SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un Polinomio Programma

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un Polinomio Programma svolto al primo anno del liceo artistico 2009/2010 da Cotroni Grazia

Che cosa significa “scomposizione”? Scomporre un polinomio significa esprimerlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore 2

Come faccio a scomporre in fattori un polinomio? 3

Ripassiamo i prodotti notevoli 4 NOME TIPO Quadrato di un binomio ( a + b )2 Somma per differenza (a+b)(a–b) SVILUPPO a 2 + 2 ab + b 2 a 2 – b 2 PROSEGUIAMO

PRIMA DI TUTTO… • Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE 5

Racccoglimento a fattor comune o raccoglimento totale Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore comune, questo può essere messo in evidenza. In generale si cerca di prendere come fattore comune il M. C. D. fra i termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò che è possibile. In questo modo si esegue una scomposizione del polinomio perché lo si scrive come prodotto di due fattori. Es. ax + ay + az = a(x + y + z) Es. 15 x 2 y – 9 xy 2 + 3 xy = 3 xy(5 x – 3 y + 1) 3 xy in questo caso i coefficienti sono tutti divisibili per 3 poi tutti hanno la x e la y Es. x(a+b) - 2 a(a+b) +3 y(a+b)=(a+b)(x a+b) – 2 a + 3 y) in questo caso tutti hanno in comune la stessa parentesi (a+b) 6 ritorna

RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l’ M. C. D. dei monomi 3 a 2 b - 5 a 3 b 4 + a 4 b 6 = a 2 b ( 3 - 5 ab 3 + 4 a 2 b 5 ) 7

Raccoglimento parziale A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor comune perché non c’è un divisore comune a tutti i monomi. In alcuni casi, però, ci si può ricondurre a una situazione di questo tipo eseguendo prima dei raccoglimenti con gruppi di monomi. Es. 2 a + 2 b + ax + bx 8 I primi due monomi hanno in comune 2 che si può mettere in evidenza, mentre gli altri due hanno in comune x, per cui 2(a + b) + x(a + b) E poiché le due parentesi sono uguali, tale espressione si può mettere in evidenza, raccogliendo a fattor comune (a + b)(2 + x) Quindi 2 a + 2 b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)

RACCOGLIMENTO PARZIALE 10 a 3 b + 2 xb - 5 a 3 – x = 5 a 3 ( b – 1 ) + 2 x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5 a 3 + 2 x ) 9

ALTRIMENTI Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole • BINOMIO • TRINOMIO 10

Binomi • Differenza di due quadrati A 2 – B 2 = (A-B)(A+B) • Somma di due quadrati A 2 + B 2 : è indecomponibile 11

Differenza di due quadrati Se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati, per scomporlo basta individuare le basi dei due quadrati ed indicare il prodotto della loro somma per la loro differenza. Es. x 2 – 4 y 2 Basi: (x) (2 y) si scompone come somma per differenza quindi x 2 – 4 y 2 = (x + 2 y)(x – 2 y) Es. 25 x 4 – 16 y 6 (5 x 2) (4 y 3) Quindi 25 x 4 – 16 y 6 = (5 x 2 + 4 y 3)(5 x 2 - 4 y 3) 12

Trinomi Sviluppo del quadrato di un binomio : A 2± 2 AB+B 2 = (A±B) 2 Trinomio particolare di secondo grado: grado b 1) primo tipo: x 2 + sx + p = (x +a )( x+b ) dove s = a+b e p= ab ; es. x 2 – 5 x +6 = ( x-2 )( x-3 ) infatti è -5 =-2 -3 e +6 = (-2)(-3) b 2) secondo tipo: ax 2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn. Il polinomio si scrive a x 2 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale. Es 3 x 2 -7 x +4 = 3 x 2 -3 x -4 x+4= 3 x(x-1) -4(x-1) = raccogliamo (x-1) e abbiamo (x-1)(3 x-4); 13

Quadrato di un binomio è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi 16 a 4 + b 2 - 8 a 2 b = (4 a 2 - b)2 Es. 4 x 2 – 12 xy + 9 y 2 = basi: (2 x) Quindi (3 y) 4 x 2 – 12 xy + 9 y 2 = (2 x – 3 y)2 Questo termine non scompare, va dentro il quadrato! 14

Trinomio particolare primo tipo Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha: Grado due rispetto a quella lettera Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri a e b Termine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a e b quindi del tipo: x 2 + (a+b)x + ab= si scompone come (x + a)(x + b) Infatti è x 2 + (a+b)x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x(x+a) + b(x+a) = (x + a)(x + b) 15

Esempio trinomio primo tipo Esercizio: x 2 -5 x + 6= Cerco due numeri che moltiplicati danno +6 e sommati danno +5. Parto dal prodotto e considero tutte le possibilità Una volta trovati i due numeri +6·+1 -6 ·-1 scriverò al posto del -5 +3 ·+2 x 2 +(-3 -2)x+6= -3·-2 2 x -3 x-2 x + 6= e farò il raccoglimento parziale x(x-3)-2(x– 3)= (x-3)(x-2) 16

Trinomio particolare secondo tipo Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha: Grado due rispetto a quella lettera Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri Il termine noto per il coefficiente del termine di grado massimo uguale al prodotto degli stessi numeri quindi del tipo: ax 2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn. Il polinomio si scrive a x 2 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale. 17

Trinomio particolare secondo tipo Es 3 x 2 -7 x +4 = devo trovare due numeri che moltiplicati danno +12 e sommati danno -7. Scrivo tutte le possibilità 3 x 2 -3 x -4 x+4= 3 x(x-1) -4(x-1) = raccogliamo (x-1) e abbiamo (x-1)(3 x-4); 18 +12· +1 -12 · -1 +6 · +2 -6 · -2 -3 · -4 +3 · +4

Riassunto programma svolto sulla scomposizione Binomio Trinomio Quadrinomio 19 Differenza di quadrati a 2 – b 2 Somma di quadrati a 2 + b 2 Sviluppo quadrato di un binomio a 2 +2 ab+ b 2 oppure a 2 -2 ab+ b 2 Trinomio particolare x 2 + (a+b)x + ab= oppure ax 2 +bx + c vedi se c’è un raccoglimento parziale

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