Tema 3 Esttica del slido rgido 1 Concepto

Tema 3. Estática del sólido rígido 1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas 2. Momento de una fuerza respecto de un punto y respecto de un eje 3. Cálculo del centro de gravedad 4. Condiciones de equilibrio para un sólido rígido 5. Reacciones en los apoyos y uniones en un sólido rígido 6. Reacciones estáticamente indeterminadas. Ligaduras parciales. 1

Objetivos Conocer el modelo de sólido rígido y distinguir entre fuerzas externas e internas Conocer y saber aplicar las condiciones de equilibrio de un sólido rígido Saber qué es el centro de gravedad y su cálculo para figuras sencillas 2

Equilibrio de una partícula Una partícula se dice que está en equilibrio si permanece en reposo si estaba en reposo, o si se mueve con velocidad constante si estaba en movimiento. Matemáticamente la condición de equilibrio viene dada por: 3

Problema de equilibrio Una caja de 272 kg se mantiene en una posición determinada sobre la rampa basculante de un camión sostenida por la cuerda AB. Si α=25º. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (b) Si por seguridad la cuerda soporta una tensión máxima de 182 kg ¿Cuál es el máximo valor permitido de α? 4

¿Cómo podemos resolverlo? 1. Vamos a dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión aislándolo del resto. - Considerar al cuerpo como una partícula -Todas las fuerzas concurren en un punto CENTRO DE GRAVEDAD O CENTRO DE MASAS - Aplicamos la condición de equilibrio Es una ecuación vectorial ¿Estamos en una, dos o tres dimensiones? 5

Para un sistema de fuerzas en dos dimensiones 6

Dos dimensiones Tenemos que tomar un sistema de referencia Eje x A lo largo del plano inclinado Eje y Perpendicular al plano inclinado Ecuaciones 7

CONDICIONES DE EQUILIBRIO De la primera ecuación obtenemos el valor de T b) ¿Cuál será el mayor valor de alfa? 8

Ejemplo 1 (Problema F 3. 5, pag 198) Si la masa del cilindro C es de 40 kg, determinar la masa del cilindro A a fin de sostener el ensamble en la posición mostrada. 9

Ejemplo 2 (Problema 3. 52, pag 214) Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor cuya masa es de 8 Mg. 10

Para un sistema de fuerzas tridimensionales 11

1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas No siempre se puede usar el modelo de partícula Un cuerpo debe tratarse como un conjunto de muchas partículas Tendremos que considerar el tamaño del cuerpo Las fuerzas actuarán sobre diferentes puntos del mismo 12

1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas ¡ Otro modelo! EL SÓLIDO RÍGIDO Es aquel cuerpo que no se deforma Fuerzas externas ☞ Acción de otros cuerpos sobre el sólido rígido en cuestión ☞ Responsables del comportamiento externo del sólido Fuerzas internas ☞ Son aquellas que mantienen unidas entre sí las partículas del sólido rígido 13

Condiciones de equilibrio para el sólido rígido Un conjunto de fuerzas actuando sobre un sólido rígido le producirán un movimiento de traslación y/o de rotación El sólido rígido está en equilibrio La resultante de las fuerzas externas es nula El momento de todas las fuerzas respecto a un punto es igual a cero 14

Momento de una fuerza respecto de un punto y respecto de un eje La propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar el cuerpo se mide con una magnitud física que se llama MOMENTO de la fuerza. ¿Qué factores intervienen en el giro? ⇒ Intensidad de la fuerza ⇒ distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y la línea de giro 15

➢ Momento de la fuerza respecto de un punto Se define el momento de la fuerza respecto del punto O como El módulo del momento será: (N. m) SIGNIFICADO FÍSICO El módulo del momento mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al sólido una rotación alrededor de un eje dirigido según el momento. 16

Ejemplo 3 (problema 4. 13, pag. 228) Dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre la viga. Determinar la suma de los momentos de las dos fuerzas a) respecto al punto P; b) respecto al punto Q y c) respecto al punto de coordenada x = 7 m e y = 5 m. 17

Ejemplo 4 (problema 4. 53, pag. 242) Las tres fuerzas mostradas se aplican a la placa. Determinar la suma de los momentos de las tres fuerzas respecto al origen P 18

➢ Momento de una fuerza respecto de un eje y El momento de la fuerza respecto del eje OL es la proyección del momento respecto del punto O sobre el eje OL L C O z x Vector unitario en la dirección del eje OL 19

➢ Momento de una fuerza respecto de un eje También podremos escribir SIGNIFICADO FÍSICO El momento de la fuerza F respecto del eje OL mide la tendencia de la fuerza a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación alrededor del eje fijo OL 20

