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Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Gases Um gás é uma substância que expande até preencher o recipiente no qual está colocada Usaremos o termo “moléculas de gás” para nos referirmos aos componentes de um gás, embora um gás possa ser composto por átomos ou moléculas de uma única identidade ou por uma combinação de substâncias Algumas quantidades usadas para descrever um gás são volume, temperatura e pressão; as condições padrão de temperatura e pressão (CPTP) são definidas como 0 C e 100 k. Pa

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias O mol Outra característica de um gás é o número de moléculas de gás no volume de um recipiente Essa quantidade se expressa em termos de mols 1 mol é definido como 6, 022∙ 1023 moléculas e esse número é conhecido como número de Avogadro

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Leis empíricas dos gases Muito da informação que temos a respeito do comportamento de gases foi determinado por experimentos ou observações Diversas relações entre pressão, volume, temperatura e número de moléculas são importantes e recebem os nomes dos descobridores: Lei de Boyle Lei de Charles Lei de Gay-Lussac Lei de Avogadro

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Boyle A Lei de Boyle declara que o produto entre a pressão de um gás, p, e seu volume, V, a uma temperatura constante é constante Um exemplo dessa lei é a respiração. A pressão baixa em seus pulmões, como resultado da expansão do diafragma, aspira ar para equilibrar a pressão. Quando o diafragma se contrai, uma alta pressão interna força o ar a sair dos pulmões. Para uma demonstração em vídeo da Lei de Boyle vá para: http: //www. youtube. com/watch? v=NB 1 a. CBId 6 q. A&feature=related

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Charles A Lei de Charles diz que para um gás mantido a pressão constante, o volume do gás, V, dividido por sua temperatura, T, é constante Observação: a temperatura deve ser expressa em Kelvin! Uma vez que a densidade é definida como m/V, a Lei de Charles também pode ser escrita como ρT =constante para p constante Para uma demonstração em vídeo da Lei de Charles vá para: http: //www. youtube. com/watch? v=Zvr. Jg. Ghnm. Jo

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Gay-Lussac A Lei de Gay-Lussac expressa que a razão entre a pressão, p, de um gás e sua temperatura, T, ao mesmo volume é constante Observação: novamente, a temperatura deve ser expressa em Kelvin!

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Avogadro (1) A Lei de Avogadro estabelece que a razão entre o volume de um gás, V, e o número de moléculas do gás, N, é constante caso a presssão e a temperatura sejam mantidas constantes Foi descoberto que um volume de 22, 4 L de um gás a temperatura e presssão padrão contém 6, 022∙ 1023 – o número de Avogadro – de moléculas

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Avogadro (2) O número de Avogadro, NA, tem, atualmente, o valor aceito de O número de moléculas de um gás, N, e o número de mols de um gás, n, estão relacionados pelo número de Avogadro A massa de um mol de um gás é igual a massa atômica ou massa molecular das partículas constituintes em gramas

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei dos Gases Ideais As quatro leis anteriores podem ser combinadas em uma lei mais geral, relacionando todas às propriedades dos gases; essa é a denominada Lei dos Gases Ideais Aqui, R é a constante universal dos gases e é dada por Essa representação da lei dos gases ideais usa o número de mols do gás

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dedução da Lei dos Gases Ideais (1) Para deduzir a lei dos gases ideais, comece com um mol de gás à pressão po, com um volume Vo e uma temperatura To A seguir, o estado do gás é alterado variando-se o volume e a temperatura e mantendo-se a pressão constante, resultando no seguinte uso da Lei de Charles: a foi usado como um múltiplo constante para indicar o novo estado do gás

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dedução da Lei dos Gases Ideais (2) Para o segundo passo, varie a pressão e o volume do gás, mantendo a temperatura constante, seguindo a Lei de Boyle Quando b é usado como uma constante para descrever a mudança de estado, isso resulta no seguinte:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dedução da Lei dos Gases Ideais (3) A combinação dos resultados anteriores permite que a razão seja escrita como Isso implica que a razão po. Vo /To é uma constante que pode ser chamada R Para estendermos essa dedução, devemos levar em conta n mols do gás

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dedução da Lei dos Gases Ideais (4) Relembrando que o volume de n mols é n vezes o volume de um mol Reescrevendo, obtemos a equação procurada: Na qual p=po, V=n. Vo e T=To, a pressão, o volume e a temperatura de n mols de um gás

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Mais sobre a Lei dos Gases Ideais (1) A Lei dos Gases Ideais também pode ser escrita em termos do número de moléculas de gás, ao invés do número de mols do gás k. B é a constante de Boltzmann, dada por R/NA A constante de Boltzmann é uma constante fundamental, que geralmente aparece em relações baseadas no comportamento atômico ou molecular

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Mais sobre a Lei dos Gases Ideais (2) Outra forma de expressar a Lei dos Gases Ideais para um número constante de mols de gás é Um gráfico tridimensional demonstra que outras leis de gases estão incorporadas na Lei dos Gases Ideais

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 1: Gás expandindo (1) Pergunta: Considere um gás à pressão de 24, 9 k. Pa em um cilindro com V = 0, 100 m 3 e um pistão. O pistão foi projetado para aumentar o volume do cilindro até 0, 900 m 3, mantendo a temperatura constante. Qual é a pressão do gás no volume final? Resposta: Esse processo seguirá o caminho na figura e é descrito pela Lei de Boyle

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 1: Gás Expandindo (2) Uma vez que a temperatura é constante, a Lei dos Gases Ideais pode ser reescrita como Resolvendo para p 2

