Fsica para Universitrios Relatividade oscilaes ondas e calor

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Átomos e a composição da matéria Vamos supor que os átomos são os blocos de construção elementares da matéria Sabemos que os átomos são compostos por um núcleo atômico circundado por elétrons Os núcleos atômicos são compostos por nêutrons e prótons que são por sua vez compostos por quarks e glúons O átomo mais simples e mais abundante é o átomo de hidrogênio (H), composto por um próton e um elétron O segundo átomo mais abundante é o átomo de hélio (He), composto por dois prótons, dois nêutrons e dois elétrons O átomo mais pesado encontrado naturalmente é o átomo de urânio (U), composto por 92 prótons, 146 nêutrons e 92 elétrons

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Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Átomos O diâmetro de um átomo é 10 -10 m = 0, 1 nm, às vezes chamado de um Angstrom, Å O número de átomos medido em uma certa quantidade de matéria é 6, 022· 1023 átomos em 12 gramas de 12 C Esse número é denominado número de Avogadro, NA = 6, 022· 1023 Vamos tomar diamantes como um exemplo Diamantes são compostos por átomos de carbono Densidade, = 3, 51 g/cm 3 (3510 kg/m 3) Os diamantes são frequentemente classificados em termos de sua massa 1 quilate = 200 mg = 0, 200 g = 2, 00 · 10 -4 kg Um diamante típico pode ser de 1 quilate

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Mols A unidade do SI para a quantidade de matéria é o Mol A massa de um Mol de uma substância é dada pelo número de massa atômica desse elemento vezes um grama Para 12 C, 12 gramas de carbono têm 6, 02· 1023 átomos Para 197 Au, 197 gramas de ouro têm 6, 02· 1023 átomos Para moléculas, adicionamos o número de massa de todos os átomos na molécula O oxigênio existe normalmente como O 2 O oxigênio tem número de massa 16, logo, moléculas de oxigênio têm um número de massa relativo 32 gramas de O 2 gasoso têm 6, 02· 1023 moléculas

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Estados da matéria Átomos são eletricamente neutros Têm o mesmo número de prótons e elétrons A estrutura eletrônica de um átomo determina suas propriedades químicas Interação com outros átomos Combinação para formar moléculas Essas propriedades químicas determinam se a substância existe como um gás, líquido, ou sólido a uma dada temperatura e pressão

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Gases Substâncias que existem como gases têm átomos ou moléculas que se movem pelo espaço como partículas livres Os átomos ou moléculas livres podem colidir com outros átomos ou moléculas ou com a parede de um recipiente Se um gás é colocado em um recipiente, ele irá se expandir até preencher o volume do recipiente Um gás pode ser tratado como um fluido porque pode fluir Um gás é compressível, o que significa que, se o volume de um recipiente é alterado, o gás vai se redistribuir para preencher o recipiente uniformemente

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Líquidos são similares a gases no sentido que os átomos ou moléculas podem se mover em relação aos outros átomos ou moléculas no líquido Líquidos diferem de gases no sentido que líquidos são quase incompressíveis Se colocarmos um líquido em um recipiente, ele irá preencher apenas o volume do recipiente que corresponde ao volume inicial do líquido, deixando o volume restante desocupado Não podemos tornar o volume do recipiente menor do que o volume do líquido vazio líquido

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Sólidos Um sólido não requer um recipiente, em vez disso, um sólido define seu próprio volume Assim como líquidos, sólidos são quase incompressíveis Sólidos não são completamente incompressíveis, porém Podemos deformar um sólido Mudar sua forma Esticar Dobrar Comprimir Expandir

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Estados da matéria Classificamos a matéria em termos de gases, líquidos e sólidos Há outras formas de matéria que não se encaixam nessas três classificações A matéria nas estrelas existe como plasma Granulado médio Partículas sólidas que fluem como um líquido Vidro Íons e elétrons em vez de átomos neutros Parece sólido mas flui lentamente com o tempo Matéria biológica Pode mudar de tamanho

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Elasticidade dos sólidos Objetos metálicos são compostos por átomos organizados em uma estrutura tridimensional Cada átomo está a uma distância bem definida de seus vizinhos As forças que mantêm essa estrutura unida podem ser modeladas como molas A estrutura é muito rígida, então, imaginamos que as molas são muito duras Bolas de borracha, por exemplo, são sólidas mas não parecem ser rígidas Podemos apertá-las facilmente com nossas mãos Esses objetos são compostos por átomos organizados em cadeias longas em vez de em uma estrutura de grade

