SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un polinomio Ripassiamo

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un polinomio

Ripassiamo i prodotti notevoli NOME TIPO Quadrato di un binomio ( a + b )2 Cubo di un binomio ( a + b )3 Somma per differenza SVILUPPO a 2 + 2 ab + b 2 TRINOMIO a 3 + 3 a 2 b +3 ab 2+b 3 QUADRINOMIO a 2 – b 2 (a+b)(a–b) BINOMIO ( a + b + c )( a + b – c ) Quadrato di un trinomio (a+b)( (a–b)( a 2 POLINOMIO – ab + b 2 +ab + b 2 ) “Senza nome ” 2 QUADRINOMIO a 2+b 2+c 2+2 ab+2 ac+2 bc ( a + b + c )2 a 2 [(a+b)2 – c 2 ] = a 2 + 2 ab + b 2 – c ) a 3 + b 3 BINOMIO a 3 – b 3 BINOMIO PROSEGUIAMO

Ripassiamo i prodotti notevoli NOME TIPO Quadrato di un binomio ( a + b )2 Cubo di un binomio ( a + b )3 Somma per differenza SVILUPPO a 2 + 2 ab + b 2 TRINOMIO a 3 + 3 a 2 b +3 ab 2+b 3 QUADRINOMIO a 2 – b 2 (a+b)(a–b) BINOMIO ( a + b + c )( a + b – c ) Quadrato di un trinomio (a+b)( (a–b)( a 2 POLINOMIO – ab + b 2 +ab + b 2 ) “Senza nome ” 3 QUADRINOMIO a 2+b 2+c 2+2 ab+2 ac+2 bc ( a + b + c )2 a 2 [(a+b)2 – c 2 ] = a 2 + 2 ab + b 2 – c ) a 3 + b 3 BINOMIO a 3 – b 3 BINOMIO RITORNIAMO ALLA DIAPOSITIVA N. 8

Come faccio a scomporre in fattori primi? 4

PRIMA DI TUTTO… n Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE RIASSUMENDO 5 Altrimenti…

PRIMA DI TUTTO… n Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE RIASSUMENDO 6 Altrimenti…

ALTRIMENTI n Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole • BINOMIO • TRINOMIO • QUADRINOMIO • POLINOMIO RIASSUMENDO 7 OPPURE

ALTRIMENTI n Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole • BINOMIO • TRINOMIO • QUADRINOMIO • POLINOMIO RIASSUMENDO 8 OPPURE

OPPURE n faccio il raccoglimento parziale. 9

OPPURE n faccio il raccoglimento parziale. RIASSUMENDO 10

Raccoglimento totale BINOMIO TRINOMIO Differenza di due quadrati ( a 2 – b 2 ) = ( a – b )( a + b ) Somma di due quadrati NON SI PUO’ SCOMPORRE Somma di due cubi a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) Differenza di due cubi a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) Raccoglimento totale a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 Quadrato di un binomio a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 Trinomio notevole x 2 + sx + p = (x + a )(x + b ) Se s = a + b e p = ab Ruffini Raccoglimento totale Cubo di un binomio QUADRINOMIO a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 = ( a + b )3 Raccoglimento parziale Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 + b 2 - 2 ab – x 2 =(a - b)2 - x 2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ruffini Raccoglimento totale POLINOMIO 11 Raccoglimento parziale Quadrato di un trinomio Ruffini a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc = ( a + b + c )2

RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l’ M. C. D. dei monomi 3 a 2 b - 5 a 3 b 4 + a 4 b 6 = a 2 b ( 3 - 5 ab 3 + a 2 b 5 ) RIASSUMENDO 12

RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l’ M. C. D. dei monomi 3 a 2 b - 5 a 3 b 4 + a 4 b 6 = a 2 b ( 3 - 5 ab 3 + 4 a 2 b 5 ) RIASSUMENDO 13

RACCOGLIMENTO PARZIALE 10 a 3 b + 2 xb - 5 a 3 – x = 5 a 3 ( b – 1 ) + 2 x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5 a 3 + 2 x ) RIASSUMENDO 14

RACCOGLIMENTO PARZIALE 10 a 3 b + 2 xb - 5 a 3 – x = 5 a 3 ( b – 1 ) + 2 x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5 a 3 + 2 x ) RIASSUMENDO 15

BINOMIO • DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a 2 – b 2 ) = ( a – b )( a + b ) § DIFFERENZA DI CUBI a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) Ritorna ai prodotti notevoli 16 § ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab+ b 2 ) RIASSUMENDO

BINOMIO • DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a 2 – b 2 ) = ( a – b )( a + b ) § DIFFERENZA DI CUBI a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) Ritorna ai prodotti notevoli 17 § ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab+ b 2 ) RIASSUMENDO

TRINOMIO • QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) 16 a 4 + b 2 - 8 a 2 b = (4 a 2 - b)2 § TRINOMIO NOTEVOLE ( deve essere sempre del tipo : con s = a + b e p = ab RIASSUMENDO Ritorna ai prodotti notevoli 18 x 2 - 9 x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 ) x 2 + sx + p )

TRINOMIO • QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) 16 a 4 + b 2 - 8 a 2 b = (4 a 2 - b)2 § TRINOMIO NOTEVOLE ( deve essere sempre del tipo : con s = a + b e p = ab RIASSUMENDO Ritorna ai prodotti notevoli 19 x 2 - 9 x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 ) x 2 + sx + p )

QUADRINOMIO § CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra) a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 = ( a + b )3 § RIASSUMENDO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 + b 2 - 2 ab – x 2 = (a - b)2 - x 2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ritorna ai prodotti notevoli 20

QUADRINOMIO § CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra) a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 = ( a + b )3 § RIASSUMENDO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 + b 2 - 2 ab – x 2 = (a - b)2 - x 2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ritorna ai prodotti notevoli 21

POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO (tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc = ( a + b + c )2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI Ritorna ai prodotti notevoli 22 RIASSUMENDO

POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO (tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc = ( a + b + c )2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI Ritorna ai prodotti notevoli 23 RIASSUMENDO

REGOLA DI RUFFINI x 5 – 10 x – 12 = 1 0 0 0 -10 2 2 4 8 3 1 2 4 -12 16 8 12 6 0 = ( x – 2 ) ( x 4 + 2 x 3 +4 x 2 +8 x + 6 ) 24

M. C. D. fra polinomi L’ M. C. D. fra due o più polinomi è costituito SOLO dai fattori COMUNI, presi una sola volta con il minimo esponente Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i monomi che compongono il polinomio e poi calcolare l’ M. C. D. 25

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