Fsica para Universitrios Relatividade oscilaes ondas e calor

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Oscilações harmônicas senoidais como uma consequência de uma força linear: massa em uma mola, pêndulo Conexões entre movimento circular e oscilações Oscilações amortecidas resultando de forças dependentes da velocidade Fenômenos de ressonância decorrentes de oscilações forçadas externamente Movimento caótico e dependência forte das condições iniciais em oscilações forçadas e amortecidas

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Força linear: Lei de Hooke (1) Puxe (ou empurre) uma mola Pequenas deformações exigem pequenas forças Grandes deformações exigem grandes forças Uma mola tem um comprimento de equilíbrio e a força desempenhada pela mola em oposição a ser puxada ou empurrada tenta restaurar a mola a seu comprimento de equilíbrio A força da mola sempre aponta no sentido da posição de equilíbrio Experimentos quantitativos mostram que a força exercida pela mola é linearmente proporcional à deformação a partir do equilíbrio, F~x 0 -x Fixe a posição de equilíbrio x 0 = 0 para obter a Lei de Hooke

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Força linear: Lei de Hooke (2) Deslocamento x > 0 F < 0 x 0 F(x) x Deslocamento x < 0 F > 0 F(x) x 0 x

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento harmônico simples Anteriormente falamos sobre a energia armazenada em molas Agora vamos falar sobre o movimento de uma massa em uma mola Estique a mola e solte-a Movimento para cima e para baixo Vejamos outro estudo de vídeo Agora com os quadros colocados um após o outro Curva vermelha: função seno ou cosseno

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de movimento Comece com a Lei de Hooke e use a Segunda Lei de Newton: Como a=d 2 x/dt 2: Essa equação de movimento relaciona a posição (que é uma função do tempo) com a derivada segunda da posição Essa equação é uma equação diferencial de 2ª ordem, linear, no tempo

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Solução da equação diferencial (1) Começamos com um Ansatz (palavra alemã para “palpite fundamentado”): As constantes A (amplitude) e 0 (velocidade angular) ainda devem ser determinadas Obtendo a derivada segunda:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Solução da equação diferencial (2) Insira esse resultado de volta na equação diferencial: Nossa primeira observação é que essa solução funciona para todos os valores de A A condição para a velocidade angular é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Solução da equação diferencial (3) A função teste cosseno também teria funcionado A solução mais geral é Outra forma útil da mesma solução é A constante de fase e a amplitude C se relacionam com A e B:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Condições iniciais Como se determina as constantes A e B, ou C e 0? Utiliza-se as condições iniciais para determinar essas constantes Posição inicial Velocidade inicial Duas equações para duas incógnitas

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: condições iniciais (1) Pergunta 1: Uma mola com constante elástica 56, 0 N/m tem uma massa de 1, 00 kg presa à sua extremidade. O peso é puxado +5, 5 cm a partir do ponto de equilíbrio e depois é solto para receber uma velocidade inicial de – 0, 32 m/s. Qual é a equação de movimento para essa oscilação?

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: condições iniciais (2) Resposta 1: Equação de movimento Já podemos calcular a velocidade angular Encontre a equação para a velocidade usando a derivada temporal No instante t = 0, como sen (0) = 0 e cos (0) = 1, temos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: condições iniciais (3) Pergunta 2: Qual é a amplitude dessa oscilação? Resposta 2: Embora tenhamos as constantes A e B, não é óbvio qual será a amplitude Temos que usar: Note que a amplitude (7 cm) é maior do que o prolongamento inicial a partir do equilíbrio (5, 5 cm) O empurrão inicial aumentou a amplitude, mesmo que tenha sido no sentido da posição de equilibrio

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Biografia: Robert Hooke (1635 -1703) Contemporâneo de Newton Curador de experimentos para a Royal Society Antecipou a gravitação universal Melhor mecânico de seu tempo Inventou molas espirais em relógios Publicação mais importante: Micrographia (1665) Cunhou o termo “célula” como as menores partes de organismos vivos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Hooke para o DNA C. Bustamante et al. , Current Opinion in Structural Biology 2000, 10: 279– 285 Puxe a extremidade de uma molécula de DNA com pinças ópticas ou microscópios de força atômica e meça a resistência em função da distância Efeitos de desenrolamento