Ejemplo 5 (problema 4. 82, pag. 256) Cuatro fuerzas actúan sobre la placa mostrada en la figura. Sus componentes son: Determinar la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto del eje x y b) respecto al eje z 21

Condiciones de equilibrio para el sólido rígido La condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido esté en equilibrio es que: Descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes: 22

Ejemplo de condiciones de equilibrio En cuál de los tres casos siguientes está el sólido rígido en equilibrio: 23

Veamos el primero las condiciones que se deben de cumplir. 1. En cuanto a las fuerzas: Como el sólido está en un plano 2. En cuanto a los momentos: El momento de las fuerzas respecto de un punto tendrá siempre una dirección perpendicular al plano: • Será positivo si hace girar al sólido en sentido contrario a las agujas del reloj • Será negativo si hace girar al sólido en el sentido de las agujas del reloj 24

Consideremos el caso 1 Momentos Componentes de la fuerza de 5 N − + Componente x: Componente y: No está en equilibrio 25

Consideremos el caso 2 Momentos Componentes de la fuerza de 10 N − + Componente x: Componente y: No está en equilibrio 26

Consideremos el caso 3 Momentos Componentes de la fuerza de 20 N − + Componente x: Componente y: Está en equilibrio 27

3. Centro de MASA, centro de gravedad y centroide de un cuerpo CENTRO DE MASAS : Es un punto donde se concentra todo la masa de un cuerpo. PARA UN SISTEMA DISCRETO 28

3. Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo PARA UN SISTEMA CONTINUO Como estas masas están situadas en el campo gravitatorio, cada una de ellas sentirá la fuerza de la gravedad, y en este caso el centro de masas pasa a CENTRO DE GRAVEDAD. 29

CENTROIDE DE VOLUMEN Si el cuerpo es homogéneo y tiene una densidad constante Al sustituir en las ecuaciones anteriores obtenemos las expresiones para localizar al centroide C o centro geométrico del cuerpo:

CENTROIDE DE ÁREA Y DE LÍNEA

3. Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo Si los cuerpos tienen cierta simetría, el centro de masas se sitúa sobre el eje de simetría. CG CG 32

CUERPOS COMPUESTOS y z z Σ W W 3 y W 1 W 2 G 3 X O G O Y x G 2 G 1 x

Problema 10 boletín Un sistema de tres partículas se dispone, como se indica en la figura, en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcular la posición del centro de masas del sistema.

Problemas 12, 15 12. - Demostrar que el centro de masas de una barra homogénea de masa M, longitud L y densidad lineal de masa λ, está situado en la mitad de la barra. 15. - Calcular el centro de gravedad de un triángulo.

PROBLEMAS 18 Y 19 18. Determinar el centro de gravedad de las superficies compuestas de las figuras

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO EN DOS DIMENSIONES Determinar las componentes horizontal y vertical de la reacción en la viga , causada por el pasador en B y el balancín en A, como se muestra en la figura. No considerar el peso de la viga. 37

1. - Dibujar el diagrama de sólido libre a. Trazar el contorno del cuerpo. Debemos imaginar el cuerpo aislado “libre” de sus restricciones y conexiones. b. Mostrar todas las fuerzas y momentos. Identificar todas y cada una de las fuerzas externas y momentos conocidos o desconocidos que actúen sobre el cuerpo. En general se deben a (1) cargas aplicadas, (2) reacciones que ocurren en los soportes o en los puntos de apoyos con otros cuerpos y (3) el peso del cuerpo. c. Identificar cada carga y las dimensiones dadas. Las fuerzas y los momentos conocidos se deben marcar con sus propias magnitudes y direcciones. Las fuerzas y momentos desconocidos se mostraran sus magnitudes con letras y sus direcciones con ángulos. Hay que indicar también las dimensiones del cuerpo para calcular los momentos de las fuerzas. 38

PUNTOS IMPORTANTES A CONSIDERAR PARA TRAZAR EL DIAGRAMA DE SÓLIDO LIBRE • Ningún problema de equilibrio debe resolverse sin trazar primero el diagrama de sólido libre. • Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección particular, entonces el soporte ejerce una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección. • Si se evita la rotación, entonces el soporte ejerce un momento sobre el cuerpo. • Las fuerzas internas nunca se muestran en el diagrama del sólido libre. • El peso del cuerpo es una fuerza externa y su efecto se representa mediante una sola fuerza que actúa a través del 39 centro de gravedad del cuerpo.

