Prof ssa A Comis 1 Un po di
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Prof. ssa A. Comis 1
• • • Un po’ di Storia Definizione Confronto Operazioni Addizione e Moltiplicazione Sottrazione e Divisione Potenza Espressioni Criteri di divisibilità M. C. D. e m. c. m. 2
L’uomo primitivo non conosceva i numeri e per “contare”, gli oggetti o gli animali usava le dita delle mani o dei bastoncini o delle pietre. Tuttavia, fin dalle epoche più remote, egli è sempre stato affascinato dai numeri, come dimostrano le pitture rinvenute sulle pareti di caverne preistoriche. Gli Indiani ed i Cinesi già nel 5000 a. c. usavano un tipo di scrittura dei numeri adatta ad effettuare calcoli di ordine pratico. Gli antichi Egizi erano molto progrediti nella conoscenza dei numeri e della Geometria e questo era dovuto, in gran parte, alla necessità di ricalcolare i confini dei poderi cancellati dalle inondazioni del Nilo. 3
Attraverso i secoli, l’uomo ha imparato a dare “un nome” ad ogni numero e a rappresentarlo con un simbolo. Le parole “uno” e “cinque”, per esempio, derivano da termini dell’antico indiano che significano, rispettivamente, “pollice” e “mano aperta”. Bertrand Russel, celebre matematico vissuto dal 1872 al 1970, scrisse in proposito: <<…… …devono essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani e un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2 >>. 4
Per evidenziare il numero degli elementi che compongono un insieme infinito, fin dai tempi remoti, è stata introdotta la seguente successione di parole: uno, due, tre, …dieci, undici, …cento. . Tali parole sono state chiamate NUMERI NATURALI 5
La parola “zero” viene associata all’insieme vuoto (cioè quello privo di elementi) e si indica col simbolo 0. La parola “uno” viene associata ad ogni insieme che contiene un solo elemento e si indica col simbolo 1; La parola “due” viene associata ad ogni insieme che contiene due elementi e si indica col simbolo 2. In generale, quindi, possiamo associare ad ogni insieme un numero naturale che esprime “Quanti” sono i suoi elementi. 6
I numeri naturali, quindi, sono stati introdotti fin dall’antichità per “contare” gli oggetti di un dato insieme e, nell’ordine scritto, formano la cosiddetta SUCCESSIONE DEI NUMERI NATURALI. • Possiamo dare la seguente definizione: I Numeri Naturali sono TUTTI i numeri interi positivi a partire dallo zero. 7
Osservazioni • Si chiama successivo di un numero naturale quel numero che lo segue immediatamente nella successione naturale. • Ogni numero naturale ammette un successivo , quindi, la successione naturale non finisce MAI, cioè l’insieme N dei numeri naturali è infinito. • Ogni numero naturale ESCLUSO lo zero è successivo di un altro numero naturale. 8
Confronto in N Dati due numeri naturali a e b : • Se occupano lo stesso posto nella successione naturale, allora sono uguali e si scrive a = b; • Se a precede b nella successione naturale allora a è minore di b e si scrive a < b; • Se a segue b nella successione naturale allora a è maggiore di b e si scrive a > b. 9
Proprietà dell’uguaglianza • Riflessiva : ogni numero naturale è uguale a se stesso a=a • Simmetrica : se un numero naturale è uguale ad un altro, allora il secondo è uguale al primo. Se a = b allora b = a • Transitiva : se un numero naturale è uguale ad un secondo e questo è uguale ad un terzo, allora il primo è uguale al terzo. Se a = b e b = c allora a = c 10
Proprietà della disuguaglianza • Transitiva : se un numero naturale è maggiore (o minore) di un secondo e questo è maggiore (o minore) di un terzo, allora il primo è maggiore (o minore) del terzo. Se a > b e b > c allora a > c Se a < b e b < c allora a < c • Tricotomia : dati due numeri naturali qualunque sussiste SEMPRE una ed una SOLA delle seguenti relazioni : a=b a<b a>b a b c 11
Ancora un po’ di Storia Con i numeri nacquero anche le prime operazioni effettuate, naturalmente, su oggetti concreti. Solo successivamente l’uomo arrivò a capire il concetto di numero e che, per esempio, 5 + 3 ha sempre 8 come risultato, indipendentemente dal fatto che si sommino pecore, cavalli, persone o qualunque altro cosa. Si cominciarono quindi a sviluppare conoscenze sulle proprietà astratte dei numeri e delle relazioni che intercorrono fra di essi. 12
