Prof ssa A Comis 1 Sommario Definizione Equazione

Prof. ssa A. Comis 1

Sommario • • • Definizione Equazione SPURIA Equazione PURA Equazione COMPLETA Discriminante Relazioni fra i coefficienti Equazioni Binomie Equazioni Trinomie Equazioni Biquadratiche 2

• Un’equazione si dice di 2°grado quando ridotta in forma normale è del tipo: Dove a, b, c, sono numeri reali qualunque con a diverso da zero. 3

Osservazioni • I numeri a e b sono i coefficienti della variabile, c è il termine noto. • Se a fosse zero l’equazione diventerebbe di 1°grado. • Un’equazione di 2°grado può avere al più due soluzioni. • Un’equazione di 2°grado ridotta in forma normale è completa quando TUTTI i suoi coefficienti a, b, c sono diversi da zero; è incompleta quando almeno uno dei suoi coefficienti è zero. 4

• Se manca il termine noto, cioè se c=0 allora l’equazione si dice SPURIA e si risolve applicando la legge di annullamento del prodotto: 5

• Se manca il secondo coefficiente, cioè se b=0 allora l’equazione si dice PURA. 6

Esempi 7

• Se TUTTI i coefficienti a, b, c sono diversi da zero, allora l’equazione si dice completa e si risolve mediante l’applicazione della seguente formula risolutiva: 8

Discriminante Il radicando della radice quadrata presente nella formula, si chiama discriminante e si indica con D (delta). Si possono verificare i seguenti casi: • Se D>0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte; • Se D=0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti; • Se D<0 l’equazione non ammette soluzioni reali. 9

Esempi 10

Osservazioni • La formula risolutiva è applicabile anche nelle equazioni incomplete, anche se , come abbiamo visto, in questi casi sono più convenienti altri procedimenti. • Come nelle equazioni di 1° grado, anche in quelle di secondo, è importante la riduzione in forma normale prima della applicazione della formula risolutiva. • Nelle equazioni frazionarie è necessario eliminare i denominatori assicurandosi che le radici non ne annullino qualcuno. 11

Relazioni fra i coefficienti 12

Riepilogando In una equazione di 2°grado, ridotta a forma normale e con il discriminante non negativo valgono le seguenti proprietà: • La somma s delle radici è il rapporto, cambiato di segno, tra il secondo ed il primo coefficiente. • Il prodotto p delle radici è il rapporto tra il terzo ed il primo coefficiente. 13

Conseguenze • Per scrivere un’equazione di 2°grado che abbia come radici due numeri assegnati m ed n, basta osservare che questo problema è soddisfatto dalla equazione: (x-m)(x-n)=0 che diventa 14

Applicazioni • Un’equazione di 2°grado che abbia come radici due numeri assegnati m ed n, ha come primo coefficiente l’unità, come secondo la somma dei due numeri dati cambiata di segno e come terzo il loro prodotto. • Un’altra applicazione è quella che ci permette di trovare due numeri sapendo la loro somma ed il loro prodotto. Per entrambi i casi analizzati basta applicare la formula: 15

Esempi 16

Equazioni di grado superiore al secondo Esistono delle particolari equazioni di grado superiore al secondo che, con qualche semplice artificio, si possono risolvere applicando i metodi studiati per le equazioni di 2°grado. Ci occuperemo dei seguenti tipi: • Equazioni binomie • Equazioni trinomie • Equazioni biquadratiche 17

Un’equazione si dice BINOMIA quando, ridotta a forma normale è del tipo: con n intero positivo, a e b reali ed a diverso da zero. • Se n=1 oppure n=2, l’equazione risulta di 1° e 2° grado ed è facilmente risolvibile. • Se n>2 si devono distinguere i casi: - n pari 18 - n dispari

Equazioni Binomie 19

Esempi 20

Un’equazione si dice TRINOMIA quando, ridotta a forma normale è del tipo: con n intero positivo ed a diverso da zero. • Se n=1 l’equazione diventa di 2°grado; • Se n=2 si chiama equazione Biquadratica; • Se n>2 si chiama equazione Trinomia. 21

Un’equazione si dice BIQUADRATICA quando, ridotta a forma normale è del tipo: con n intero positivo ed a diverso da zero. • Per risolvere un’equazione biquadratica, o, più in generale, trinomia, basta ridurla ad una di 2°grado effettuando un semplice cambio di variabile. 22

Esempio 23

Altri esempi 24