TRINOMIO DI II fattorizzazione o completamento del quadrato

TRINOMIO DI II °: fattorizzazione o completamento del quadrato? ax 2+bx+c D> 0 Trovo le radici x 1 e x 2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = a (x – x 1) (x – x 2) D =0 Trovo le radici x 1 ≡ x 2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = a (x – x 1)2 D<0 Completo il quadrato, cioè riscrivo il trinomio come somma di un quadrato perfetto (tipo a 2 + 2 a b +b 2) e di un termine positivo. Lavoriamo con un esempio per semplificare i passaggi (il metodo servirà nel calcolo integrale) x 2+ 4 x+ 5 --> D = 16 – 20 = - 4 < 0! completo il quadrato • Riscrivo i primi due termini x 2 + 4 x (corrispondono ad a 2 + 2 a b) • Il ruolo di a è giocato da x, devo individuare quanto vale b. Prendo il coefficiente del termine in x (nel nostro caso 4) e lo divido per 2 (operazioe inversa del doppio è la metà): 4/2 = 2 b=2!! • Nel quadrato del binimio il terzo termine è b 2, sapendo che b=2 b 2 = 22 = 4 • Aggiuno e tolgo ai prinmi due termini questo numero trovato, cioè 4 ed ottengo x 2 + 4 x + 4 – 4 • Completo scrivendo l’ultimo termine del trinomio (5) x 2 + 4 x + 4 – 4 + 5; i primi tre Paola Suria Arnaldi termini sono lo sviluppo del quadrato, sommo tra loro gli altri due (x + 2) 2+ 1

Completiamo ancora il quadrato con un esempio x 2 + 3 x + 12 D = 9 – 48 = - 39 < 0! Scrivo i primi due termini x 2 + 3 x Divido il 3 per 2 e ottengo 3/2 Aggiungo e tolgo (3/2) 2 = 9 / 4 Completo x 2 + 3 x + 9/4 – 9/4 + 12 (sommo gli ultimi due addendi, facendo il m. c. m. : 4) (x 2 + 3 x +9/4) + ( -9 + 12*4) / 4 = x 2 + 3 x + 9/4 + 39/4 = (x+ 3/2) 2 + 39/4 Ma dove servirà la fattorizzazione del trinomio oppure il metodo del completamento del quadrato? Per esempio nel calcolo integrale con integrali di questo tipo: Paola Suria Arnaldi

DIVISIONE TRA POLINOMI Supponiamo di avere il rapporto tra due polinomi Pm(x) e Pn(x), dove m e n sono i gradi dei due polinomi ed m ≥ n. Il rapporto può essere riscritto come somma tra una parte intera, di grado m-n, e una nuova frazione avente per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore un polinomio di grado minore di n. Prendiamo un esempio numerico. La frazione 7/3, con numeratore maggiore di denominatore, può essere riscritta come somma di un numero intero più una frazione propria. Infatti: Se divido 7 per 3 in colonna ottengo 2 di quoto e resto 1!! 7| 3 2 6 1 Paola Suria Arnaldi

Impariamo a dividere i polinomi con un esempio Infatti x 3 + 0 x 2 + 2 x + 5 | x – 2 - x 3 + 2 x 2 // x 2 + 2 x + 6 2 x 2 + 2 x + 5 - 2 x 2 + 4 x // + 6 x + 5 - 6 x + 12 // + 17 quindi il quoto è x 2 + 2 x + 6, il resto 17 Dove servirà? Sostanzialmente nel calcolo integrale Paola Suria Arnaldi

Però. . . Se la divisione è facile. . . subito Distribuisco! 1: 2: 3: Paola Suria Arnaldi

Manipoliamo ancora polinomi: fratti semplici Andiamo avanti. . . passiamo dalla somma di frazioni semplici ad una frazione sola Osserviamo gli esempio 2 e 3: i due risultati finali hanno lo stesso denominatore, ma il primo è somma di due frazioni, fratti, semplici, l’altro di tre frazioni semplici. L’ultimo esempio, invece, ha un denominatore finale diverso, pur essendo due fratti Paola Suria Arnaldi iniziali uguali ai precedenti.

Ancora fratti semplici Torniamo indietro!! Passiamo da una sola frazione, non semplice, . . . alla somma di tante frazioni semplici, ad essa equivalenti Partendo dalla frazione a primo membro, possiamo pensare che a generarla siano stati due fratti semplici, il primo con denominatore (x-1) e il secondo con (x+1). Poiché la frazione di origine ha un numeratore di grado minore del denominatore e i fratti semplici hanno un denominatore di I grado, a numeratore non ci possono che essere delle costanti A e B, da determinare. Per trovare A e B, proviamo ad andare avanti, cioè a manipolare il secondo membro: facciamo il m. c. m. Metodo identità funzionale Paola Suria Arnaldi

Fratti semplici: metodo identità funzionale Se i due membri sono identici, qualunque valore attribuiamo alla x al primo o al secondo membro, dobbiamo ottenere lo stesso risultato. Scegliamo due valori (ci sono due incognite A e B) belli, che semplifichino i calcoli: x=1 e x = -1 Otteniamo la scrittura della frazione come somma di due fratti semplici Paola Suria Arnaldi

Ancora fratti semplici Lavoriamo ancora su un altro esempio: data la frazione seguente, cerchiamo di riscriverla come somma di fratti semplici (ricordiamoci che abbiamo una sola possibilità, cioè esiste un solo modo di scomposizione. Analizziamo il denominatore: si presenta come prodotto di due fattori (x), con molteplicità semplice (1), e (x-1)2, con molteplicità doppia (2). Non sappiamo se le frazioni generatrici sono due o tre. Ci mettiamo nel caso più completo, al limite troveremo B=0. Andiamo avanti, cioè facciamo il m. c. m. e dovremo trovare tre variabili: A, B e C, attribuendo tre valori diversi alla x: due sono belli (x=0 e x=1), il terzo lo scegliamo a piacere Paola Suria Arnaldi

Ancora fratti semplici: terzo esempio Paola Suria Arnaldi