IL CALCOLO COMBINATORIO Il calcolo combinatorio ha come

IL CALCOLO COMBINATORIO • Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il calcolo dei vari modi con i quali possono essere associati gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme, dopo aver prefissato delle regole precise. • I raggruppamenti possono essere fatti in diversi modi: a volte bisogna tener conto dell’ordine con il quale gli elementi vengono scelti, a volte bisogna tener conto della natura degli elementi, altre volte invece interessa sia la natura che l’ordine degli elementi. • GLI ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO

ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO • • • DISPOSIZIONI PERMUTAZIONI COMBINAZIONI PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO CRITERIO DI SCELTA TRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO

DISPOSIZIONI • Dato un insieme A di n elementi, si definiscono disposizioni di classe k quei raggruppamenti di k elementi che vengono scelti fra gli elementi dell’insieme A. n rappresenta il numero totale degli elementi, mentre k rappresenta la classe, cioè il numero di elementi di ciascun raggruppamento. Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. Le disposizioni possono essere semplici o con ripetizione; Per avere la visione dei raggruppamenti si utilizza il diagramma ad albero. Con esso i raggruppamenti si leggono da sinistra verso destra, o dall’alto verso il basso. Nei diagrammi ad albero ci sono dei nodi; ogni nodo si può diramare. I risultati si leggono sui rami. home

DISPOSIZIONI SEMPLICI • Si dicono disposizioni semplici quei raggruppamenti di elementi distinti tra di loro. Si indicano con D n, k • D n, k = è uguale al prodotto di k fattori interi decrescenti a partire da n. Esempio: D 4, 2 = 4*3=12. Si usano solo due fattori perché k è uguale a 2. Se k fosse stato 3 si sarebbe fatto 4*3*2. • Se si hanno quattro elementi: A, B, C, D, quante sigle di due elementi si possono formare? • A B C b c d a b d ab ac ad ba bc bd ca cb cd Torna all’argomento home D a b c da db dc

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE • Si dicono disposizioni con ripetizioni quei raggruppamenti di elementi che compaiono più di una volta. E si indicano con D’n, k. • D’n, k = è la potenza di n elementi elevati a k. Esempio: D’ 4, 2 =4^2=16 • Se si hanno quattro elementi: A, B, C, D quante sigle di due elementi si possono formare? (ricordandosi che si ripetono) • A B C D a b c d aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cccd da db dc dd Torna all’argomento home

PERMUTAZIONI • Dato un insieme A di n elementi, si definiscono permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un ordine qualsiasi. I raggruppamenti contengono tutti gli elementi dell’insieme e ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi. • Le permutazioni possono essere semplici o con ripetizione. • Anche questi raggruppamenti possono essere rappresentati con i diagrammi ad albero. • La permutazione si può pensare come una disposizione di n elementi di classe n. home

PERMUTAZIONI SEMPLICI • Le permutazioni semplici si indicano con Pn = n!, dove il ! rappresenta il fattoriale, cioè si pone: • Un semplice esempio sulle permutazioni è dato dagli anagrammi, anche senza significato, che si possono ottenere partendo da una parola qualsiasi. Ad esempio gli anagrammi della parola “ROMA” sono dati dalle permutazioni di 4 elementi, quindi si avrà: Torna all’argomento home

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE Data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta a volte, un’altra b volte il numero delle permutazioni distinte con elementi ripetuti si possono ottenere risulta: Ad esempio gli anagrammi distinti della parola MAMMA sono: Torna all’argomento home

COMBINAZIONI Dato un insieme A di n elementi, si definiscono combinazioni degli n elementi di classe k i raggruppamenti di k elementi tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri solo per la natura degli elementi ( senza considerare quindi l’ordine degli elementi). Le combinazioni possono essere semplici o con ripetizione. I raggruppamenti si possono indicare anche con . Questo simbolo è detto coefficiente binomiale per il suo uso nello sviluppo delle potenze di un binomio home

COMBINAZIONI SEMPLICI Le combinazioni semplici si indicano con: Esempio: Le combinazioni semplici si usano quando gli elementi dei raggruppamenti non si ripetono e sono distinti fra di loro Torna all’argomento home

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Le combinazioni con ripetizione si indicano con: k Le combinazioni con ripetizione si usano quando gli elementi dei raggruppamenti si ripetono. Esempio: Torna all’argomento home

PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI 1) La legge dei tre fattoriali Si utilizza quando si ha a disposizione la calcolatrice 2) Proprietà simmetrica n n 3) Queste due proprietà rappresentano due sottoproprietà della prima home

SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO Come applicazione dei coefficienti binomiali, calcoliamo La prima lettera decresce, la seconda cresce. I coefficienti dei monomi rappresentano i numeri che si ottengono dal triangolo di tartaglia del numero 5. 1 5 10 10 home 5 1 avanti

Sviluppo della potenza di un binomio parte 2 Alla fine si ottiene: Polinomi di questo tipo hanno varie proprietà: 1) sono ordinati secondo le potenze decrescenti in a e crescenti in b. 2) Sono composti da n+1 termini. 3) Sono omogenei, cioè ogni monomio è dello stesso grado. 4) Sono completi, cioè ogni polinomio è presente con ogni grado. Lo sviluppo della potenza di un binomio si esprime in generale con la formula di Newton: indietro

CRITERIO DI SCELTA FRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO DISPOSIZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso da B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. PERMUTAZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi (AB diverso da BA). COMBINAZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per la natura degli elementi (A diverso da B). home

A CURA DI: BAGGI MARCO PALLOTTA VALENTINA CLASSE 4 Ai