Il percorso che portò alle elaborazioni delle attuali concezioni e procedure di rappresentazione dei numeri e delle operazioni con essi, fu lungo e complesso. Oggi ci sembra del tutto naturale usare i numeri ed i bambini, già in tenera età, imparano a contare e poi ad eseguire le quattro operazioni, ma è importante ricordare che il nostro sapere di oggi è frutto di millenni di storia dell’uomo, di tentativi falliti e di piccoli successi. Anche la conquista di un simbolo per noi banale come lo zero, è stato il risultato di faticosi passi compiuti dall’uomo sulla lunga via dell’espansione delle sue conoscenze. 13
Operazioni in N • Nell’insieme dei numeri naturali si sono definite le quattro operazioni fondamentali, cioè l’addizione, la moltiplicazione e le loro inverse, che sono, rispettivamente, la sottrazione e la divisione. • L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni sempre possibili dato che la somma ed il prodotto di numeri naturali è ancora un numero naturale, cioè sono operazioni INTERNE all’insieme N. 14
• La parola “somma” deriva dal latino summa (in alto, al sommo), poiché gli antichi solevano scrivere il risultato delle operazioni in alto. • La parola “addendo” deriva dal latino addere che significa aggiungere. • I segni + e - sono deformazioni grafiche delle parole latine plus e minus. 15
Definizione di addizione • Diremo che: la somma di due numeri naturali è il numero che si ottiene aggiungendo al primo tante unità quante ne indica il secondo e scriveremo: a+b=s Dove a e b si chiamano addendi ed s rappresenta la somma o risultato dell’addizione. • La somma di un qualunque numero naturale con lo zero è il numero stesso cioè a + 0 = a e per questo lo zero si chiama elemento neutro dell’addizione. 16
• Diremo che : il prodotto di due numeri naturali è la somma di tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo e si scrive axb=p dove a e b si chiamano fattori e p rappresenta il prodotto o risultato della moltiplicazione. • Il prodotto di un qualunque numero naturale con il numero 1 è il numero stesso cioè a x 1 = a e per questo 1 si chiama elemento neutro della moltiplicazione. 17
Proprietà L’addizione e la moltiplicazione godono delle seguenti proprietà: • Commutativa : Invertendo l’ordine degli addendi (o dei fattori), la somma (o il prodotto ) di due o più numeri naturali non cambia, cioè a+b=b+a e axb=bxa • Associativa : La somma (o il prodotto) di più numeri naturali non cambia, se a due o più di essi si sostituisce la loro somma (o prodotto), cioè (a+b)+c=a+(b+c) e (axb)xc=ax(bxc) 18
Altre proprietà • Distributiva : il prodotto di una somma di numeri per un altro numero, è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente gli addendi della somma per il numero. Cioè : (a+b)xc = axc + bxc • Legge di annullamento del prodotto : il prodotto di due o più fattori vale zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero. • Inoltre : ax 0 = 0 xa = 0 qualunque sia a. 19
Esempi Proprietà commutativa 3+5 = 5+3 = 8 3 x 5 = 5 x 3 = 15 Proprietà associativa (7+2)+3 = 7+(2+3) (7 x 2)x 3 = 7 x(2 x 3) infatti 9+3 = 7+5 = 12 14 x 3 = 7 x 6 = 42 Proprietà distributiva (2+5)x 4 = 2 x 4 + 5 x 4 = 8 + 20 = 28 Elemento neutro 5+0 = 0+5 = 5 5 x 1 =1 x 5 =5 20
• Sottrarre da un numero naturale a un altro numero naturale b, significa trovare Se Esiste, un terzo numero naturale d che sommato al secondo dia il primo. Cioè : a–b=d SE d + b = a dove a si chiama minuendo, b si chiama sottraendo e d è la differenza o risultato della sottrazione. • La sottrazione NON è una operazione interna in N dato che è possibile SOLO SE il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. 21
Proprietà • La sottrazione NON gode né della proprietà commutativa né di quella associativa. Esempi: 7 -4 = 3 ma 4 -7 non esiste (7 -5)-2 = 2 -2 =0 ma 7 -(5 -2) = 7 -3 =4 • La proprietà distributiva vale se è possibile effettuare la differenza, cioè : (a-b)xc = (axc)- (bxc) SE a-b è un numero naturale. Esempio: (12 -4)x 3= 36 -12 = 24 ma anche: 22 (12 -4)x 3 = 8 x 3 = 24
