Prof ssa A Comis 1 Introduzione Definizione Classificazione

Prof. ssa A. Comis 1

• • • Introduzione Definizione Classificazione Principi di equivalenza Regole per la risoluzione Equazioni fratte 2

• • • Abbiamo già visto che quando è necessario esprimere un calcolo in forma sintetica e generale, è conveniente usare una scrittura che utilizzi le lettere al posto dei numeri. Esaminiamo insieme questo gioco: Pensa un numero Raddoppialo Aggiungi 10 Dividi il risultato per 2 Sottrai 5 Ti rimane il numero iniziale Non è magia, basta solo saper calcolare in modo opportuno con le lettere. 3

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• Dicesi equazione una uguaglianza fra due espressioni algebriche verificata solo per alcuni valori assegnati alla variabile. • Il grado di una equazione è il maggiore dei gradi con cui, in essa, compare la variabile. • Nella forma più generale scriveremo: ax=b 5

Osservazioni Data l’equazione ax=b diremo che: • L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, mentre quella a destra si chiama secondo membro • La lettera x si chiama variabile o incognita • Le lettere a e b rappresentano numeri reali; a si chiama coefficiente della variabile, b si chiama termine noto • I valori (se esistono) della x che rendono vera l’uguaglianza si chiamano radici o soluzioni della equazione 6

Altre osservazioni • Una equazione ha al massimo tante soluzioni quante sono le unità del suo grado. Quindi se è di 1°grado avrà al più 1 soluzione, se è di 2°grado ne avrà al più due e così via. • Se l’equazione ammette un numero finito di soluzioni si dice determinata. • Se non ammette soluzioni si dice impossibile. • Se ammette infinite soluzioni si dice indeterminata o identità. 7

Un’equazione si dice: • Intera se tutti i suoi termini sono interi rispetto la variabile. • Fratta se almeno uno dei suoi termini contiene la variabile al denominatore di una frazione. • Numerica se oltre la variabile contiene SOLO numeri. • Letterale se oltre la variabile contiene ANCHE 8 lettere.

Equazioni equivalenti Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno le stesse radici. Questo significa che se due equazioni sono equivalenti, tutte le soluzioni della prima sono soluzione anche della seconda e viceversa. Due equazioni equivalenti ad una terza sono equivalenti tra loro. 9

Principi di equivalenza Per risolvere le equazioni vengono applicati due principi di equivalenza: • Principio di ADDIZIONE: aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa espressione algebrica si ottiene una equazione equivalente a quella data. • Principio di MOLTIPLICAZIONE: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero diverso da zero TUTTI i termini di un equazione, si ottiene una equazione equivalente a quella data. 10

Conseguenze Dal primo principio derivano alcune notevoli conseguenze: • Se si trasportano alcuni termini di una equazione da un membro all’altro, essi si DEVONO cambiare di segno. • Se nei due membri di una equazione compare uno stesso termine, esso può essere soppresso in entrambi i membri. Esempi: x+3=5 x=-3+5 x=2 x+3 x=2+3 x x=2 11

Altre conseguenze Dal secondo principio derivano altre importanti conseguenze: • Si può cambiare il segno a TUTTI i termini di una equazione ed ottenerne un’altra equivalente. (Basta moltiplicare tutti i termini per – 1). • Se tutti i termini di una equazione sono multipli di uno stesso numero, si possono dividere TUTTI per questo divisore comune ottenendo una equazione più semplice. Esempi: -x=6 x=-6 4 x-12=4 x-3=1 x=3+1 x=4 12

Regole per la risoluzione • Si effettuano, se sono presenti, i prodotti indicati; • Si libera l’equazione degli eventuali denominatori; • Si riuniscono al primo membro TUTTI i termini con la variabile e al secondo membro TUTTI i termini noti; • Si riducono i termini simili in entrambi i membri; • Ridotta l’equazione in forma normale, la sua soluzione sarà il rapporto tra il suo termine noto ed il coefficiente della variabile. 13

Esempi 14

Altri esempi 15

Equazioni fratte • • Per risolvere una equazione fratta conviene seguire questo schema: Si scompongono TUTTI i denominatori. Si cercano (se esistono) i valori che rendono nulli i denominatori. Si esegue il m. c. m. per rendere intera l’equazione. Si riduce l’equazione in forma normale e si risolve. 16

Esempio 17

Altro esempio 18