 · b 2 ·(-2) · a 2 · b · c Commutativa = 3 · (-2) · a 3 · a 2 · b · c Associativa = [3 · (-2) ] · (a 3 · a 2) · (b 2 · b) · c = -6 a 5 b 3 c “Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi dati e la cui parte letterale è formata da tutte le lettere che figurano nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta con esponente uguale alla somma degli esponenti che essa ha nei monomi” ESEMPIO: -3 ab · (-6 ax 2) = 18 a 2 bx 2 9 a 3 · 3 a 2 b · (1/5 ax 2) = -27/5 a 6 bx 2 Il prodotto di monomi ha per grado la somma dei gradi dei singoli monomi fattori.

Elevamento a potenza di un monomio • La potenza di un monomio è il prodotto di più fattori uguali a quel monomio. Ad esempio: (-2 a 4 b 3 c 2)3 = (-2 a 4 b 3 c 2) · (-2 a 4 b 3 c 2) = - 8 a 12 b 9 c 6 (abc)m = am · bm · cm (ab)c = a b·c “La potenza di un monomio si ottiene elevando a potenza sia il coefficiente sia ciascuna lettera della parte letterale” (Lepora, 1996).

Quoziente fra due monomi • Consideriamo una divisione fra due monomi interi: 15 a 5 b 3 x : 3 a 3 by Il quoziente si può scrivere sotto forma di frazione che ha per numeratore il monomio dividendo e per denominatore il monomio divisore: 15 a 5 b 3 x 3 a 3 by Questo monomio potrà essere semplificato utilizzando le proprietà delle potenze che hanno la stessa base, ottenendo: 5 a 2 b 2 y y Dall’esempio possiamo passare alla seguente regola: “Dati due monomi interi, il secondo dei quali sia diverso da zero, si dice che il primo è divisibile per il secondo se esiste un terzo monomio intero che, moltiplicato per il secondo, dà per prodotto il primo. ” (Mariscotti, 1980, 2006). Nel dividendo devono figurare tutte le lettere del monomio divisore e le lettere del dividendo devono avere esponente maggiore o uguale a quello che hanno nel divisore. am : an = am-n “Il quoziente di due monomi interi si ottiene scrivendo la frazione che ha per numeratore il monomio dividendo e per denominatore il monomio divisore, ed eventualmente semplificandola”

Esercizi proposti • Esercizi guidati; • Esercizi di autovalutazione; • Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento. Gli esercizi sono suddivisi per verificare conoscenze, capacità e competenze in: • Verifica delle conoscenze, con cui si valuta l’acquisizione degli argomenti trattati; • Padronanza dei contenuti che permette di verificare la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite; • Prova delle competenze che evidenzia il conseguimento di autonomia operativa e di rielaborazione individuale.

Esercizi guidati Obiettivi: aiutano l’allevo a conseguire capacità operative e di rielaborazione nell’ambito del nuovo argomento e permettono di verificare le conoscenze acquisite.

Esercizi di autovalutazione Obiettivi: verificare in itinere il grado di preparazione a cui è pervenuto poiché si concludono con una indicazione sul livello raggiunto.

Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento • Obiettivi: riprendere gli argomenti proposti nell’autovalutazione e sono uno strumento di rinforzo e di approfondimento poiché è la prima fase di applicazione personale degli alunni; sono quindi propedeutici agli esercizi successivi.