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Deformação de sólidos Podemos deformar (tracionar, flexionar, etc. ) um sólido levemente e ele irá retornar à sua forma original Entretanto, se deformarmos esse sólido além de seu limite elástico, ele permanecerá deformado permanentemente Se deformarmos ainda mais o objeto sólido, ele quebrará Nossa discussão sobre a deformação de sólidos irá sempre se referir à deformações abaixo do limite elástico Classificaremos a deformação dos sólidos em três classes Tração ou tensão Compressão Cisalhamento

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Tensão e deformação Embora definamos três tipos de deformação de sólidos, podemos tratar esses fenômenos aparentemente diferentes com dois conceitos Tensão Deformação Unidade de deformação Uma tensão produz uma deformação Relacionamos tensão e deformação através de uma constante denominada módulo de elasticidade Força deformadora por unidade de área tensão = módulo · deformação Definimos um módulo diferente para cada tipo de deformação Perceba, novamente, que esses conceitos só se aplicam se não excedermos o limite elástico

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Tração No caso da tensão, ou tração, uma força F é aplicada às duas extremidades de um objeto comprimento L e o objeto estica-se para um novo comprimento L+ L Para a tração, a tensão é definida como a força F por unidade de área A aplicada às extremidades de um objeto, perpendicular à área na extremidade e paralela à direção do esticamento Y é chamado de módulo de Young

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo – Esticando um fio Um fio com 3, 00 m de comprimento e 1, 50 mm de diâmetro está pendurado no teto. Penduramos uma massa de 3, 50 kg no fio. O fio estica 0, 830 mm. Pergunta: Qual é o módulo de Young para esse fio? Resposta:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Compressão No caso da compressão volumétrica, uma força F é aplicada a toda a superfície de um objeto com volume V e o objeto é comprimido a um novo volume V- V Para a compressão, a tensão é definida como a pressão p (força por unidade de área) aplicada a toda a superfície de um objeto A deformação resultante é a variação fracionária no volume do objeto, V/ V B é chamado de módulo de elasticidade volumétrica

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo – Uma esfera no oceano Pergunta: Uma esfera de alumínio com 2, 00 m de diâmetro é mergulhada no oceano a uma profundidade na qual a pressão é 1, 00· 108 N/m 2. Qual é a variação no diâmetro da esfera? Resposta:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Cisalhamento No caso do cisalhamento, é aplicada uma força F paralela a uma área A, e não uma força ser perpendicular, A como no caso da tração Para o cisalhamento, a tensão é definida como a força por unidade de área, F/A, aplicada paralelamente sobre a área de seção transversal Para esse caso, a tensão é exercida sobre a extremidade de um objeto comprimento L. A deformação resultante é a deflexão fracionária do objeto, x/L G é chamado de módulo de cisalhamento

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: puxando um reboque (1) Um parafuso cilíndrico de aço, com 5, 00 cm de comprimento e 1, 00 cm de diâmetro é usado para conectar um SUV a um reboque está sendo puxado, como mostrado abaixo A massa do reboque é 500 kg e o SUV está acelerando a 1, 00 m/s 2. Pergunta: Qual é a deflexão horizontal do parafuso devido à tensão de cisalhamento? Resposta: A força exercida pelo SUV é a mesma força necessária para acelerar o reboque A força necessária para acelerar o reboque é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: puxando um reboque (2) A área de seção transversal do parafuso é Relembrando a tensão/deformação para o cisalhamento é Podemos descobrir que a deflexão horizontal é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Revisão – Tensão e deformação Tensão = módulo · deformação Tração Compressão Cisalhamento

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pressão Definimos densidade como massa por unidade de volume A pressão é definida como força por unidade de área A unidade SI para presssão é N/m 2, e recebeu o nome pascal, abreviado Pa A pressão média da atmosfera terrestre, 1 atm, é É comum que a pressão atmosférica seja utilizada em unidades fora do SI

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Relação pressão-profundidade Considere um tanque de água aberto à atmosfera terrestre Imagine um cubo de água O topo do cubo está na horizontal a uma profundidade y 1 A superfície inferior do cubo também está na horizontal mas a uma profundidade y 2 Os outros lados estão na vertical A soma das forças verticais no cubo deve ser zero