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Posição, velocidade, aceleração Posição: Velocidade: Aceleração: Observação: 1. Deslocamentos de fase de 90°entre x & v, v & a 2. Aceleração sempre no sentido oposto ao deslocamento 3. Razão entre as amplitudes (v/x, a/v) é 0

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento harmônico simples

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Período e frequência Funções senoidais são periódicas… adicionar 2 ao argumento não altera o valor da função O intervalo de tempo após o qual a função se repete é denominado período, T Frequência, f : (Até agora, isso é o mesmo que para o movimento circular)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Período e frequência para mola Agora, usamos nosso resultado para a massa em uma mola, Período: Frequência: Essa relação era usada para manter o ajuste de tempo em relógios antigos (a partir de R. Hooke e antes do quartzo)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Túnel através da lua (1) Suponha que pudéssemos escavar um túnel retilíneo através do centro da Lua, de um lado a outro O fato de que a Lua é composta de rocha sólida torna esse cenário levemente mais realista do que perfurar um túnel pelo centro da Terra Pergunta: Se formos até uma extremidade desse túnel e soltarmos uma esfera de aço com 5, 0 kg de massa a partir do repouso, o que podemos dizer sobre o movimento dessa esfera? Resposta: No nosso capítulo sobre gravidade, descobrimos que o módulo da força gravitacional dentro de uma distribuição de massa esférica com densidade constante e raio R é Essa força aponta para o centro da Lua, na direção oposta ao deslocamento

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Túnel através da lua (2) A força gravitacional dentro de uma distribuição homogênea de massa esférica obedece a Lei de Hooke com uma “constante elástica” dada por Aqui g = g. L é a aceleração gravitacional sentida na superfície da Lua Começamos calculando a aceleração da gravidade na superfície da Lua ML = 7, 35 1022 kg, RL = 1735 km = 1, 735 106 m

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Túnel através da lua (3) Vimos que a solução para a equação de movimento sob ação de uma força elástica é o movimento oscilatório: Soltar a esfera a partir do repouso da superfície da Lua implica que no tempo t=0, C=RL. Assim, nossa equação de movimento é: A velocidade angular da oscilação é: Note que a massa da bola de aço acabou sendo irrelevante. O período dessa oscilação é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Túnel através da lua (4) Nossa bola de aço chegará à superfície no outro lado da Lua 3242 s após a partida e então oscilará de volta Passar através do centro da Lua e chegar do outro lado em um pouco menos de uma hora seria um método de transporte extremamente eficiente Especialmente porque nenhuma fonte de energia seria necessária A velocidade da esfera de aço durante essa oscilação seria A velocidade máxima seria atingida quando a esfera atravessasse o centro da Lua e teria o valor numérico de Se o túnel fosse grande o bastante, o mesmo movimento poderia ser obtido para um veículo contendo pessoas, providenciando um transporte muito eficiente ao outro lado da Lua sem necessidade de propulsão Durante toda a jornada, as pessoas dentro do veículo se sentiriam totalmente sem peso!

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Relação com o movimento circular (1) No movimento circular com velocidade angular constante:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Relação com o movimento circular (2) As projeções cartesianas do movimento circular realizam oscilações harmônicas simples durante o movimento circular com velocidade angular constante

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento pendular (1) Há um segundo sistema que oscila importante, com o qual todos estamos familiarizados: o pêndulo Em sua forma ideal, um pêndulo consiste em uma corda fina, sem massa, com um objeto maciço preso a sua extremidade Vamos determinar a equação do movimento de um objeto oscilando em uma corda Suponha que temos uma esfera presa a uma corda de comprimento l que forma um ângulo em relação à vertical Para pequenos valores de , essa situação resulta na equação diferencial para o pêndulo:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento pendular (2) Essa equação diferencial tem a solução Reconhecemos que essa equação é similar à nossa equação de movimento para uma massa em uma mola substituindo posição por ângulo e com a velocidade angular trocada por

