MONOMI E POLINOMI Definizione di monomio Somma algebrica

MONOMI E POLINOMI Definizione di monomio • Somma algebrica di monomi • Prodotto di monomi • Divisione tra monomi Definizione di polinomio • Prodotto di un monomio per un polinomio • Prodotto di polinomi • Prodotti notevoli

I MONOMI Il monomio è un’espressione algebrica letterale che non contiene né addizioni né sottrazioni parte letterale Esempio: -3 bc 4 coefficiente

Quando nel monomio non compare il coefficiente si considera sottinteso il numero 1 e, precisamente, +1 se il monomio è preceduto dal segno + o non ha alcun segno, -1 se è preceduto dal segno - Esempi: a 2 b 3 - a 2 b 3 La parte letterale è formata da lettere, ciascuna delle quali ha un suo esponente (quando non c’è si sottintende 1) Esempio: +7 ab 2 c 3

L’esponente con cui una lettera compare in un monomio si chiama grado del monomio rispetto a quella lettera La somma di tutti gli esponenti del monomio si chiama grado complessivo o grado del monomio 4 a 2 bc 3 è di 2+1+3 = 6° grado

Due monomi si dicono: • simili se hanno la stessa parte letterale Esempio: +3 ab e -5 ab • uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente Esempio: +3 ab e +3 ab • opposti se sono simili e hanno come coefficiente due numeri relativi opposti Esempio: +3 ab e -3 ab

SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI Si possono sommare soltanto i monomi simili La somma algebrica di due monomi opposti è sempre uguale a 0, perciò due monomi opposti si elidono, cioè si eliminano

ESEMPIO di SOMMA con i MONOMI Esempio: -3 a 2 b + 5 a - 7 a 2 b - 12 a Si devono riconoscere i monomi simili Si evidenziano i monomi simili -3 a 2 b + 5 a - 7 a 2 b - 12 a Si addizionano i coefficienti e si riscrive la parte letterale Si ha: (-3 -7)a 2 b + (5 -12)a = -10 a 2 b - 7 a

PRODOTTO DI MONOMI Per eseguire il prodotto di monomi bisogna moltiplicare i coefficienti e la parte letterale Esempio: (+2 a 2 b)(-3 abc) = -6 a 3 b 2 c

PRODOTTO DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO Si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma Esempio: (-3 ab) (5 a-7 abc+2 a 2 b) = -15 a 2 b + 21 a 2 b 2 c -6 a 3 b 2 Bisogna quindi riconoscere i monomi simili e sommarli (in questo esempio non ve ne sono)

PRODOTTO DI DUE POLINOMI Si applica la proprietà distributiva Esempio: (-3 ab+5 b-4 ab) (+2 a-3 b) = -6 a 2 b +9 ab 2 +10 ab -15 b 2 -8 a 2 b +12 ab 2 Occorre quindi sommare i monomi simili Si ha: -14 a 2 b+21 ab 2+10 ab-15 b 2

PRODOTTI NOTEVOLI Alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi, in cui capita di imbattersi frequentemente, si possono effettuare in modo rapido, ricordando alcune semplici regole, chiamate prodotti notevoli.

PRODOTTI NOTEVOLI SOMMA PER DIFFERENZA DI MONOMI Eseguiamo la moltiplicazione tra (A+B) e (A-B): (A+B)(A-B) = A 2 -AB+BA-B 2 = A 2 -B 2 Se A e B sono due generici monomi, il prodotto della somma di A e B per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato di A e il quadrato di B: (A+B)(A-B) = A 2 -B 2

Esempi (somma per differenza) (3 x+2 y)(3 x-2 y) = (3 x)2 - (2 y)2 = 9 x 2 - 4 y 2 (½ab-5 c)(½ab+5 c) = (½ab)2 - (5 c)2 = ¼a 2 b 2 - 25 c 2 (-4 xy+z 2)(-4 xy-z 2) = (-4 xy)2 - (z 2)2 = 16 x 2 y 2 - z 4

PRODOTTI NOTEVOLI QUADRATO DI BINOMIO Calcoliamo il quadrato di A+B: (A+B)2 = (A+B) = A 2+AB+BA+B 2 = A 2+2 AB+B 2 Se A e B sono due generici monomi, il quadrato di A+B è uguale al quadrato di A più il doppio prodotto di A e B più il quadrato di B: (A+B)2 = A 2+2 AB+B 2

Esempi (quadrato di un binomio) (2 x+3 y)2 = (2 x)2 + 2(2 x)(3 y) + (3 y)2 = 4 x 2+12 xy+9 y 2 (4 xy-z 2)2 = (4 xy)2 + 2(4 xy)(-z 2) + (-z 2)2 = 16 x 2 y 2 -8 xyz 2+z 4 (½a+b)2 = (½a)2 + 2(½a)(b) + (b)2 = ¼a 2+ab+b 2

Quadrato di un binomio (interpretazione geometrica) • Il quadrato di sinistra ha lato A+B e quindi la sua area è (A+B)2 • Il quadrato di destra è diviso in due quadrati di area A 2 (verde) e B 2 (azzurro) e in due rettangoli di colore arancione, ognuno di area AB • Dall’equivalenza delle due figure segue (A+B)2 = A 2 + 2 AB + B 2

PRODOTTI NOTEVOLI CUBO DI BINOMIO Calcoliamo il cubo di A+B: (A+B)3 = (A+B)2(A+B) = (A 2+2 AB+B 2)(A+B) = A 3+A 2 B+2 AB 2+B 3 = A 3+3 A 2 B+3 AB 2+B 3 Se A e B sono due generici monomi, il cubo di A+B è uguale al cubo di A più il triplo prodotto del quadrato di A per B più il triplo prodotto del quadrato di B per A più il cubo di B: (A+B)3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3

PRODOTTI NOTEVOLI Somma per differenza di monomi (a+b) (a-b) = a 2 - b 2 Quadrato di binomio (a+b)2 = a 2 + b 2 + 2 ab Cubo di binomio (a+b)3 = a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2