La divisione tra polinomi e la scomposizione in

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Divisione La divisione tra polinomi si esegue con un procedimento analogo a quello della divisione tra due numeri. Calcoliamo: (7 x + 8 x 2 + 2) : (2 x + 3) 1° passo. Ordiniamo i polinomi secondo le potenze decrescenti di x e costruiamo lo schema della divisione: 2° passo. Dividiamo 8 x 2 per 2 x e riportiamo il risultato sotto il divisore. 8 x 2 + 7 x + 2 2 x + 3 4 x 1

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori 3° passo. Moltiplichiamo il primo quoziente parziale 4 x per il polinomio divisore e sottraiamo dal polinomio dividendo, incolonnando, i termini di ugual grado. Divisione 8 x 2 + 7 x + 2 2 x + 3 − 8 x 2 − 12 x 4 x − 5 x + 2 4° passo. Abbiamo ottenuto − 5 x + 2 (1° resto parziale). Tale resto ha grado maggiore o uguale a quello del divisore: si possono ripetere i passi ricominciando dal primo. 8 x 2 + 7 x + 2 2 x + 3 − 8 x 2 − 12 x 4 x − − 5 x + 2 15 +5 x + 2 19 2 5 2 Q(x): quoziente R: resto 2

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Divisibilità dei polinomi Le divisioni di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado della forma (x – a) hanno un particolare rilievo; per esse valgono i seguenti teoremi. • Teorema del resto: il resto della divisione di P(x) per (x – a) è uguale a P(a). P(x) = x 3 – 2 x 2 + 4 divisore: x – 1 resto: P(1) = 3 • Teorema di Ruffini: un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x – a) se e solo se P(a) = 0 In questo caso a rappresenta uno zero del polinomio. Il teorema di Ruffini rappresenta quindi un criterio di divisibilità di P(x) per (x – a). 3

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Regola di Ruffini La divisione tra P(x) e (x – a) si può eseguire come divisione tra polinomi o con la regola di Ruffini. Calcoliamo: (3 x 2 − 2 x + 5) : (x − 2) 1° passo. Si scrivono i coefficienti di P(x) su una stessa riga, ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile x, ricordando di scrivere 0 come coefficiente dei termini mancanti se il polinomio è incompleto. 2° passo. Dopo aver scritto il valore di a (cioè +2), si scrive in basso il primo coefficiente (cioè +3). 3° passo. Si moltiplica il valore di a per il coefficiente del termine che abbiamo appena riportato nell’ultima riga e si scrive il risultato nella colonna successiva (cioè 2 3 = 6). coefficienti del polinomio valore di a +3 − 2 +6 +5 +8 +3 +4 + 13 +2 resto 4° passo. Si sommano gli ultimi valori incolonnati e si scrive il risultato nell’ultima riga (cioè − 2 + 6 = 4). 5° passo. Si ripetono i passi 3 e 4 fino a che si esaurisce lo schema. Il quoziente è un polinomio di grado inferiore di 1 rispetto a quello del dividendo e ha per coefficienti i numeri dell’ultima riga della tabella. Quindi Q(x) = 3 x + 4 e R = 13. 4

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Cos’è la fattorizzazione Fattorizzare o scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori primi. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. Metodi di scomposizione I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri: • i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale • il riconoscimento di prodotti notevoli • la regola del trinomio caratteristico • la somma o la differenza di due cubi • l’individuazione dei divisori della forma x – a 5

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Raccoglimenti RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE • Si individua il M. C. D. fra i termini del polinomio • Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune e il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei suoi monomi per il M. C. D. calcolato. ESEMPIO 5 mn – 10 mn 2 + 15 m 2 n = 5 m n – 2 5 m n n + 3 5 m m n = = 5 mn(1 – 2 n + 3 m) 6

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Raccoglimenti RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini, in modo tale che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale. ESEMPIO 2 ay + 2 by + ax + bx = 2 y(a + b) + x(a + b) = (a + b) (2 y + x) raccoglimento parziale raccoglimento totale 7

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Riconoscimento dei prodotti notevoli TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a 2 − 2 ab + b 2 = (a − b)2 = (b – a)2 ESEMPI 1. a 2 + 8 a + 16 = (a + 4)2 (a)2 (4)2 2 a 4 8

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori 2. Riconoscimento dei prodotti notevoli 9 x 2 – 12 xy + 4 y 2 = (3 x – 2 y)2 = (2 y – 3 x)2 (2 y)2 2 3 x 2 y 3. 4 a 2 – 6 ax + 9 x 2 (2 a)2 non è lo sviluppo di un quadrato (3 x)2 2 a 3 x 9

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Riconoscimento dei prodotti notevoli POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc= (a + b + c)2 ESEMPI 1. a 2 + 2 ab + b 2 + 4 a + 4 b + 4 = (a + b + 2)2 (a)2 (b)2 2 a b (2)2 2 a 2 2 b 2 10

Riconoscimento dei prodotti notevoli La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori ESEMPI x 2 + 4 y 6 + 9 − 4 xy 3 + 6 x − 12 y 3 Tenendo conto dei segni dei doppi prodotti: x e 3 hanno lo stesso segno (x)2 x e 2 y 3 hanno segni discordi 2 y 3 e 3 hanno segni discordi (2 y 3)2 (3)2 2 x 2 y 3 (x − 2 y 3 + 3)2 oppure (− x + 2 y 3 – 3)2 2 x 3 2 2 y 3 3 11

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Riconoscimento dei prodotti notevoli QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 = (a + b)3 a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 = (a − b)3 ESEMPIO 1. x 3 + 6 x 2 y + 12 xy 2 + 8 y 3 = (x + 2 y)3 (x)3 (2 y)3 3 (x)2 (2 y) 3 x (2 y)2 12

