Scomposizione dei polinomi Prof ssa A Comis 1

Scomposizione dei polinomi Prof. ssa A. Comis 1

• Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di altri polinomi di grado inferiore. 2

Metodi di scomposizione • • • Raccoglimento totale a fattore comune Raccoglimento parziale a fattore comune Prodotti notevoli Trinomio particolare Abbassamento di grado mediante la regola di Ruffini. 3

Raccoglimento totale a fattore comune • Quando tutti i termini di un polinomio hanno un fattore comune, possiamo applicare la proprietà di raccoglimento. • Questo significa che mettiamo in evidenza il M. C. D. fra tutti i termini del polinomio • In questo modo eseguiamo una scomposizione del polinomio perché lo scriviamo come prodotto di due fattori. 4

Esempi • • +ax+ay+az = a(x+y+z) 3 bx 2+5 ax 2 -8 b 2 x 2 = x 2(3 b+5 a-8 b 2) 75 ax+25 ay-100 axy = 25 a(3 x+y-4 xy) 2 x(x-a)-(x-a)+3 y(x-a) = (x-a)(2 x-1+3 y) 5

Raccoglimento parziale a fattore comune • Spesso non tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune da poter evidenziare. • Se i termini si possono raggruppare in modo da avere, in ogni gruppo, un fattore comune si può effettuare un raccoglimento parziale. • E’ importante sottolineare che i fattori ottenuti dentro le parentesi DEVONO essere uguali. 6

Esempi • +2 a+2 b+ax+bx = 2(a+b)+x(a+b) La scomposizione non è terminata perché c’è ancora una somma, però adesso è possibile effettuare un raccoglimento totale e quindi: (a+b)(2+x) 7

Altri esempi • a 2 -a-ab+b = a(a-1)-b(a-1) = (a-1)(a-b) oppure : a(a-b)-(a-b) = (a-b)(a-1) • 3 x 2 -6 ax+x-2 a = 3 x(x-2 a)+1(x-2 a) = = (x-2 a)(3 x+1) oppure : x(3 x+1)-2 a(3 x+1) = (3 x+1)(x-2 a) 8

Considerazioni • Se si vuole scomporre un polinomio, si deve innanzitutto verificare se è possibile un raccoglimento totale, cioè se TUTTI gli addendi hanno qualche fattore comune. • Se ciò non è possibile, si deve verificare la possibilità di un raccoglimento parziale per gruppi di monomi di uguale numerosità (a due, a tre e così via). 9

Altre considerazioni • La scelta dei gruppi da raccogliere non ha regole precise. E’ però fondamentale che consenta un successivo raccoglimento. • A volte un raccoglimento parziale non fa ottenere addendi con un fattore comune, pur essendo stato svolto con passaggi algebrici corretti. Se ciò accade, è opportuno rifare il raccoglimento in modo diverso. 10

Prodotti notevoli • Le regole dei prodotti notevoli possono essere lette “al contrario” ed essere applicate nella scomposizione di un polinomio. • Naturalmente è essenziale ricordarle bene per poterle riconoscere! 11

Differenza di due quadrati Ricordiamo che: a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) e quindi, per esempio, il polinomio x 2 -4 y 2 si può considerare come (x)2 -(2 y)2 ed applicando la formula precedente si scompone così: (x-2 y)(x+2 y) 12

Esempi • • 25 x 6 -9 a 4 = (5 x 3 -3 a 2)(5 x 3+3 a 2) 4 x 2 -a 2 b 2 = (2 x-ab)(2 x+ab) 9 a 2 -16 b 2 = (3 a-4 b)(3 a+4 b) 16 a 4 -b 4 = (4 a 2 -b 2)(4 a 2+b 2) = il primo fattore rappresenta un’altra differenza di quadrati e quindi: = (2 a-b)(2 a+b)(4 a 2+b 2) 13