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dedução do movimento pendular (1) O deslocamento, s, é dado ao longo do perímetro de um círculo com raio Esse deslocamento pode ser obtido a partir do comprimento da corda e do ângulo pois Como o comprimento não varia com o tempo, podemos calcular a derivada segunda como Agora, a tarefa é calcular a aceleração angular em função do tempo

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dedução do movimento pendular (2) Para fazer esse cálculo, precisamos determinar a força que causa a aceleração Há duas forças agindo sobre a bola a força da gravidade, Fg, atuando para baixo a força de tensão da corda, T, atuando ao longo da direção da corda A tensão da corda deve ser igual a componente da força gravitacional ao longo da corda, T = mgcos Essa análise leva a uma força resultante de magnitude Fres, como mostrado A força resultante sempre está na direção oposta ao deslocamento s

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dedução do movimento pendular (3) Usando F = ma, obtemos Fazendo a aproximação de pequenos ângulos, na qual aproximamos sen , obtemos nossa equação diferencial desejada Essa aproximação é muito boa para < 0, 5 rad ( 30 graus) Agora, podemos usar nossos resultados anteriores sobre uma massa em uma mola para obtermos as equações do movimento pendular

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Período e frequência do pêndulo Agora, a velocidade angular é dada por E o período e a frequência de um pêndulo são dados por Vemos que a evolução temporal da solução da equação de movimento para o pêndulo resulta no mesmo movimento harmônico simples que encontramos para o caso de uma massa em uma mola Também observamos que, para o pêndulo, diferentemente do caso da mola, a massa do objeto oscilando é irrelevante Esse resultado significa que dois pêndulos idênticos com apenas massas diferentes têm o mesmo período A única maneira com a qual podemos ajustar o período de um pêndulo, além de indo para outro planeta ou para a Lua, onde a aceleração gravitacional é diferente, é variando seu comprimento

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: pêndulo restrito Pergunta: Um pêndulo de comprimento 45, 3 cm está pendurado no teto e tem seu movimento restringido por um pino fixado na parede 26, 6 cm diretamente abaixo do pivô. Qual é o seu período de oscilação? Resposta: Resolva separadamente para cada lado

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho e energia em oscilações harmônicas (1) Já introduzimos os conceitos de trabalho e energia cinética Calculamos a energia potencial da força elástica Aqui começaremos novamente com uma massa presa a uma mola Para o pêndulo, descobriremos que quase todos os resultados são igualmente aplicáveis, mas precisamos corrigir a aproximação de pequenos ângulos que fizemos ao resolver a equação diferencial A energia potencial armazenada em uma mola é A energia mecânica total de uma massa em uma mola é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho e energia em oscilações harmônicas (2) A conservação de energia mecânica total significa que esse é o valor de energia para qualquer ponto na oscilação Usando o principio de conservação de energia, podemos escrever Então, podemos obter uma expressão para a velocidade em função da posição Calculamos as funções v(t) e x(t) que descrevem a oscilação como função do tempo de uma massa presa a uma mola

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho e energia em oscilações harmônicas (3) Podemos usar essas funções para verificar que nossas soluções realmente satisfazem as relações entre posição e velocidade obtidas usando oscilações e obtidas a partir da conservação de energia Podemos testar diretamente se nossos novos resultados são consistentes com o que encontramos anteriormente Primeiramente, calculamos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho e energia em oscilações harmônicas (4) Multiplique os dois lados por 02 = k/m e obtenha Extraindo a raiz quadrada dos dois lados obtemos a velocidade que havíamos encontrado aplicando argumentos de energia A figura à direita mostra as oscilações das energias cinética e potencial em função do tempo para o caso de uma massa oscilando em uma mola

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Energia total da massa em uma mola

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pêndulo (1) Anteriormente, descobrimos que a solução para a dependência temporal do ângulo de deflexão do pêndulo é desde que tenhamos dado a condição inicial de inclinação máxima no tempo zero, (t =0) = 0 Então, podemos calcular a velocidade linear em cada ponto no tempo tomando a derivada (abaixo) e multiplicar essa velocidade angular pelo raio do círculo, l

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pêndulo (2) Essa análise nos dá Como obtemos, então, inserindo (t) na velocidade como função do ângulo para o pêndulo

