Contenuti minimi Matematica Home La scomposizione di un

Contenuti minimi Matematica ¡ ¡ Home La scomposizione di un polinomio in fattori Le operazioni con le frazioni algebriche Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni I sistemi di equazioni di 1° grado

La scomposizione di un polinomio in fattori Scomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo in un prodotto di polinomi e monomi. Per scomporre un polinomio in fattori si possono applicare vari procedimenti. La scelta del procedimento dipende da come si presenta il polinomio da scomporre. Si potranno anche applicare più procedimenti nella stessa scomposizione. ¡ ¡ ¡ Raccoglimenti Binomi Trinomi particolari Quadrinomi particolari Scomposizione mediante la Regola di Ruffini Quadro riassuntivo dei metodi di scomposizione Verifica Home Scelta Contenuti matematica

Esempi guidati di raccoglimenti totali 1 - Scomporre x 3+2 x 2 -x= • Si calcola il massimo comune divisore tra x 3, x 2, x, cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = x. • Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè: x ( x 3: x + 2 x 2: x – x: x) = ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente x ( x 2 + 2 x -1 )

Esempi guidati di raccoglimenti totali Scomporre 2 a( x+1) – 4 b( x +1 ) = • Si calcola il massimo comune divisore tra 2 a ( x+1 ), 4 b ( x+1 ), cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = 2 ( x+1 ). Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè: 2( x+1 )[ 2 a(x+1) : 2(x+1) – 4 b(x+1) : 2(x+1)]= ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente 2(x+1)(a – 2 b)

Esempi guidati di raccoglimenti parziali Scomporre xa + 4 ay + 2 xb + 8 b y= Osserviamo che non si può procedere con un raccoglimento totale perché il MCD tra tutti i termini è 1! Osserviamo, però, che il 1° e 3° termine hanno un MCD diverso da 1 come anche il 2° e il 4°! Cioè: xa + 4 a y + 2 b x + 8 b MCD= x In pratica si procede così: y= MCD = 4 y x (xa: x + 2 bx: x) + 4 y (4 ay: 4 y + 8 by: 4 y) = ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente x ( a + 2 b) + 4 y (a + 2 b)= Possiamo ora procedere con il raccoglimento totale di (a+2 b) e scrivere: (a + 2 b) (x + 4 y)

Verifica: Scomponi i seguenti polinomi in fattori Cliccando su soluzioni potrai controllare i tuoi risultati soluzioni

Le operazioni con le frazioni algebriche Una frazione algebrica è il quoziente di due polinomi, il secondo dei quali diverso da zero. o Addizione e sottrazione di frazioni algebriche o Moltiplicazione tra frazioni algebriche o Divisione tra frazioni algebriche o Potenza di frazioni algebriche Verifica Home Scelta Contenuti matematica

Verifica: Risolvi le seguenti espressioni Cliccando su ogni traccia potrai controllare i procedimenti di risoluzione

Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni • identità ed Equazioni: generalità (Identità o equazione? – Tipi di equazione – Equazioni determinate, indeterminate, impossibili – Forma normale, grado – Soluzioni ) • Principi di equivalenza: 1° principio – 2° principio – L’equilibrio delle equazioni • Procedimento risolutivo di una equazione numerica intera di 1° grado • Procedimento risolutivo di una equazione numerica fratta di 1° grado • Procedimento risolutivo di una equazione letterale intera di 1° grado Verifica Home Scelta Contenuti matematica

Verifica: Trova le soluzioni delle seguenti equazioni Cliccando sulle tracce potrai controllare i procedimenti risolutivi

I sistemi di equazioni di 1° grado o Generalità sui sistemi di equazioni: * soluzioni, forma normale, grado * sistema determinato, indeterminato, impossibile. o Metodi di risoluzione: * Metodo di sostituzione * Metodo di riduzione * Matrici e determinanti – Metodo di Cramer Verifica Home Scelta Contenuti matematica

Verifica: Risolvi i seguenti sistemi con i metodi indicati. Cliccando su ogni traccia potrai controllare lo svolgimento

B ¡ Binomio: polinomio formato da due soli termini. 2 x+y ; 5 a 2 -b Es:

D ¡ ¡ Dividendo: è il primo termine della divisione Divisore: è il secondo termine della divisione dividendo 40 4 resto 9 4 divisore quoto o Denominatore: è il termine che si trova sotto il segno di frazione Numeratore denominatore

M ¡ Monomio: espressione letterale che non contiene operazioni di addizione e sottrazione 3 ab - ½ a 2 o Monomi simili: due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale 3 ab -ab

o M. C. D. (massimo comune divisore tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente M. C. D. ( 20; 16 ) = ( 22* 5 ; 24 ) = 22 M. C. D. [ ( x 2 – 1 ); x 2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = ( x – 1 ) o m. c. m. (minimo comune multiplo tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente m. c. m. ( 15; 18 ) = ( 3 * 5 ; 2 * 32 ) = 2 * 32 * 5 = 90 m. c. m. [ ( x 2 – 1 ); x 2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = x ( x – 1 ) ( x + 1 )

N ¡ Numeratore: è il termine che si trova sopra il segno di frazione Numeratore denominatore

P ¡ Polinomio: è la somma algebrica di monomi interi 2 ab+4 a

Q ¡ Quadrinomio: è un polinomio formato da 4 termini 4 a + 2 b – a 2 + 5 b 3

R ¡ Regola di Ruffini: permette di svolgere la divisione tra un polinomio ordinato e completo e un binomio di 1° grado con il coefficiente del termine di 1° grado uguale a 1. per illustrare questa regola svolgiamo la divisione +2 Ordiniamo i coefficienti come nel prospetto, Cambiando il segno del termine noto: +2 +4 -1 +5 +6 +3 +4 -1 +5 +3 Scriviamo il primo coefficiente sotto la linea orizzontale e moltiplichiamolo per +3; trascriviamo il risultato +6 sotto il secondo coefficiente +4 e sommiamo trascrivendo il risultato +10 sotto la linea orizzontale +2 +10 +2 +3 +4 -1 +5 +6 +30 +87 +2 +10 +29 +92 Moltiplichiamo ora anche +10 per +3 e trascriviamo il risultato +30, sotto il terzo coefficiente -1; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +29 sotto la linea orizzontale. Moltiplichiamo ancora +29 per +3 e trascriviamo il risultato + 87 sotto il termine noto +5; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +92 sotto la linea orizzontale Il quoto della divisione sarà il polinomio 2 x 2 + 10 x + 29 Osserviamo che il grado del polinomio quoto è inferiore di 1 rispetto al grado del polinomio dividendo! con resto +92

S ¡ Semplificazione di una frazione algebrica: Semplificare una frazione algebrica significa dividere il suo numeratore e denominatore per un fattore comune. La frazione si dirà semplificata ai minimi termini se non si potrà ulteriormente semplificare. Per semplificare una frazione si procede così: * Si scompongono il numeratore e il denominatore della frazione * Si eliminano dal numeratore e dal denominatore i fattori comuni

T ¡ Trinomio: è un polinomio formato da tre termini ad es: 5 ab + 6 b + c