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Rette parallele Consideriamo due rette che si trovano su di uno stesso pian o cioè sono complanari. Per indicare se due rette sono parallele si usa il simbolo : si scrive s ⁄ ⁄ r e si legge ” la retta s è parallela alla retta r”. Due o più rette parallele, non si incontrano mai, mantengono sempre la stessa direzione e la stessa distanza. 3 Prof. ssa Carolina Sementa

POSTULATO DI EUCLIDE o POSTULATO DELLE PARALLELE. Per un PUNTO NON APPARTENENTE ad una retta, si può condurre UNA ed UNA SOLA PARALLELA ad essa. 4 Prof. ssa Carolina Sementa

DISTANZA tra due RETTE PARALLELE Se DUE RETTE SONO PARALLELE, i PUNTI DI UNA DI ESSE HANNO UGUALE DISTANZA DALL'ALTRA. Il SEGMENTO DI PERPENDICOLARE AB, compreso tra le due rette parallele, prende il nome di DISTANZA delle DUE RETTE PARALLELE. 5 Prof. ssa Carolina Sementa

ANGOLI FORMATI da DUE RETTE TAGLIATE da una TRASVERSALE Disegniamo due rette (né parallele, né perpendicolari) e chiamiamole a e b: Ora disegniamo un'altra retta, che chiamiamo r, e che interseca le rette a e b rispettivamente nei punti A e B: La retta r prende il nome di TRASVERSALE. 6 Prof. ssa Carolina Sementa

Essa, incontrando le rette a e b forma 8 angoli che abbiamo indicato, nella figura sottostante, ognuno con un numero da 1 a 8: Gli ANGOLI: si dicono ANGOLI ALTERNI INTERNI 7 Prof. ssa Carolina Sementa

Gli ANGOLI: si dicono ANGOLI ALTERNI ESTERNI Gli ANGOLI: si dicono ANGOLI CONIUGATI INTERNI 8 Prof. ssa Carolina Sementa

Gli ANGOLI si dicono ANGOLI CONIUGATI ESTERNI 9 Prof. ssa Carolina Sementa

Gli ANGOLI si dicono ANGOLI CORRISPONDENTI 10 Prof. ssa Carolina Sementa

ANGOLI FORMATI da DUE RETTE PARALLELE TAGLIATE da una TRASVERSALE Disegniamo DUE RETTE PARALLELE e chiamiamole a e b: Ora disegniamo un'altra retta, che chiamiamo r, e che interseca le rette a e b rispettivamente nei punti A e B: La retta r, incontrando le rette a e b forma 8 angoli 11 Prof. ssa Carolina Sementa

Usando un GONIOMETRO possiamo facilmente verificare che sono UGUALI TRA LORO gli ANGOLI: cioè gli ANGOLI ALTERNI INTERNI; cioè gli ANGOLI ALTERNI ESTERNI 12 Prof. ssa Carolina Sementa

Sempre usando un GONIOMETRO possiamo verificare che sono SUPPLEMENTARI gli ANGOLI: cioè gli ANGOLI CONIUGATI INTERNI e gli angoli , cioè gli ANGOLI CONIUGATI ESTERNI 13 Prof. ssa Carolina Sementa

Gli angoli coniugati sono così chiamati, perché stanno dalla stessa parte. In figura, gli angoli 3 e 5, 4 e 6 sono coniugati o anche detti supplementari, dato che la loro somma è di 180°. Gli angoli alterni sono chiamati in questo modo, perché si trovano da parti opposte e sono: 3 -6, 4 -5, 1 -8, 2 -7. Le prime coppie 3 -6 e 4 -5 sono alterni interni; le altre due sono invece esterni. Infine le coppie 2 -6, 1 -5, 4 -8 e 3 -7 si dicono corrispondenti, perché si trovano contemporaneamente sopra o sotto la retta a (oppure b). 14 Prof. ssa Carolina Sementa

PROBLEMI su RETTE PARALLELE TAGLIATE da una TRASVERSALE Ora vediamo come applicare le nozioni apprese ad alcuni problemi. Esempio 1: due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli coniugati interni, uno dei quali misura 56°. Calcolare l'ampiezza dell'altro. Per risolvere questo problema è sufficiente ricordare che DUE RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE formano ANGOLI CONIUGATI INTERNI SUPPLEMENTARI, cioè angoli la cui somma è pari a 180°. Quindi, se la somma dei due angoli è pari a 180° e uno di essi misura 56° l'altro angolo misurerà: 180° - 56° = 124°. 15 Prof. ssa Carolina Sementa

Esempio 2: due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli coniugati interni, tali che uno di essi è 1/5 dell'altro. Quali sono le loro ampiezze? Anche in questo caso noi sappiamo che DUE RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE formano ANGOLI CONIUGATI INTERNI SUPPLEMENTARI. In questo caso però non sappiamo quanto misura un angolo, ma conosciamo solamente la somma degli angoli (pari a 180°) e sappiamo che uno di essi è pari a 1/5 dell'altro. Ora immaginiamo che questo sia il primo angolo: 16 Prof. ssa Carolina Sementa