Vamos a dibujar el diagrama de sólido libre de nuestro problema. 40

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES Tipo de conexión Cable Eslabón sin peso Reacción Número de incógnitas Una incógnita. La reacción es una fuerza de tensión que actúa alejándose del elemento en la dirección del cable. Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa a lo largo del eje del eslabón. Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. Rodillo 41

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicular a la ranura. Rodillo confinado en ranura lisa Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. Balancín Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. Superficie de contacto lisa 42

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la barra. Elemento conectado mediante un pasador a un collar sobre una barra lisa Dos incógnita. Las reacciones son dos componentes de fuerza, o la magnitud y la dirección ϕ de la fuerza resultante Pasador liso o articulación lisa 43

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas Dos incógnita. Las reacciones son el momento y la fuerza que actúa perpendicularmente a la barra. Elemento conexión fija a un collar sobre una barra lisa Soporte fijo Tres incógnita. Las reacciones son el momento y las dos componentes de fuerza o el momento y la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. 44

SEGUIMOS CON LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Pasador liso o articulación lisa Balancín Introduce una incógnita Ay Introduce dos incógnitas Bx y By 45

El resultado final del diagrama de sólido rígido es 46

Equilibrio de un sólido rígido en dos dimensiones Para una estructura bidimensional y eligiendo los ejes x e y en el plano de la estructura tenemos: Entonces las ecuaciones de equilibrio son:

Como el par es independiente del punto de aplicación, podemos escribir las ecuaciones de forma general: Donde A es un punto arbitrario del plano de la estructura.

EJEMPLO Supongamos la siguiente estructura C A D B Veamos cuáles son las ecuaciones de equilibrio

Diagrama de sólido libre Qy Py C Px Sy Qx D Sx W Ax A Ay B B

Se dice en este caso que el SÓLIDO COMPLETAMENTE LIGADO Cuando los apoyos usados son tales que imposibilitan el movimiento del sólido rígido para las cargas dadas. También se dice que: Las REACCIONES están ESTÁTICAMETE DETERMINADAS Cuando las incógnitas se encuentran resolviendo las tres ecuaciones de equilibrio

Reacciones estáticamente indeterminadas. Ligaduras parciales Consideremos la siguiente estructura C A D B

Hagamos el diagrama de sólido libre Qy Py C Px Sy Qx D Sx W Ax A Ay B Bx By

Qy Py C Px Qx Sy D Sx W Ax A Ay B Bx By Las reacciones presentan 4 incognitas Las ecuaciones de equilibrio son 3 Las REACCIONES son ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Consideremos ahora este otro caso: C A D B

Diagrama de sólido libre Qy Py C Px Sy Qx D Sx W A A B B

Qy Py C Px Qx W A Sy Las ligaduras no impiden el movimiento D Sx La estructura se puede mover horizontalmente B B A La estructura está PARCIALMENTE LIGADA 2 incógnitas 3 ecuaciones La estructura no puede mantenerse en equilibrio en condiciones generales

Resumiendo * Para que el sólido rígido esté completamente ligado * Para que las reacciones en los apoyos estén estáticamente determinadas TIENE QUE HABER TANTAS INCOGNITAS COMO ECUACIONES DE EQUILIBRIO ¡¡Pero!! Esta es una condición necesaria pero no suficiente

Así, supongamos la siguiente estructura C A D E B

Diagrama de sólido libre Qy Py C Px Sy Qx D Sx W A A E B

Qy Py C Px Qx Sy D Sx W A A E Se introducen 3 incógnitas ¡PERO! NO se cumple B E B La estructura se moverá horizontalmente Número insuficiente de ligaduras La estructura está IMPROPIAMENTE LIGADA

Para estar seguros de que un sólido rígido bidimensional está completamente ligado y que las reacciones en sus apoyos están estáticamente determinadas, debe comprobarse que las reacciones introducen tres incógnitas (y sólo 3) y que los apoyos están dispuestos de forma que las reacciones no son ni concurrentes ni paralelas.

Resumiendo Sólido completamente ligado: No se mueve Sólido parcialmente ligado o impropiamente ligado: puede moverse Reacciones estáticamente determinadas: pueden calcularse todas Reacciones estáticamente indeterminadas: NO pueden calcularse todas

Diferencia entre sólido parcialmente ligado e impropiamente ligado Los dos puede moverse. Sólido parcialmente ligado: Pueden calcularse todas las reacciones (son estáticamente determinadas) Sólido impropiamente ligado: NO pueden calcularse todas las reacciones (son estáticamente indeterminadas)

Equilibrio en tres dimensiones Equilibrio de un sólido rígido en tres dimensiones Las condiciones de equilibrio son: y De aquí se deducen seis ecuaciones escalares

Tenemos 6 ecuaciones 6 incógnitas * Si las reacciones introducen más de 6 incógnitas Más incógnitas que ecuaciones Algunas de las reacciones están ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

* Si las reacciones introducen menos de 6 incógnitas Más ecuaciones que incógnitas Alguna de las ecuaciones de equilibrio no pueden satisfacerse El sólido rígido está PARCIALMENTE LIGADO

