I poliedri Abbiamo visto che i solidi si

I poliedri

Abbiamo visto che i solidi si suddividono in… • Poliedri, se la superficie è formata esclusivamente da poligoni • Solidi a superficie curva se, la superficie è parzialmente curva

Poliedri regolari • Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono congruenti fra loro • I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di solidi platonici

SOLIDI PLATONICI

I poliedri non regolari I prismi e le piramidi

Un prisma è • Un poliedro costituito da due poligoni congruenti, posti su piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni di base • I poligoni di base danno il nome al prisma

Riconosci i prismi

Le parti di un prisma Base Altezza Spigolo laterale Faccia laterale Spigolo di base Diagonale • L’insieme delle facce laterali del prisma prende il nome di SUPERFICIE LATERALE • L’insieme delle superficie di base del solido prende il nome di Superficie di base Sb • L’insieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il nome di SUPERFICIE TOTALE

• Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e l’altezza non coincide con uno degli spigoli • Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e l’altezza coincide con uno degli spigoli • Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce laterali sono rettangoli uguali fra loro).

La superficie di un solido Per visualizzare la superficie di un solido si ricorre ad una operazione chiamata “sviluppo sul piano del solido” e ci permette di capire come si calcola la misura dell’area di un solido. Lo sviluppo di un solido è la superficie che si ottiene riportando su un piano le facce che lo compongono. Lo sviluppo di un solido consiste nel distendere su una superficie piana tutte le facce, laterali e di base, del solido.

SVILUPPO SUL PIANO DI UN CUBO E DI UN PRISMA

Superficie laterale e totale dei prismi Osservando lo sviluppo sul piano del D prisma ci accorgiamo che la superficie C laterale del prisma coincide con il rettangolo ABCD. Questo rettangolo ha la base AB congruente al perimetro di base del prisma e l’altezza AD congruente all’altezza del prisma. A B

In definitiva la superficie laterale del prisma si ottiene moltiplicando il perimetro del poligono di base del prisma per l’altezza: Sl = 2 pb x h 2 pb = Sl : h h = Sl : 2 pb = perimetro di base P. S. Dire superficie o dire Area è la stessa cosa

Superficie totale La superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e dell’area delle due basi: St = Sl + 2 Ab Formule inverse Sl = St – 2 Ab Ab =( St – Sl ) : 2

Esempio • un prisma retto ha per base un rettangolo le cui dimensioni misurano 4 cm e 7 cm. Sapendo che l’altezza del prisma misura 20 cm, calcolane l’area della superficie laterale e totale AB = A’B’= 7 cm BC = B’C’ = 4 cm BB’ = 20 cm Sl = p x h = 2 P b = (AB + BC) x 2 = (7+4) x 2 = 22 cm Sl = 22 x 20 = 440 cm 2 St = Sl + 2 x Ab = b x h = 7 x 4 = 28 cm 2 St = 440 + 2 x 28 = 496 cm 2

Il volume dei prismi • Per comprendere la formula che ci permette di calcolare il volume di un prisma, consideriamo il caso di un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni di base di 4 cm e 6 cm e l’altezza di 5 cm. Scegliamo come unità di misura il cm 3, calcolare il volume del parallelepipedo significa trovare quanti cubetti con lo spigolo da 1 cm 3, esso può contenere.

5 cm = 1 cm 3 6 cm 4 cm 6 cm x 4 cm = 24 cm x 5 cm = 120 cm 3 In definitiva e in generale per calcolare il volume di un prisma basta calcolare l’area del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per l’altezza del prisma V = Abase ∙ h da cui Abase = V / h h = V/ A base

Avvertimento !!!!! • Quando devi trovare il Volume dei solidi ricordati che devi stare attento all’unità di misura Se V è in Allora P è in E Ps è in dm 3 Kg Kg/dm 3 cm 3 g g/cm 3 t t/m 3

PESO, VOLUME E PESO SPECIFICO • Il rapporto tra peso e volume di una sostanza prende il nome di peso specifico (ps) • Quindi ps = P/V • Dalle formule inverse P = ps x V • V = P / ps • Quindi il volume di un corpo si può ricavare dal peso specifico della sostanza

