PROBLEMA Sara ha bisogno di sapere da Andrea

PROBLEMA Sara ha bisogno di sapere da Andrea quali sono i capitoli di Filosofia da ripassare per il giorno dopo. Andrea le risponde con il seguente messaggio: ”I capitoli da ripassare corrispondono ai due numeri che annullano il polinomio x 2 -3 x+2”. Quali capitoli ripasserà Sara?

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un polinomio

Come farò a scomporre in fattori primi?

METODI PER SCOMPORRE UN POLINOMIO Polinomio Raccoglimento totale Raccoglimento parziale Prodotti notevoli Teorema e regola di Ruffini Trinomio particolare Per parti Quadrato di binomio Differenza di due quadrati Somma di due cubi Differenza di due cubi Cubo di binomio Quadrato di un trinomio

SOLUZIONE PROBLEMA Il polinomio x 2 -3 x+2 è un trinomio particolare che può essere scritto come (x-1)(x-2). Per la legge di annullamento del prodotto, questo si annulla quando x-1=0 oppure quando x -2=0, cioè per x=1 o x=2. I numeri che annullano il polinomio sono 1 e 2. Sara ripasserà il primo e secondo capitolo di Filosofia. fine

RIDUCIBILE O IRRIDUCIBILE ? • Un polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore. • Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.

RIPASSIAMO I PRODOTTI NOTEVOLI NOME TIPO Quadrato di un binomio ( a + b )2 Cubo di un binomio ( a + b )3 Somma per differenza Quadrato di un trinomio Binomio per trinomio particolare ( a + b ) ( a – b ) ( a + b + c )( a + b – c ) ( a + b + c )2 SVILUPPO a 2 + 2 ab + b 2 a 3 + 3 a 2 b +3 ab 2+b 3 a 2 – b 2 [(a+b)2 – c 2 ] = a 2 + 2 ab + b 2 – c 2 a 2+b 2+c 2+2 ab+2 ac+2 bc ( a + b ) ( a 2 – ab + b 2 ) a 3 + b 3 ( a – b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 3 – b 3

RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo il M. C. D. dei monomi 3 a 2 b - 5 a 3 b 4 + a 4 b 6 = a 2 b ( 3 - 5 ab 3 + 4 a 2 b 5 )

RACCOGLIMENTO PARZIALE 10 a 3 b + 2 xb - 5 a 3 – x = 5 a 3 ( b – 1 ) + 2 x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5 a 3 + 2 x)

DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a 2 – b 2 ) = ( a – b )( a + b )

QUADRATO DI BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) 16 a 4 + b 2 – 8 a 2 b = (4 a 2 - b)2

QUADRATO DI TRINOMIO (tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc = ( a + b + c )2

TRINOMIO PARTICOLARE ( deve essere sempre del tipo : x 2 + sx + p con s = a + b e p = ab) x 2 - 9 x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 )

SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = ( a + b ) (a 2 – ab + b 2 )

DIFFERENZA DI CUBI a 3 – b 3 = ( a - b ) (a 2 + ab + b 2 )

TEOREMA DI RUFFINI x 5 – 10 x – 12 = Ricerca gli zeri del polinomio tra i divisori del termine noto: P(+1)= 1 -10 -12= -21 P(-1)= -1 +10 -12= -3 P(+2)= 32 -20 -12=0 P(-2)=……… Il polinomio è divisibile per x-2

REGOLA DI RUFFINI x 5 – 10 x – 12 = 1 0 0 0 -10 2 2 4 8 3 1 2 4 -12 16 8 12 6 0 = ( x – 2 ) ( x 4 + 2 x 3 +4 x 2 +8 x + 6 )

SCOMPOSIZIONE PER PARTI a 2 + b 2 - 2 ab – x 2 = (a - b)2 – x 2 = [ (a – b) + x ] [ (a – b) – x]

CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra) a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 = ( a + b )3