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pressão-profundidade (2) A pressão na profundidade y 1 é p 1 A pressão na profundidade y 2 é p 2 Supondo que a área de cada face do cubo é A, podemos escrever Supondo que o volume do cubo é V e que é a densidade da água, então a massa do cubo de água é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Pressão-profundidade (3) Relembrando que E que o volume do cubo de água é Logo, podemos reorganizar e substituir o volume Assim obtemos a pressão em função da profundidade Um uso interessante dessa fórmula é a pressão a uma profundidade h abaixo da superfície de um líquido

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo - Pressão abaixo da superfície A profundidade máxima de mergulho de um submarino é de 500 m. Pergunta: Qual é a pressão no casco a essa profundidade? Resposta: USS Seawolf

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Mais sobre pressão Note que a equação para a pressão exercida por um líquido a uma profundidade h não depende de nenhuma coordenada horizontal A pressão é a mesma em qualquer lugar à mesma profundidade Perceba que a pressão p nessa equação é a pressão absoluta A pressão é frequentemente medida em relação à pressão atmosférica Manômetro para medir pressão em pneu considera pressão atmosférica zero Assim a “pressão manométrica” é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Barômetro de mercúrio Um dispositivo simples que pode ser usado para medir a pressão atmosférica é o barômetro de mercúrio Pode ser construído pegando um tubo cheio de mercúrio e o colocando em uma vasilha com mercúrio com a extremidade fechada para cima A distância entre o topo do mercúrio no tubo e o nível de mercúrio na vasilha pode ser relacionado à pressão atmosférica O barômetro de mercúrio dá origem às polegadas de mercúrio, medida de pressão atmosférica frequentemente usada

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo – Barômetro de água Suponha queiramos construir um barômetro, mas sem usar mercúrio. Em vez disso, decidimos usar água. Pergunta: Que altura teria a coluna de água? Resposta:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Manômetro de tubo aberto Um dispositivo simples que pode ser utilizado para medir a pressão manométrica de um gás é o manômetro de tubo aberto Pode ser construído conectando-se um tubo em forma de U, parcialmente preenchido com mercúrio, a um recipiente fechado com o gás cuja pressão manométrica se deseja medir A diferença na altura, h, entre os dois níveis de mercúrio no recipiente pode ser relacionada à pressão manométrica Perceba que a pressão manométrica pode ser positiva ou negativa

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Relação da altitude barométrica para gases (1) Ao deduzirmos a relação entre profundidade e pressão, fizemos o uso da incompressibilidade dos líquidos Entretanto, se nosso fluido for um gás, não podemos fazer essa suposição Começamos novamente com uma fina camada de fluido em uma coluna de fluido A diferença de pressão entre as superfícies inferior e superior ainda é dada pelo peso da camada fina de fluido dividida pela área

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Relação da altitude barométrica para gases (2) O sinal negativo vem do fato de que a pressão decresce com o aumento de altitude, porque o peso da coluna de fluido acima é reduzido Até agora nada está diferente da dedução para o caso incompressível Contudo, para fluidos compressíveis, temos que a densidade é proporcional à pressão Estritamente falando, essa relação só é verdadeira para gases ideais

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Relação da altitude barométrica para gases (3) Combinando nossas duas equações, obtemos Tomando o limite h 0, obtemos a equação Essa equação é uma equação diferencial A solução dessa equação diferencial é Essa equação é conhecida como a fórmula da pressão barométrica Ela relaciona a pressão e a altitude em gases Ela se aplica contanto que a temperatura não varie em função da altitude e desde que a gravidade seja constante.

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: pressão do ar no Monte Everest (1) Pergunta: Qual é a pressão do ar sobre o topo do Monte Everest? Resposta: Usamos a fórmula da pressão barométrica Podemos reescrever a fórmula da pressão barométrica como A densidade e a pressão do ar no nível do mar Podemos determinar o termo constante na fórmula da pressão barométrica

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: pressão do ar no Monte Everest (2) Para a atmosfera da Terra, podemos escrever uma expressão para a pressão a uma dada altura como A altura do Monte Everest é 8. 850 m (29. 035 pés), logo a pressão no cume é Que é 35% da pressão do ar ao nível do mar Essa baixa pressão do ar é perigosa se você não está acostumado q Alpinistas do Everest levam meses para se adaptar e muitos ainda têm dificuldades

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Quão próximo? Uma vez que a fórmula da pressão barométrica também significa