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pêndulo (3) Qual é o resultado do nosso cálculo de energia? No tempo zero, temos apenas energia potencial, que é do tipo gravitacional Normalizamos essa energia potencial de forma que seja zero no ponto mais baixo do arco De acordo com o desenho, a energia potencial na deflexão máxima 0 é Esse resultado também é o valor para a energia mecânica total, pois, por definição, temos energia cinética zero no ponto de inclinação máxima, assim como para a mola

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pêndulo (4) Para qualquer outra inclinação, a energia é a soma das energias cinética e potencial Combinando as duas últimas equações (porque a energia total é conservada), encontramos, então Resolvendo essa expressão para a velocidade escalar (valor absoluto da velocidade), obtemos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pêndulo (5) Esse resultado é a expressão exata para a velocidade escalar em qualquer ângulo , obtido diretamente e sem a necessidade de resolver uma equação diferencial Essa expressão, entretanto, não se parece muito com a que obtivemos para a solução da equação diferencial Contudo, lembre-se que dependemos da aproximação de pequenos ângulos para encontrar a solução da equação diferencial e para pequenos ângulos pode-se aproximar e, então, a expressão anterior é recuperada como um caso especial do resultado atual

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pêndulo (6) A expressão que deduzimos agora, usando considerações de energia, não faz uso da aproximação de pequenos ângulos e é válida para todos os valores de ângulos Contudo, as diferenças entre as duas soluções são bem pequenas, como pode-se ver

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: pêndulo/trapézio (1) Pergunta: Uma trapezista no circo inicia seu movimento no trapézio em repouso com ângulo de 45 em relação à vertical. Sua corda tem um comprimento de 5, 00 m. Qual é sua velocidade escalar no ponto mais baixo de sua trajetória? Resposta: Considerando nossa condição inicial, Estamos interessados em v( = 0) Aplicando nossas técnicas de conservação de energia, obtivemos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: pêndulo/trapézio (2) Inserindo os valores numéricos, encontramos: Usando a aproximação de pequenos ângulos, para comparação, teríamos encontrado Esse resultado está próximo, mas para muitas aplicações não é suficientemente preciso

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Oscilações amortecidas Se você esperar o bastante, um pêndulo irá, eventualmente, parar de oscilar e ficará apenas suspenso em repouso Por quê? Resistência do ar e outros efeitos de atrito Do capítulo de movimento em 1 -d: A resistência do ar e atrito dependem da velocidade e tem sentido oposto ao vetor velocidade Normalmente, precisamos introduzir uma força de amortecimento nas nossas equações de movimento:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de movimento Nova equação de movimento Divida pela massa para obter a equação em sua forma padrão: Observação: Essa equação contém o vetor posição, sua derivada e sua derivada segunda

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco Para valores pequenos da constante de amortecimento (vamos definir o que significa “pequeno”), a solução dessa equação é dada por: Os coeficientes A e B são determinados pelas condições iniciais, isto é, a posição x 0 e a velocidade v 0 no instante t = 0 As velocidades angulares que aparecem nessa solução são dadas por:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento Essa solução é válida para todos os valores da constante de amortecimento, b, para os quais o argumento da raiz quadrada que define ’ permaneça positivo Essa é a condição para um amortecimento “fraco”, um subamortecimento Agora vamos mostrar que a solução que apresentamos para um amortecimento fraco é a solução da equação diferencial

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco (1) Vamos mostrar que essa fórmula satisfaz a equação diferencial para movimento harmônico amortecido no limite de amortecimento fraco Novo ansatz

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco (2) Insira esse resultado na equação diferencial acima, queremos resolver : Reorganize os termos:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco (3) Essa equação só é válida para todos os instantes t se os coeficientes na frente das funções seno e cosseno forem iguais a zero Obtemos, então, duas condições e Para simplificar a última equação, usamos a expressão recém obtida para e introduzimos a abreviação para a velocidade angular que obtivemos para o caso sem amortecimento. Resulta, então, dessa segunda condição