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Riconoscimento dei prodotti notevoli DIFFERENZA DI QUADRATI a 2 − b 2 = (a + b) (a – b) ESEMPI 1. 9 x 2 − y 2 = (3 x + y) (3 x – y) (3 x)2 (y)2 2. 9 z 2 − (z + 5)2 = [3 z + (z + 5)] [3 z – (z + 5)] = (3 z)2 (z + 5)2 = (3 z + z +5) (3 z – 5) = = (4 z + 5) (2 z – 5) 13

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Riconoscimento dei prodotti notevoli 2. a 6 − 9 a 4 b + 27 a 2 b 2 − 27 b 3 = (a 2 − 3 b)3 (a 2)3 (− 3 b)3 3(a 2)2 (− 3 b) 3(a 2) (− 3 b)2 14

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Trinomio caratteristico TRINOMIO CARATTERISTICO Forma del trinomio caratteristico: x 2 + (a + b)x + ab Procedura di scomposizione • Si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x 2 + ax + bx + ab • Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a) • Si esegue un raccoglimento totale: (x + a) (x + b) Regola di scomposizione: x 2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) ESEMPIO x 2 + 5 x + 6 = x 2 + (2 + 3)x + 2 3 = (x + 2) (x + 3) somma prodotto 15

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Somma e differenza di cubi SOMMA O DIFFERENZA DI DUE CUBI • somma di cubi: x 3 + a 3 = (x + a) (x 2 – ax + a 2) somma delle basi quadrato della prima base quadrato della seconda base prodotto cambiato di segno delle due basi • differenza di cubi: x 3 − a 3 = (x − a) (x 2 + ax + a 2) differenza delle basi ESEMPIO x 3 – 27 = (x – 3) (x 2 +3 x + 9) 8 y 3 + 1 = (2 y + 1) (4 y 2 − 2 y + 1) 16

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Ricerca dei divisori di un polinomio L’INDIVIDUAZIONE DEI DIVISORI DELLA FORMA x - a • Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a). • Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0. • Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x). ESEMPIO x 3 + 4 x 2 + x − 6 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 17

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Ricerca dei divisori di un polinomio Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. ESEMPIO 3 x 3 + 3 x 2 + 11 x + 6 Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 Divisori di 3: ± 1, ± 3 Possibili valori di a: 18

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Scomposizione con Ruffini ESEMPIO P(x) = 2 x 3 + 9 x 2 + 7 x – 6 • Possibili valori di a: • Calcolo di P(a): P(1) = 2 + 9 + 7 – 6 ≠ 0 P(− 1) = − 2 + 9 − 7 – 6 ≠ 0 P(− 2) = − 16 + 36 − 14 – 6 = 0 continua 19

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori • Divisione con la regola di Ruffini 2 9 − 4 2 5 − 2 • 1 a scomposizione di P(x): (x • Scomponiamo Scomposizione con Ruffini 7 − 6 − 10 6 − 3 0 + 2) (2 x 2 + 5 x – 3) Q(x) = 2 x 2 + 5 x – 3 seguendo i passi precedenti: § possibili valori di a: Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) ≠ 0 § Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0 Q(− 3) = 18 − 15 – 3 = 0 continua 20

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori 2 § Regola di Ruffini 2 Quindi: 5 − 3 − 6 +3 − 3 § scomposizione: Scomposizione con Ruffini − 1 0 (x + 3) (2 x – 1) 2 x 3 + 9 x 2 + 7 x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2 x – 1) 21

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori Sintesi Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni: • controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale • riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un: binomio trinomio quadrinomio polinomio di sei termini differenza di quadrati x 2 – a 2 = (x – a) (x + a) somma di quadrati x 2 + a 2 irriducibile somma di cubi x 3 + a 3 = (x + a) (x 2 − ax + a 2) differenza di cubi x 3 – a 3 = (x − a) (x 2 + ax + a 2) quadrato di un binomio a 2 ± 2 ab + b 2 = (a ± b)2 trinomio caratteristico x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) cubo di un binomio a 2 ± 3 a 2 b +3 ab 2 ± b 3 = (a ± b)3 differenza di due quadrati a 2 + 2 ab + b 2 – x 2 = (a + b)2 – x 2 = (a + b + x) (a + b − x) quadrato di un trinomio a 2 + 4 b 2 + 9 + 4 ab − 6 a – 12 b = (a + 2 b – 3)2 differenza dei quadrati di due binomi a 2 + 2 a + 1 – x 2 + 2 xy − y 2 = (a + 1)2 − (x – y)2 = = (a + 1 + x – y) (a + 1 – x + y) • cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini. 22

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori M. C. D. e m. c. m. tra polinomi Per determinare il M. C. D. fra due o più polinomi: • si scompongono i polinomi in fattori, • si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono. Per determinare il m. c. m. fra due o più polinomi: • si scompongono i polinomi in fattori, • si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con cui compaiono. 23

La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori M. C. D. e m. c. m. tra polinomi ESEMPIO Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M. C. D. e m. c. m. : 8 x 2 + 16 xy + 8 y 2 4 x 4 – 4 x 2 y 2 12 x 2 + 12 xy Scomponiamo in fattori i tre polinomi: • 8 x 2 + 16 xy + 8 y 2 = 8(x 2 + 2 xy + y 2) = 8(x + y)2 • 4 x 4 – 4 x 2 y 2 = 4 x 2(x 2 – y 2) = 4 x 2(x – y) (x + y) • 12 x 2 + 12 xy = 12 x(x + y) M. C. D. = 4(x + y) m. c. m. = 24 x 2(x + y)2 (x – y) 24