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Revisão sobre pressão Relação pressão-profundidade para líquidos (h = profundidade) Fórmula da altitude barométrica para atmosfera ao nível do mar (h = altitude)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Arquimedes (287 - 212 BC) de Siracusa, Sicília O rei Hieron II de Siracusa pediu para Arquimedes determinar se a coroa real era feita de ouro puro ou parcialmente de ouro e prata Conta-se que uma ideia ocorreu a Arquimedes para determinar a composição da coroa do rei quando ele sentou-se em sua banheira e a água da banheira transbordou q Diz-se que Arquimedes teria gritado “Eureka” (Eu descobri)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Princípio de Arquimedes (1) Considere um cubo de água em um volume de água O peso desse cubo de água é sustentado pela força de empuxo FB resultante da diferença de pressão entre o topo e a base do cubo Para nosso cubo de água imaginário, a força de empuxo é igual ao peso Agora vamos substituir o cubo de água por um cubo de aço O cubo de aço pesa mais do que o cubo de água, logo, agora há uma força resultante Fres dada por

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Princípio de Arquimedes (2) Obviamente, essa força resultante faria o cubo de aço afundar Vamos substituir nosso cubo de aço por um cubo de madeira Agora, o peso da madeira é menor que o peso da água que a madeira deslocou, logo, a força resultante aponta para cima O bloco de madeira subiria em direção a superfície Se colocarmos um objeto menos denso que a água na água, o objeto vai boiar O objeto irá afundar na água só até que o peso do objeto seja igual ao peso da água deslocada Um objeto flutuante desloca seu próprio peso de fluido Se posicionarmos um objeto mais denso do que a água dentro da água, ele irá experimentar uma força de empuxo peso real - força de empuxo = peso aparente

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Experimento quantitativo 1 3 2 4 1. Massa de água + copo = 437 g 2. Mergulhe a bola metálica na água, mas não a deixe tocar o fundo 3. Novo peso = 458 g 4. Agora deixe a bola repousar no fundo do copo; novo peso = 596 g

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Parte a: meça m 0 = massa da água + béquer = 437 g Parte c: meça Parte d: meça

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo – Iceberg (1) Pergunta: Qual porção de um iceberg flutuando na água do mar é visível acima da superfície? Resposta: Seja Vt o volume total do iceberg e Vs o volume submerso do mesmo A fração acima da superfície da água é Como o iceberg está flutuando, o volume submerso do iceberg deve deslocar um volume de água com o mesmo peso do iceberg inteiro Podemos calcular o peso do iceberg sabendo a densidade do gelo de água doce

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: Iceberg (2) O peso do iceberg é A densidade da água do mar é O peso da água do mar deslocada é O peso do iceberg é igual ao peso da água do mar deslocada Podemos reorganizar essa fórmula para obter Logo, a fração acima da água é 10%

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: balão inflado com Hélio Um balão de festa é inflado com hélio. O balão tem um volume de 0, 150 m 3. A densidade do ar é 1, 30 kg/m 3. A densidade do hélio é 0, 179 kg/m 3. A massa do balão vazio é 50, 0 g. Pergunta: Qual é a força para cima resultante sobre o balão? Resposta: A força de empuxo é O peso do balão é O peso do hélio é Portanto, a força para cima resultante é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Princípio de Pascal (1) Se exercermos pressão em qualquer parte de um fluido incompressível, essa pressão será transferida ao resto do fluido sem perdas Esse conceito é chamado de Princípio de Pascal e pode ser enunciado como segue: “Quando uma variação na pressão ocorre em qualquer ponto de um fluido confinado, a mesma variação na pressão ocorre em cada ponto no fluido” O Princípio de Pascal é a base para muitos equipamentos hidráulicos modernos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Princípio de Pascal (2) Considere um cilindro parcialmente preenchido com água Posicione um pistão sem massa na superfície da água Coloque um peso no pistão que exerça uma pressão pt sobre a superfície da água A pressão p à profundidade h é então Se acrescentarmos um segundo peso, a variação na pressão, p, à profundidade h só pode ocorrer devido à pt causada pelo acréscimo do segundo peso