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco (4) Você pode desenvolver exatamente os mesmos passos para mostrar que também é uma solução válida Pode-se mostrar, ainda, que essas duas soluções são as únicas soluções possíveis (mas vamos pular isso novamente). Em todas as nossas deduções envolvendo equações diferenciais, procedemos da mesma forma Esse método é uma abordagem geral para a solução de problemas envolvendo equações diferenciais Proponha uma solução-teste, ajuste os parâmetros e realize mudanças baseadas nos resultados obtidos ao inserir a solução teste na equação diferencial

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco (5) Agora que resolvemos essa equação diferencial, vamos olhar as propriedades de nossa solução, como mostrado abaixo As funções seno e cosseno tratam do comportamento oscilatório Sua combinação resulta em outra função seno, com um deslocamento de fase

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco (6) A função exponencial que as multiplica pode ser pensada como uma redução da amplitude no tempo, caracterizada por Assim, encontramos para nossa solução uma oscilação com amplitude que está decaindo exponencialmente Observe também que a velocidade ’ de nossa oscilação foi reduzida em relação a velocidade de oscilação quando não existe amortecimento, 0

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento fraco (7) k = 11 N/m, m = 1, 8 kg, b = 0, 5 kg/s => A = 5 cm, 0 = 1, 6

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Demonstração de amortecimento fraco

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Podemos usar esses resultados para verificarmos se há um amortecimento fraco

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo - bungee jumping (1) Uma ponte sobre um vale profundo é ideal para a prática de bungee jumping, a atividade emocionante na qual se liga uma corda elástica a suas pernas e então se salta. A primeira parte do bungee jumping consiste em uma queda livre do tamanho da corda. Suponha que a altura da ponte é de 50 m. Usamos uma corda de bungee jumping com 30 m de comprimento que se estica por 5 m devido ao peso de uma pessoa com 70 kg. Dos dados empíricos, descobrimos que essa corda de bungee jumping tem uma velocidade angular de amortecimento de 0, 3 s-1. Pergunta: Qual é a trajetória do salto de bungee jumping?

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo - bungee jumping (2) Resposta: De cima da ponte, o saltador experimenta queda livre pelos primeiros 30 m de sua descida, veja a parte vermelha da trajetória Uma vez que ele tenha descido o comprimento da corda, 30 m, ele atinge a velocidade de Essa parte da trajetória leva um tempo de

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo - bungee jumping (3) Então, ele entra em uma oscilação amortecida ao redor da posição de equilíbrio que é y = 50 m − 35 m = 15 m, com o deslocamento inicial x 0 = l 0 - l = 5 m Podemos calcular a velocidade angular da oscilação sabendo que a corda foi esticada por 5 m devido ao peso de 70 kg:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo - bungee jumping (4) Uma vez que = 0, 3 s-1, como especificado, e nosso saltador irá oscilar como um oscilador amortecido com coeficientes A = x 0 = 5 m e B = (v 0 + x 0 )/ ’ = -16, 65 m/s Esse movimento está indicado pela parte verde da trajetória

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo - bungee jumping (5) Uma observação final / teste de veracidade desse exemplo A aproximação de um movimento harmônico amortecido para a parte final do salto não é bem precisa Se examinarmos cuidadosamente, veremos que a trajetória sobe novamente acima de 20 m por aproximadamente 1 s, começando em aproximadamente 5, 5 s Durante esse intervalo, a corda de bungee jumping não estaria esticada e, assim, essa parte do movimento senoidal deveria ser substituída por uma parábola durante esse intervalo, no qual o saltador está novamente em queda livre Contudo, para a discussão qualitativa presente, nossa aproximação por um movimento harmônico amortecido é suficiente Se, por outro lado, você realmente planeja saltar (por razões legais, fortemente não recomendado pelos autores), você deve sempre testar o equipamento primeiramente com um objeto de peso igual ou maior que o seu

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento forte (1) Para temos que tentar um ansatz diferente. A frequência de amortecimento, , agora é maior do que a frequência da oscilação sem amortecimento Sem mais oscilações; agora as soluções são duas exponenciais: Os coeficientes A e B podem ser determinados a partir das condições iniciais como