Proprietà invariantiva • La differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge (o sottrae) ad entrambi uno stesso numero, cioè: a-b = d (a+m) - (b+m) = d (a-m) - (b-m) = d naturalmente è fondamentale che il numero m non superi sia a che b. Esempio: 18 -5 = 13 (18+2)-(5+2) = 20 -7 =13 (18 -3)-(5 -3) = 15 -2 = 13 23
• Dividere un numero naturale per un altro diverso da zero, significa trovare Se Esiste un terzo numero naturale che moltiplicato per il secondo dia il primo. Cioè : a: b = q se qxb = a dove a si chiama dividendo b si chiama divisore e q è il quoziente o risultato della divisione. • La divisione NON è una operazione interna in N dato che è possibile SOLO SE il dividendo è multiplo del divisore. 24
Proprietà • La divisione NON gode né della proprietà commutativa né di quella associativa. Esempi: 8: 4 = 2 ma 4: 8 non esiste (16: 4): 2 = 2 ma 16: (4: 2) = 16: 2 = 8 • La proprietà distributiva vale se è possibile effettuare la divisione, cioè : (a+b): c = (a: c) +(b: c) Esempio: (10+4): 2 = (10: 2)+(4: 2) = 5+2 = 7 ma anche: (10+4): 2 = 14: 2 = 7 25
Proprietà invariantiva Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplicano (o dividono) sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, cioè: a: b = q (axm) : (bxm) = q (a: m) : (b: m) = q naturalmente nel secondo caso è fondamentale che sia a che b siano multipli di m. Esempio: 40: 5 = (40 x 2): (5 x 2) = 80: 10 = 8 26 40: 8 = (40: 2): (8: 2) = 20: 4 = 5
Osservazioni • Il quoziente di due numeri uguali è 1, cioè a: a = 1 qualunque sia a. • Il divisore DEVE sempre essere diverso da zero; per esempio la scrittura 8: 0, non ha senso perché non esiste un numero che moltiplicato per 0 dia 8. • Non ha senso la scrittura 0: 0. • Se dividiamo 0 per qualunque altro numero otteniamo sempre 0, cioè 0: a = 0 27
• Dato un numero naturale a ed un numero n>1, si chiama potenza ennesima di a, il prodotto di n fattori uguali ad a. a si chiama base, n si chiama esponente e si scrive : 28
Proprietà • Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. • Il rapporto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. • La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. 29
Altre proprietà • La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze. • La potenza di un rapporto è il rapporto delle potenze. • La potenza di un numero a con esponente 1 è il numero stesso. • La potenza di un numero a con esponente 0 è SEMPRE 1. • Non ha senso la potenza con base ed esponente uguali a 0. 30
Riepilogando 31
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• Si chiama espressione aritmetica una sequenza finita di numeri e simboli (i segni delle operazioni e le parentesi). • Per risolvere le espressioni basta applicare le proprietà viste fino ad ora, tenendo presente che: se l’espressione non contiene parentesi, le moltiplicazioni e le divisioni si DEVONO eseguire prima delle addizioni e delle sottrazioni; se l’espressione contiene parentesi bisogna risolvere le operazioni che compaiono nelle parentesi più interne e procedere poi verso 33 l’esterno.
Esempi 34
Criteri di divisibilità • • Un numero è divisibile per un altro quando la divisione del primo per il secondo è esatta, cioè dà per resto zero. Vediamo alcuni “criteri” : Un numero è divisibile per 2 se è pari Un numero è divisibile per 3 se la somma delle cifre che lo compongono è multiplo di 3 Un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra a destra è 0 oppure 5 Un numero di almeno tre cifre è divisibile per 4 o per 25 se lo è il numero formato dalle sue ultime 35 due cifre a destra
Altri criteri • Un numero è divisibile per 10, 1000, ecc …. quando termina con uno, due, tre, ecc. zeri • Un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari è zero o 11 • Un numero si dice PRIMO se è divisibile SOLTANTO per se stesso e per 1 • Due numeri si dicono PRIMI FRA LORO se non hanno fattori comuni oltre 1 36
M. C. D. e m. c. m. • Dicesi M. C. D. fra due o più numeri scomposti in fattori primi, il prodotto dei fattori comuni presi una volta e con il minore esponente. • Dicesi m. c. m. fra due o più numeri scomposti in fattori primi il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una volta e con il maggiore esponente. 37
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