Dinamica dei sistemi di punti Sistema di punti

Dinamica dei sistemi di punti Sistema di punti materiali: n n Forze interne: forze dovute a particelle che fanno parte del sistema di punti materiali Forze esterne: forze dovute a particelle che non fanno parte del sistema di punti materiali i=1, 2. . n 1

Centro di massa Si definisce centro di massa di un sistema di punti il punto geometrico la cui posizione è individuata, nel sistema di riferimento considerato, dal raggio vettore: 2

Centro di massa Si trovi il centro di massa di unsistema costituito da tre punti materiali m 1: 2 kg nell’origine, m 2 = 4 kg sull’asse y in y = 3 m e m 3= 6 kg sull’asse x in x = 4 m m 2 m 1 m 3 3

Velocità del centro di massa n Se i vari punti materiali si muovono, anche il centro di massa si muoverà con velocità: La quantità di moto totale del sistema coincide con quella del CM!! 4

Accelerazione del centro di massa Teorema del moto del CM: il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne. Se la risultante delle forze esterne agente su un sistema di particelle è nulla, allora il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme. 5

Quantità di moto del centro di massa La risultante delle forze esterne è pari alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema. Se il sistema è isolato: la quantità di moto TOTALE del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso ma la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare. 6

Sistema di riferimento del CM Un punto di massa m 1 con velocità v 1 urta un punto di massa m 2 inizialmente fermo. Dopo l’urto, i due corpi si muovono attaccati. Calcolare la velocità finale dei due corpi. Nel sistema CM quali sono le velocità dei punti prima dell’urto? Prima dell’urto 7

Sistema di riferimento del CM Nel sistema di riferimento del centro di massa la quantità di moto totale del sistema è nulla. . . Sia prima che dopo l’urto. . 8

Centro di Massa di corpi rigidi • Il corpo rigido è un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo. • Un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate (conserva la sua forma). • I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. Il corpo rigido è quindi un’astrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi. dm 9

Centro di Massa di corpi rigidi • Se un corpo ha simmetria sferica il centro di massa coincide con il centro geometrico della sfera. • Se un corpo ha simmetria cilindrica, ossia la sua massa dipende solo dalla distanza da un certo asse, il suo centro di massa deve giacere sull’asse di simmetria. • Se la massa di corpo è distribuita in modo simmetrico rispetto ad un piano, il centro di massa deve cadere sul piano. 10

Esempio In figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6 m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x = 2 m, y = 0 m L’origine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM. § CM Intera piastra (0, 0 m) n CM 1 da calcolare (x 1, 0) di m 1=(36 -4)M/36=8/9 M n CM 2 (2, 0) m 2=1/9 M 11