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO EN TRES DIMENSIONES Determinar las componentes de reacción que ejercen la junta de rótula esférica ubicada en A, la horquilla lisa en B y el soporte de rodillo en C, sobre el ensamble de barras que se muestra en la figura. 68

Tenemos que hacer al igual que antes el diagrama de sólido libre 69

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa alejándose del elemento en la dirección conocida del cable. Cable Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. Soporte superficial liso 70

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto. Rodillo Tres incógnitas. Las reacciones son las tres componentes rectangulares de la fuerza. Rótula esférica 71

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES Tipo de conexión Horquilla lisa Reacción Número de incógnitas Cuatro incógnitas. Las reacciones son dos fuerzas y dos componentes de momento que actúan perpendicularmente al eje. Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento. Pasador liso simple 72

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento. Bisagra Seis incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y tres componentes de momento. Soporte fijo 73

Problema 29 (boletín) Y El poste ABC de 6 m de altura está sometido a una fuerza de 455 N como se muestra. El poste se sostiene mediante la rótula en A y los cables BD y BE. Determinar la tensión de cada cable y la reacción en A 3 m C 455 N B 3 m 2 m 1. 5 m F A 3 m Z 1. 5 m 3 m E 3 m D X

Problema 31 (boletín) Un rótulo de 1. 5 x 2. 4 m y de densidad uniforme, pesa 1350 N y lo sostiene una rótula en A y dos cables. Determinar la tensión en cada cable y la reacción en A. Ay TEC Az Ax G W TBD

Problema 27 (Boletín) El tubo ACDE está soportado por las rótulas A y E y el alambre DF. Hallar la tensión de éste cuando se aplica como se indica en la figura una carga de 640 N. Y F E 20 cm 49 cm D A 16 cm 640 N X Z 24 cm 48 cm C Aparecen 7 incógnitas Momento respecto del eje AE igual a cero

Problema La placa rectangular de la figura pesa 375 N y se mantiene en la posición representada mediante las bisagras A y B y el cable EF. Suponiendo que la bisagra B no ejerce empuje axial, hallar a) la tensión del cable y b) las reacciones en A y B Ay Ax Az G W T By Bz

Problema 5. 76 CB El elemento se sostiene mediante un pasador en A y un cable BC. Si la carga en D es de 300 lb, determinar las componentes x, y, z de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable BC

Mz Az T Ay My Ax W

PROBLEMA 3. 18 (pág. 201 CB) Determine las fuerzas necesarias en los cables AC y AB para mantener en equilibrio la bola D de 20 kg. Considerar F=300 N y d= 1 m. 80

PROBLEMA 3. 47 (PÁG. 213 CB) La grúa de brazos de corte se utiliza para llevar la red de pescado de 200 kg hacia el muelle. Determine la fuerza de compresión a lo largo de cada uno de los brazos AB y CD, y la tensión en el cable DB del cabestrante. Suponga que la fuerza presente en cada brazo actúa a lo largo de su eje. FBD FBA FBC W 81

Problema 4. 28 (pág. 231 cb) Cinco fuerzas actúan sobre un eslabón en el mecanismo de cambio de velocidad de una podadora de césped. La suma vectorial de las 5 fuerzas sobre la barra es igual a cero. La suma de los momentos respecto del punto en que actúan las fuerzas Ax y Ay también es cero. a)Determine las fuerzas Ax, Ay y B b)Determine la suma de los momentos de la fuerzas respecto al punto en que actúa la fuerza B 82

Problema 4. 69 (pág. 245) La torre que se muestra en la figura tiene 70 m de altura. Las tensiones en los cables AB, AC y AD son 4 k. N, 2 k. N y 2 k. N respectivamente. Determine la suma de los momentos respecto al origen O debido a las fuerzas ejercidas por los cables en el punto A. 83

Problema 4. 90 (Pág. 257 CB) Se tiene la fuerza (N). ¿Cuál es el momento de la fuerza respecto de la línea AO de la figura? Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento. 84

PROBLEMA 4. 107 (Pág. 261 CB) El eje y apunta hacia arriba. El peso de la placa rectangular de 4 kg que se muestra en la figura actúa en el punto medio G de la placa. La suma de los momentos respecto de la línea recta que pasa por los soportes A y B debidos al peso de la placa y a la fuerza ejercida sobre la placa por el cable CD es igual a cero. ¿Cuál es la tensión del cable? TCD W 85

Problema 5. 34 (pág. 327) Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la normal en la la clavija lisa B sobre el elemento. Ay Ax 86

Problema 5. 70 (Pág. 351 CB) Determine la tensión de los cables BD y CD y las componentes de reacción x, y, z en la junta de rótula esférica ubicada en A. TBD TCD 87