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Princípio de Pascal (3) Consideremos, agora, dois pistões conectados e parcialmente preenchidos com um fluido incompressível Um pistão tem área Aentrada O segundo pistão tem área Asaída Exercemos uma força Fentrada no primeiro pistão, produzindo uma variação na pressão do fluido Aentrada < Asaída Essa variação será transmitida através de todo o fluido Podemos escrever ou Podemos ver que ampliamos a força por um fator igual à razão das áreas dos pistões Use um Aentrada pequeno e um Asaída grande Base para atuadores hidráulicos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho realizado pelos pistões Vimos que podemos erguer um peso grande com uma força pequena Contudo, a quantidade de trabalho realizado pelo primeiro pistão é a mesma que o trabalho realizado pelo segundo pistão Para os dois pistões, o volume de fluido incompressível movido é V O trabalho realizado pode ser calculado lembrando-se que trabalho é igual a força vezes distância O trabalho de entrada é igual ao trabalho de saída

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: levantando um carro (1) Um elevador de carro em uma garagem está preenchido com um óleo de densidade 900 kg/m³. Queremos erguer um carro com massa de 1500 kg a uma altura de 2, 50 m. O elevador funciona bombeando óleo por um pequeno orifício com 5 cm de diâmetro e levanta o carro através de um pistão com 25 cm de diâmetro Pergunta: Precisamos de quanta pressão (manométrica) na mangueira conectando a bomba ao cilindro elevador? Resposta:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: levantando um carro (2)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento do fluido ideal O movimento de fluidos reais é complicado Aqui, faremos algumas suposições para simplificá-lo que nos permitirão obter algumas conclusões relevantes quanto ao movimento de fluidos Vamos supor que todos os fluidos apresentam Fluxo laminar Fluxo incompressível A densidade do fluido não varia à medida que ele flui Fluxo não viscoso A velocidade do fluido em um certo ponto no espaço não varia com o tempo O líquido flui livremente, sem atrito ou perdas Fluxo irrotacional Nenhuma parte do fluido gira ao redor de seu centro de massa; não há turbulência

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplos de fluxo Fluxo Laminar De Fluxo Laminar para Turbulento Fluxo Turbulento

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de Bernoulli (1) Considere o movimento de um fluido ideal com velocidade v em um recipiente com área de seção transversal A A variação no volume V por unidade de tempo é dada por Então, o volume por unidade de tempo é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de Bernoulli (2) Agora, considere um fluido escoando através de um tubo cuja área de seção transversal varia Inicialmente, o fluido está escoando com velocidade v 1 em um tubo com área A 1 e então entra em uma parte do recipiente com área de seção transversal A 2 por onde flui com velocidade v 2 O volume de fluido entrando nesse trecho do recipiente deve ser igual ao volume de fluido saindo do recipiente

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de Bernoulli (3) Podemos expressar o volume por unidade de tempo escoando na primeira parte do recipiente como E o volume por unidade de tempo escoando na segunda parte do recipiente como Usando o fato que o volume por unidade de tempo atravessando qualquer ponto deve ser o mesmo, obtemos Essa equação é denominada equação da continuidade

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de Bernoulli (4) Podemos expressar uma taxa de fluxo de volume constante RV (= volume por tempo) Também podemos expressar uma taxa de fluxo de massa constante Rm (= massa por tempo) Agora consideremos o caso onde um fluido incompressível (densidade constante ) flui a uma taxa constante através do tubo abaixo p 1 - pressão v 1 - velocidade y 1 - elevação p 2 - pressão v 2 - velocidade y 2 - elevação

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de Bernoulli (5) Pergunta: Como estão relacionadas as pressões, velocidades e elevações medidas em diferentes pontos? Resposta: Comece com o teorema trabalho-energia O trabalho é realizado pela força causando a pressão e a energia potencial é a gravitacional

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de Bernoulli (6) Insira todos esses termos no teorema trabalho-energia: Divida pelo elemento de volume: Reorganize: (Essa é a Equação de Bernoulli)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equação de Bernoulli (7) Podemos expressar a Equação de Bernoulli como No caso onde y = 0 (alturas iguais) obtemos Essa equação nos diz que, se a velocidade aumenta, a pressão diminui Efeito Bernoulli Deduzido por Johann Bernoulli (1667 - 1748), matemático e cientista suíço

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: equação de Bernoulli Apertamos o bulbo do pulverizador de um perfume, fazendo o ar fluir horizontalmente através da abertura de um tubo que se prolonga para dentro do perfume. Pergunta: Se o ar se move a 50, 0 m/s, qual é a diferença de pressão no topo do tubo? Resposta: v

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Bola curva Uma bola de beisebol arremessada em curva girando Uma análise com o princípio de Bernoulli nos leva na direção errada