Quadrato di binomio Ricordiamo che: (a-b)2 = a 2 -2 ab+b 2 e (a+b)2 = a 2+2 ab+b 2 Se leggiamo “al contrario” le precedenti formule, possiamo notare che i trinomi sono formati da due quadrati e dal doppio prodotto delle loro basi. 14

Esempi • 4 x 2 -4 x+1 = (2 x)2 -2(2 x)(1)+(1)2 = (2 x-1)2 • x 2+6 x+9 = (x)2+2(x)(3)+(3)2 = (x+3)2 e quindi: • 25 a 4 b 2+20 a 2 bc 3+4 c 6 = (5 a 2 b+2 c 3)2 • 16 x 8 -24 x 4 y 3+9 y 6 =(4 x 4 -3 y 3)2 • a 6 -6 a 3 b+9 b 2 = (a 3 -3 b)2 15

Quadrato di trinomio • Ricordando che (a+b+c)2 = a 2+b 2+c 2+2 ab+2 ac+2 bc e tenendo presente i casi precedenti, risulta evidente la scomposizione dei seguenti polinomi: • x 2+y 2+4+2 xy+4 x+4 y = (x+y+2)2 • 4 x 2+9 y 2+1+12 xy-4 x-6 y = (2 x+3 y-1)2 16

Cubo di binomio • Ricordando che (a+b)3 = a 3+3 a 2 b+3 ab 2+b 3 e che (a-b)3 = a 3 -3 a 2 b+3 ab 2 -b 3 come nel quadrato di binomio, se leggiamo “al contrario” le precedenti formule, possiamo notare che i polinomi hanno 4 termini tra cui due sono cubi e gli altri due sono i tripli prodotti delle basi secondo la regola. 17

Esempi • x 3+6 x 2 y+12 xy 2+8 y 3 = = (x)3+3(x)2(2 y)+3(x)(2 y)2+(2 y)3 = = (x+2 y)3 e quindi: • a 6 -9 a 4 b+27 a 2 b 2 -27 b 3 = (a 2 -3 b)3 • 8 b 3+12 b 2+6 b+1 = (2 b+1)3 • 27 x 6 -54 x 4 y 3+36 x 2 y 6 -8 y 9 = (3 x 2 -2 y 3)3 18

Somma e differenza di cubi A questo punto risulta abbastanza semplice scomporre un polinomio applicando gli ultimi due prodotti notevoli studiati. Vediamo direttamente qualche esempio: • 8 a 3 -b 3 = (2 a-b)(4 a 2+2 ab+b 2) • a 6 -27 = (a 2 -3)(a 4+3 a 2+9) • 27 x 3+8 y 3 = (3 x+2 y)(9 x 2 -6 xy+4 y 2) 19

Trinomio particolare Se un trinomio di 2°grado è di tipo x 2+ax+b Cioè se: • Il coefficiente di grado massimo è 1; • Non consente un raccoglimento; • Non è un quadrato di binomio; Allora probabilmente è un trinomio particolare. Vediamo come riconoscerlo. 20

Come riconoscere un trinomio • Il coefficiente del termine di 1°grado può essere espresso come somma di due numeri x 0 e x 1 ; • Il termine noto è uguale al prodotto degli stessi numeri x 0 e x 1. Il trinomio particolare, quindi, si scompone cercando proprio i suddetti numeri e scrivendo (x+x 0)(x+x 1) 21

Esempi Per scomporre il trinomio a 2+5 a+6 dobbiamo cercare due numeri che abbiano per somma 5 e per prodotto 6; è facile verificare che i numeri richiesti sono 2 e 3 e quindi il suddetto trinomio si scompone in (a+2)(a+3) 22

Altri esempi • • a 2 -7 a+12 = (a-3)(a-4) x 2+6 x+8 = (x+2)(x+4) x 2 -x-12 = (x-4)(x+3) x 2+x-12 = (x+4)(x-3) Dai precedenti esempi risulta evidente che, se il termine noto è positivo i numeri sono concordi, se è negativo sono discordi. 23