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento forte (2) Observação 1: o comportamento de longo tempo dessa solução é governado pelo termo porque ele decai mais lentamente do que o outro termo Observação 2: a solução pode atravessar o 0 no máximo uma vez Esse é o caso quando A e B têm sinais opostos e a magnitude de B é maior ou igual a de A Fisicamente, isso pode ocorrer quando o sistema recebe um empurrão inicial grande em direção ao ponto de equilíbrio

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amortecimento crítico Não é possível obter a solução para amortecimento crítico interpolando-se entre amortecimento fraco e amortecimento forte Novo ansatz Novamente encontramos Coeficientes A e B encontrados, novamente, a partir das condições iniciais

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Comparação dos 3 casos Amortecimento crítico fornece a solução que retorna à origem (e fica lá) da maneira mais rápida possível Superamortecido Subamortecido Amortecimento crítico Exemplo: amortecedores

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: amortecimento crítico (1) Pergunta: Uma mola com constante elástica k = 1, 00 N/m, está ligada a uma massa m = 1, 00 kg e se move em um meio com constante de amortecimento b = 2, 00 kg/s. A massa é liberada do repouso na posição de +5 cm a partir do equilíbrio. Onde ela estará após um tempo de 1, 75 s? Resposta: Primeiramente, descubra qual caso se aplica: Mesmo valor de b => amortecimento crítico Frequência de amortecimento = Condições iniciais: Use a solução para amortecimento crítico:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: amortecimento crítico (2) Resposta (cont. ): Tome a derivada: Use as condições iniciais (t = 0): Solução completa: Posição após 1, 75 s:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento harmônico forçado Exemplo: alguém em um balanço sofre um movimento pendular harmônico criado por ser empurrado em intervalos regulares, permitindo essa pessoa a balançar mais alto Há uma ampla classe de fenômenos em todas as áreas da ciência que lida com oscilações estimuladas periodicamente Estudamos uma força estimulada periodicamente do tipo na qual Fd e d são constantes

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Oscilação forçada sem amortecimento Comece novamente com F = ma Equação diferencial Reorganize para obter a forma padrão:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Resultado final Uma solução particular (após um tempo de transição razoavelmente longo) Aqui, a amplitude C depende de quão longe a frequência intrínseca, 0, está da frequência de excitação d:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Oscilação forçada com amortecimento Com amortecimento, a forma funcional da solução ainda é Mas, agora, a amplitude é A amplitude não pode ser infinita, mesmo se Aqui, a amplitude tem o valor (aproximadamente a amplitude máxima)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Amplitude ressonante = 0, 3 Hz, = 0, 5 Hz, = 0, 7 Hz Observação: amplitude máxima atingida levemente abaixo de 0

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Galloping Gertie Ponte Tacoma Narrows, “Galloping Gertie”, no estado de Washington Colapsou em 7 de novembro de 1940, apenas alguns meses após o término da construção Durante o colapso, um vento de 65 km/h foi capaz de excitar a ponte ao estado de ressonância até que falhas mecânicas catastróficas ocorreram

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Ponte Millenium, Londres Soldados sabem: não marche sincronizadamente ao atravessar uma ponte Em 13 de junho de 2000, três dias depois da abertura, a ponte Millenium forçou os pedestres a andarem sincronizadamente Para o filme da abertura da ponte Millenium veja: http: //www. youtube. com/watch? v=e. AXV a__XWZ 8&feature=r elated

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Espaço de fase (1) Tipicamente, se esboça o deslocamento em função do tempo (ou velocidade versus tempo, ou aceleração versus tempo) Agora esboce velocidade versus deslocamento esboço do espaço de fase Primeiramente: Sem amortecimento Diferentes amplitudes de oscilação resultam em elipses com tamanhos diferentes

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Espaço de fases (2) Esboço do movimento amortecido: (k = 11 N/m, m = 1, 8 kg, b = 0, 5 kg/s, C = 5 cm, 0 = 1, 6) Mesmo esboço do espaço de fase Ponto atrator!

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Caos Resolva o pêndulo sem usar a aproximação de pequenos ângulos (permitindo que ele vá “até o topo”) Inclua oscilações amortecidas e forçadas Figura: 3 condições iniciais similares: =0; =0, 0001; =0, 000001 Sensivelmente dependente de condições iniciais!