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Bola curva – Efeito Magnus O efeito Magnus explica o movimento curvo da bola de beisebol As moléculas de ar colidem com as moléculas de ar na camada limite que se movem rapidamente e transferem mais energia quando se movem contra o movimento da camada limite do que quando se movem a favor do movimento da camada limite

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Por que um avião voa? Massa de um 747 totalmente carregado e abastecido: 350 toneladas Peso: 3, 4 MN Empuxo máximo combinado dos motores: 0, 9 MN (!!!)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Duas visões extremas … Bernoulli: o percurso mais longo do ar acima da asa causa uma velocidade maior e, assim, uma pressão menor Área total da asa do 747: 511 m 2; p = 6, 6 k. Pa ~ 0, 66% de 1 atm necessário para essa visão funcionar quantitativamente Então, como aviões de acrobacia podem voar ao contrário? Newton: moléculas de ar se defletem no lado inferior da asa e o avião é sustentado pela reação. Realidade: o ar é comprimido na borda dianteira e descomprimido na borda traseira, levando à superposição dos dois cenários extremos acima.

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: tubo de Venturi (1) Em pequenos aviões, um aparelho denominado tubo de Venturi é usado para criar uma diferença de pressão que pode, então, ser usada para acionar instrumentos de navegação baseados em giroscópios O tubo de Venturi é montado no lado de fora da fuselagem da aeronave em uma área com fluxo de ar livre Suponha que um tubo de Venturi tem uma abertura circular com 10, 0 cm de diâmetro, afunilandose a uma abertura circular com 2, 50 cm de diâmetro e, então, voltando ao diâmetro original de 10, 0 cm Pergunta: Qual é a diferença de pressão entre a abertura e a região estreita do tubo de Venturi, supondo que a aeronave está voando a uma velocidade constante de 38, 0 m/s ao nível do mar?

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: tubo de Venturi (2) Resposta: A partir da equação da continuidade podemos escrever A equação de Bernoulli nos diz que A diferença de pressão entre a abertura do tubo de Venturi e a área estreita é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: tubo de Venturi (3) Substituindo nossos valores númericos obtemos Essa diferença de pressão de 14, 1 k. Pa (106 mm de Hg) é pequena comparada com a pressão atmosférica padrão de 101, 3 k. Pa e, assim, parece razoável

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (1) Usando nossas ferramentas recentemente adquiridas para descrever o fluxo de líquidos, vamos analisar a drenagem de água de um tanque Tudo o que se precisa é um grande recipiente com um pequeno orifício no fundo. Podemos preencher esse recipiente com água e medir quanto tempo leva para drená-lo.

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (2) Podemos analisar esse processo de drenagem quantitativamente e chegarmos a uma descrição da altura da coluna de fluido em função do tempo Começamos com a equação de Bernoulli Como a garrafa está aberta no topo, a pressão atmosférica é a mesma na superfície superior da coluna de fluido e no dreno Assim, obtemos a partir da equação de Bernoulli

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (3) Cancelando as densidades e reordenando os termos, ficamos com onde h = y 1 - y 2 é a altura da coluna de fluido Essa equação é a mesma que nosso resultado anterior para uma partícula em queda livre Esse resultado mostra que o escoamento de um fluido ideal sob a influência da gravidade ocorre da mesma maneira queda livre de uma partícula pontual A equação da continuidade A 1 v 1 = A 2 v 2 relaciona as duas velocidades v 1 e v 2 através da razão entre suas áreas de seção transversal correspondentes, A 1 e A 2

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (4) Velocidade com a qual o líquido flui do recipiente (em função da altura da coluna de fluido acima do furo) Se a área A 2 é pequena comparada a A 1, então esse resultado se simplifica Essa velocidade com a qual o fluido escoa do recipiente é, às vezes, chamada de velocidade de efluxo

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (5) Para responder a pergunta de como a altura da coluna de fluido varia com o tempo, observamos que a velocidade é a derivada temporal da altura, h, da coluna de fluido, v 1 = − dh/dt Então, da equação da continuidade encontramos Utilizamos a raiz negativa porque identificamos que a altura diminui com o tempo

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (6) Como essa equação relaciona a altura à sua derivada, é uma equação diferencial Sua solução é Para comprovar que essa equação é realmente a solução, tome sua derivada e a insira em