Un prisma particolare Il parallelepipedo I È un prisma retto le cui basi sono dei G F E parallelogrammi. O Ovviamente anche le facce saranno dei parallelogrammi Nel parallelepipedo retto le diagonali sono quattro e si incontrano in un punto O che li divide a metà In generale per il calcolo dell’Area laterale e totale del parallelepipedo valgono le stesse formule dei prismi D A C B

il parallelepipedo rettangolo Se i poligoni di base sono dei rettangoli abbiamo il parallelepipedo c rettangolo, tutte e 6 le facce sono quindi dei rettangoli a due congruenti e paralleli. I tre spigoli b a che escono da uno stesso vertice si V = a ∙ b ∙ c chiamano dimensioni del a = V / b∙c parallelepipedo e sono lunghezza b = V / a∙c larghezza e altezza c = V / a ∙b

Il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo avente le tre dimensioni congruenti Nel caso del cubo, poiché le facce sono quadrati congruenti sarà sufficiente trovare l’area di una faccia e moltiplicarla per 4 per avere l’area della superficie laterale e per 6 per avere l’area della superficie totale Slaterale = Abase ∙ 4 = l 2 ∙ 4 l = Stotale = Abase ∙ 6 = l 2 ∙ 6 l =

VOLUME DEL CUBO •

Misura della diagonale di un parallelepipedo retto I G Nel parallelepipedo rettangolo vi sono 4 diagonali congruenti. F E c Consideriamo una diagonale e osserviamo il triangolo ACG. Poiché si tratta di un triangolo rettangolo e la diagonale è ipotenusa del D C triangolo, possiamo applicare il teorema di A Pitagora. diagonale = AC 2 + CG 2 b a B In definitiva la diagonale Ma, poiché AC, diagonale del rettangolo di del parallelepipedo è …. base, è ipotenusa del triangolo rettangolo ABC, AC = AB 2 + BC 2 + CG 2

La diagonale nel cubo Poiché il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo possiamo applicare la stessa formula. AB 2 + BC 2 + CG 2 Ma nel cubo le tre dimensioni sono uguali, allora l 2 + l 2 = l 2 ∙ 3 = d = l ∙ Perché? Riflettiamoci insieme 3 l = d / 3

Esercizio • Calcola la misura della diagonale di un parallelepipedo sapendo che le dimensione di base sono 12 cm e 16 cm e l’altezza è di 21 cm • (29 cm) • La diagonale di un parallelepipedo rettangolo misura 10 cm mentre le dimensioni di base sono 3, 6 cm e 4, 8 cm. Determina la misura dell’altezza del prisma

LA PIRAMIDE

Le piramidi Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice comune. faccia laterale Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE TRIANGOLARE PIRAMIDE QUADRANGOLARE PIRAMIDE PENTAGONALE

Piramidi rette e regolari Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrivibile a una circonferenza ( o un poligono all’interno del quale è possibile inscrivere una circonferenza), il cui centro coincide con il piede dell’altezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO PENTAGONO REGOLARE

Alcuni esempi Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Prova tu • Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? ……. Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? …………. .

L’APOTEMA In una piramide retta le facce triangolari laterali hanno tutti la stessa altezza, che prende il nome di apotema ATTENZIONE!!!! Non confondere l’apotema della piramide con l’apotema del poligono di base che coincide con il raggio della circonferenza

Come avrai notato l’apotema di una piramide coincide con l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti l’altezza della piramide e il raggio della circonferenza inscritta nel poligono. LO HAI NOTATO? !!!!? POSSIAMO ALLORA RICORRERE AL TEOREMA DI PITAGORA PER TROVARE I TRE SEGMENTI?

• Trova l’apotema di una piramide regolare quadrangolare, che ha l’altezza di 12 cm e il raggio di 3, 5 cm. (12, 5 cm) • Trova lo spigolo di base di una piramide regolare triangolare alta 60 cm e con l’apotema di 61 cm (22 cm) • Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo di base di 16 cm e l’apotema di 15 cm. Trova la lunghezza dello spigolo laterale. (17 cm)

Osservando lo sviluppo sul piano di una piramide regolare si nota che la superficie laterale è formato da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base. Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della piramide). Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha per base il perimetro del poligono di base e per altezza l’apotema della piramide.

SUPERFICIE LA TERALE E TOTALE la superficie laterale è Sl = p ∙ a Dove: p = semiperimetro e a = apotema da cui p = Sl : a a = Sl : p p = semiperimetro di base La superficie totale è St = Sl + Sb da cui Sl = St – Sb = St - Sl

IL VOLUME DELLA PIRAMIDE Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un esperimento. Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la stessa altezza. Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma. Che cosa noti? Poiché il volume del prisma si ottiene V = Abase ∙ h Il volume della piramide è V = (Abase ∙ h) : 3 Da cui Ab = (V ∙ 3) : h h = ( V ∙ 3) : Ab