Esso può essere diviso in 5 parti uguali. Così: Il secondo angolo è pari ad 1/5 del primo. Quindi esso è: Ora sommando i due angoli avremo un angolo di 180°: Come possiamo notare l'angolo di 180° risulta diviso in 6 parti uguali, ognuna di esse misurerà: 17 Prof. ssa Carolina Sementa

180° : 6 = 30° Ora noi sappiamo che il primo, angolo, quello indicato nel disegno in GIALLO, può essere immaginato come formato da 5 angoli ciascuno pari a 30°, quindi il nostro angolo misura: 30° x 5 = 150°. l secondo angolo, invece, indicato nel disegno in VERDE, è evidentemente pari a 30°. 18 Prof. ssa Carolina Sementa

Esempio 3: due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli coniugati interni la cui differenza è di 72°. Quali sono le loro ampiezze? Anche in questo caso noi sappiamo che DUE RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE formano ANGOLI CONIUGATI INTERNI SUPPLEMENTARI. In questo caso però non sappiamo quanto misura un angolo, ma conosciamo solamente la somma degli angoli (pari a 180°) e la loro differenza che è pari a 72°. Ora immaginiamo che questo sia il primo angolo. Ora immaginiamo che questo sia il secondo angolo. 19 Prof. ssa Carolina Sementa

Noi sappiamo che: e che: 180° - 72° = 108° 180° + 72° = 252° 20 Prof. ssa Carolina Sementa 108° : 2 = 54° 252° : 2 = 126°

RETTE PERPENDICOLARI DUE RETTE si dicono PERPENDICOLARI quando INCONTRANDOSI FORMANO 4 ANGOLI UGUALI tra loro. Ognuno dei 4 angoli formati dalle due rette perpendicolari è un ANGOLO RETTO, cioè un angolo che misura 90°. Due RETTE che si INCONTRANO in un punto senza formare 4 angoli uguali tra loro si dicono INCIDENTI. 21 Prof. ssa Carolina Sementa

PIEDE della PERPENDICOLARE Disegniamo una retta r e un punto A esterno alla retta r: Ora disegniamo la retta q perpendicolare ad r passante per A: Chiamiamo con B il punto in cui la retta q e la retta r si intersecano: 22 Prof. ssa Carolina Sementa

Il punto B si chiama: PIEDE DELLA PERPENDICOLARE condotta da A alla retta r; oppure PROIEZIONE di A su r. 23 Prof. ssa Carolina Sementa

DISTANZA di UN PUNTO da una RETTA Disegniamo: una retta r; un punto A esterno alla retta r; la retta q perpendicolare ad r passante per A; il punto B in cui la retta q e la retta r si intersecano, ovvero il PIEDE DELLA PERPENDICOLARE condotta da A alla retta r. Disegniamo ora, sulla retta r, un qualsiasi punto C: 24 Prof. ssa Carolina Sementa

Quindi disegniamo un SEGMENTO che vada dal punto A al punto C: Il segmento AC si chiama OBLIQUA rispetto ad r. 25 Prof. ssa Carolina Sementa

Confrontando tra loro i segmenti AB e AC avremo: Notiamo che AB < AC. Possiamo provare a fissare vari punti sulla retta r e a tracciare vari segmenti che uniscano il punto A con ciascuno di tali punti: 26 Prof. ssa Carolina Sementa

Osserviamo che il segmento AB è inferiore a ciascuno degli altri segmenti tracciati. Possiamo allora affermare che il SEGMENTO DI PERPENDICOLARE ABBASSATO DA UN PUNTO SU UNA RETTA (ovvero, nel nostro esempio il segmento AB) è MINORE di qualsiasi OBLIQUA. Per questa ragione il segmento AB si dice DISTANZA del punto A dalla retta r. In altre parole la DISTANZA di un PUNTO da una RETTA è la LUNGHEZZA DEL SEGMENTO DI PERPENDICOLARE condotta da quel punto alla retta. 27 Prof. ssa Carolina Sementa

ASSE di un SEGMENTO Consideriamo il SEGMENTO AB Fissiamo il PUNTO MEDIO di tale segmento e chiamiamolo M: Ora disegniamo la retta PERPENDICOLARE al segmento AB passante per il PUNTO M: La retta r che abbiamo disegnato prende il nome di ASSE DEL SEGMENTO AB. 28 Prof. ssa Carolina Sementa

L'ASSE di un SEGMENTO è la RETTA PERPENDICOLARE al segmento stesso passante per il suo PUNTO MEDIO. Ora fissiamo, sull'ASSE DEL SEGMENTO alcuni PUNTI: ad esempio, il punto P, il punto Q e il punto R: Congiungiamo i punti segnati con gli estremi A e B del segmento: 29 Prof. ssa Carolina Sementa

Misurando i segmenti ottenuti noteremo che Possiamo allora affermare che OGNI PUNTO dell'ASSE DI UN SEGMENTO ha UGUALI DISTANZE dagli ESTREMI DEL SEGMENTO. 30 Prof. ssa Carolina Sementa

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