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (7) Essa derivada é O tempo para que essa derivada chegue a zero é o tempo para que o processo de drenagem termine Se inserirmos esse resultado de volta na nossa equação diferencial descrevendo a altura como função do tempo, vemos que ele também é o tempo no qual a altura da coluna de fluido chega a zero Como a derivada temporal da altura é proporcional à raiz quadrada da altura, nossa solução deve chegar a altura zero com derivada nula

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Drenando um tanque (8) Nosso resultado nos diz que o tempo que leva para drenar um recipiente cilíndrico é proporcional à área da seção transversal do recipiente e inversamente proporcional à área do orifício pelo qual o recipiente está sendo drenado Mas o tempo é proporcional apenas à raiz quadrada da altura do recipiente Logo, se temos dois recipientes contendo o mesmo volume de líquido sendo drenados por orifícios de mesmo tamanho, aquele que é mais alto e tiver a menor área da seção transversal drenará mais rapidamente Tenha em mente que a solução que desenvolvemos vale estritamente para um fluido ideal em um tanque com área da seção transversal constante em função da altura e no caso em que a área do orifício é pequena em comparação à área do tanque

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: Drenando uma garrafa (1) A figura abaixo mostra uma garrafa cilíndrica grande com área da seção transversal A 1 = 0, 10 m 2 Drenamos essa garrafa através de um pequeno furo de raio 7, 4 mm, resultando em uma área A 2 = 1, 72. 10 -4 m 2 Gravamos esse experimento e mostramos um quadro a cada 15 segundos A altura inicial da coluna de fluido (água com corante vermelho) na garrafa acima da abertura era h 0 = 0, 30 m

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: Drenando uma garrafa (2) Pergunta 1: Quanto tempo levará para drenar essa garrafa? Resposta 1: Podemos simplesmente usar e inserir os valores dados Chegamos em

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: Drenando uma garrafa (3) Pergunta 2: Como varia a altura da água na garrafa com o tempo? Resposta 2: Marcamos o nível do dreno com uma linha branca horizontal tracejada e a altura da coluna de fluido em cada quadro com um ponto verde

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: Drenando uma garrafa (4) Na figura abaixo, mostramos a comparação entre a solução calculada e os dados que obtidos a partir do experimento É possível observar uma boa concordância dentro da incerteza da medição, que está simbolizada pelo tamanho dos pontos verdes, que representam a medição experimental

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Viscosidade (1) Se um rio calmo já carregou seu barco, você pode ter notado que ele se moveu mais rápido com a correnteza no meio do rio do que perto das margens Se a água do rio fosse um fluido ideal em um fluxo laminar, então não deveria fazer diferença quão longe da margem você estava Acontece que a água não é realmente um fluido ideal Em vez disso, ela tem uma espécie de “grude”, chamado viscosidade Para a água, a viscosidade é bem baixa, mas para o óleo ela é significativamente maior e é mais alta ainda para substâncias como mel, que escorre bem lentamente A viscosidade faz com que as linhas de fluxo do fluido na superfície se distendam a partir das margens, pois as linhas de fluxo vizinhas estão parcialmente aderidas umas às outras

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Viscosidade (2) O perfil de velocidades resultante para as linhas de fluxo está esboçado no painel abaixo à direita O perfil é parabólico, com a velocidade se aproximando de zero nas paredes e alcançando seu valor máximo no centro Note que esse fluxo ainda é laminar, com todas as linhas de fluxo escoando paralelamente uma a outra

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Viscosidade (3) O procedimento padrão para medir a viscosidade de um fluido é usar duas placas paralelas de área A e preencher a distância h entre elas com o fluido Então, arrasta-se uma das placas sobre a outra e mede-se a força F necessária para o arrasto O perfil de velocidade resultante entre as placas é linear, como mostrado abaixo

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Viscosidade (4) A viscosidade é definda, então, como a razão da força por unidade de área pela diferença de velocidade entre as placas sobre a distância entre elas A unidade de viscosidade é mesma da unidade de pressão (força por unidade de área) multiplicada pelo tempo, Pa·s Geralmente essa unidade também é chamada de poiseuille (Pl)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Viscosidade (5) É muito importante entender que a viscosidade de qualquer fluido depende fortemente da temperatura Você pode ver um exemplo dessa dependência da temperatura na cozinha Se você guarda azeite de oliva na geladeira e então o derrama da garrafa, você pode ver quão lentamente ele flui Mas aqueça o mesmo azeite de oliva em uma panela, e então ele escorrerá quase tão facilmente quanto água Na projeção de óleos para motores, a dependência da viscosidade com a temperatura é de grande preocupação e o objetivo é ter um perfil de temperatura que seja tão plano quanto possível

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Viscosidade (6) Na tabela abaixo, listamos alguns valores típicos de viscosidade para diferentes fluidos Todos os valores são dados à temperatura ambiente (20 ºC = 68 ºC), exceto a viscosidade do sangue, que é dada à temperatura do corpo humano (37 C = 98, 6 F) Incidentalmente, a viscosidade do sangue aumenta em torno de 20% durante uma vida humana e o valor médio para os homens é ligeiramente mais alto do que para as mulheres (4, 7· 10 -3 Pa·s versus 4, 3· 10 -3 Pa·s)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Viscosidade (7) Levamos em conta a viscosidade de um fluido se desejamos determinar quanto líquido pode escorrer através de um tubo de um raio r e comprimento l Hagen (1839) e Poiseuille (1840) descobriram, independentemente, que o volume Q de fluido que pode fluir por unidade de tempo é Aqui p é a diferença de pressão entre as duas extremidades do tubo Como esperado, o fluxo é inversamente proporcional à viscosidade e ao comprimento do tubo Mais significativamente, o fluxo também é proporcional ao raio do tubo elevado à quarta potência Em particular, podemos tratar um vaso sanguíneo como um tubo. Isso nos ajuda a compreender a gravidade do problema associado à obstrução das artérias

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Fronteiras da pesquisa (1) No fluxo laminar as linhas de fluxo de um fluido seguem trajetórias suaves Em contraste, para um fluido em fluxo turbulento, vórtices se formam, se separam e se propagam Já mencionamos que o fluxo laminar ideal ou fluxo laminar viscoso torna-se um fluxo turbulento quando a velocidade do fluxo excede certo valor Esse efeito é claramente visível na elevação da fumaça de cigarro, que passa por uma transição de fluxo laminar para fluxo turbulento Mas qual é o critério que determina se o fluxo é laminar ou turbulento?

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Fronteiras da pesquisa (2) A resposta se encontra no chamado número de Reynolds Ele é definido como a razão entre forças inerciais típicas e forças de viscosidade e, assim, é um número puro e adimensional A força inercial deve ser proporcional à densidade e à velocidade típica do fluido, , porque F = dp/dt de acordo com a Segunda Lei de Newton A força viscosa é proporcional à viscosidade e inversamente proporcional à escala de comprimento de escala característico L Aqui está a fórmula para o número de Reynolds

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Fronteiras da pesquisa (3) Para um fluxo através de um tubo com seção transversal circular, esse comprimento de escala é o diâmetro do tubo, L = 2 r Em termos práticos: Re menor do que 2. 000 => fluxo laminar, Re maior do que 4. 000 => fluxo turbulento Para números de Reynolds no intervalo de 2. 000 a 4. 000 o caráter do fluxo depende de detalhes muitos refinados sobre a configuração exata e engenheiros tentam evitar esse intervalo em seus projetos por sua absoluta imprevisibilidade

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Fronteiras da pesquisa (4) A verdadeira utilidade do número de Reynolds reside no fato de que os fluidos que escoam em sistemas que têm mesma geometria e o mesmo número de Reynolds, comportam-se de forma similar uns aos outros Essa escala permite que se reduza os típicos comprimentos de escalas ou as velocidades de escala, que se construa modelos de barcos ou aviões e que se teste seu desempenho em tanques de água ou túneis de vento de escala relativamente pequena

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Fronteiras da pesquisa (5) Além de modelos em escala, a pesquisa atual sobre escoamento de fluidos e turbulência recai fortemente sobre modelos computacionais A modelagem hidrodinâmica é empregada em uma variedade incrível de sistemas físicos Naturalmente, há aplicações que vêm à mente de imediato, tais como o desempenho e aerodinâmica de carros, aviões, foguetes e barcos Mas a modelagem hidrodinâmica também é utilizada na colisão de núcleos atômicos a altas energias, conseguidas com aceleradores modernos, ou na modelagem de explosões de supernovas Apenas no ano de 2005, um grupo experimental trabalhando no Relativistic Heavy Ion Collider (Colisor de Íons Pesados Relativísticos), em Brookhaven, NY, declarou ter descoberto que núcleos de ouro apresentam características de um perfeito fluido não viscoso, quando colidem entre si em altas energias

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