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho realizado por um gás ideal (1) Inicialmente, suponha que o gás está mantido a uma temperatura constante em um recipiente fechado que tem volume variável Essa hipótese permite que o processo ocorra como um processo isotérmico, conforme descrito no Capítulo 6 A Lei dos Gases Ideais fornece a relação entre a pressão e o volume do gás

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho realizado por um gás ideal (2) Relembrando o Capítulo 6, o trabalho realizado pelo gás é dado por Agora que a relação entre pressão e volume é conhecida, a substituição pode ser feita Esse resultado mostra que o trabalho é positivo quando o volume aumenta e negativo quando ele diminui

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Dalton (1) O que acontece com as hipóteses sobre um gás ideal quando há mais de um tipo de gás em um volume dado, tal como no ar? A Lei de Dalton estabelece que a pressão de um gás composto por uma mistura homogênea de gases diferentes é igual à soma das pressões parciais de cada um dos gases Isso significa que cada gás não é afetado pela presença dos demais gases, desde que as moléculas não interajam

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Dalton (2) A Lei de Dalton pode ser expressa matematicamente por Aqui, pi representa a pressão parcial do gás i para uma mistura de m gases A Lei de Avogadro pode ser estendida para a mistura, para descrever o total de mols de gás na mistura

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lei de Dalton (3) A fração molar, ri , para cada gás em uma mistura pode ser definida como A soma das frações molares deve ser igual a 1 Usando essa definição, as pressões parciais podem ser expressas como

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Atmosfera terrestre A atmosfera terrestre tem uma massa de aproximadamente 5, 1∙ 1018 kg e é uma mistura de diversos gases, conforme mostra a tabela Ela também contém vapor de água ( de 1% a + de 3% perto da superfície) diminuindo a densidade porque a massa molecular da água é menor do que a de outros gases!

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias A teoria cinética dos gases (1) Para explicar propriedades macroscópicas (como p, V e T) em termos de componentes de um gás, exigem-se algumas suposições a respeito do comportamento das moléculas O número de moléculas, N, é grande, mas as próprias moléculas são pequenas; logo, a distância entre elas é grande Todas as moléculas são idênticas, com uma massa m As moléculas estão em constante movimento aleatório ao longo de linhas retas e não interagem umas com a outras As moléculas sofrem colisões elásticas com as paredes do recipiente O volume do recipiente é grande se comparado ao tamanho das moléculas e suas paredes são rígidas e estáticas

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias A teoria cinética dos gases (2) Essas hipóteses e os resultados deduzidos delas são chamadas de teoria cinética de um gás ideal Primeiramente, examinaremos a energia cinética média das moléculas do gás e como ela se relaciona com a temperatura do gás Essa conexão é denominada teorema da equipartição

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (1) Inicialmente, precisamos determinar a energia cinética média das moléculas do gás Tomando a média das energias cinéticas das moléculas individuais, obtemos o seguinte resultado: Esse resultado também mostra a definição da raiz da velocidade quadrática média das moléculas do gás – essa não é a mesma que a velocidade média, mas pode ser considerada um valor razoável, uma vez que se relaciona com a energia cinética média

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (2) Agora, queremos ver como esse resultado se relaciona com a temperatura do gás Primeiramente, vamos determinar a pressão do gás como resultado da colisão das moléculas com as paredes do recipiente Considere um gás com moléculas de massa m viajando na direção x, com velocidade, vx, perpendicular às paredes de um recipiente cúbico (Lx. L)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (3) A variação de momentum da molécula ao colidir é Agora precisamos definir o intervalo de tempo no qual as colisões acontecem – a molécula deve atravessar o recipiente e voltar à parede com a qual colidiu L é a distância através do recipiente cúbico

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (4) Podemos usar a variação no momentum e o tempo com a Segunda Lei de Newton para determinarmos a força exercida pelas paredes do recipiente sobre as moléculas A Terceira Lei de Newton estabelece que a força sobre a parede deve ser igual, em magnitude, mas com sentido oposto à força exercida sobre a molécula Se há N moléculas, a força resultante sobre a parede deve ser

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (5) O resultado para a direção x é independente das componentes y e z das velocidades, mas como as moléculas estão se movendo aleatoriamente, os resultados para as direções y e z serão os mesmos Uma vez que , podemos escrever que

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (6) Acabamos de encontrar o motivo para o nome teorema da “equipartição” – cada componente cartesiana da velocidade tem uma parte igual da energia cinética total Usando isso, podemos reescrever a equação para a força exercida pelo gás sobre a parede do recipiente

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (7) Agora, podemos determinar a pressão na parede Utilizando a definição de velocidade rms, podemos expressar a pressão de forma bem simples Perceba que o resultado não depende da forma do recipiente, apenas do volume

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Teorema da equipartição (8) Finalmente, precisamos usar a Lei dos Gases Ideais para relacionarmos a temperatura com a energia cinética Como um último passo, relembramos que K=½mv 2 A temperatura é diretamente proporcional à energia cinética média das moléculas!

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Calor específico de gases O comportamento de gases pode ser usado para determinar seus calores específicos molares Primeiramente, considere um gás monoatômico – aquele no qual os átomos não estão ligados a outros átomos – tal como os gases nobres Além disso, suponha que toda a energia interna do gás está na forma de energia translacional A energia interna de N átomos pode ser escrita como

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Calor específico a V constante (1) No Capítulo 6, vimos que Usamos a Primeira Lei da Termodinâmica Lembrando que para V constante, trabalho não é realizado Recordando os resultados do teorema da equipartição

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Calor específico a V constante (2) Combinando todos os nossos resultados, decorre uma resposta surpreendente para o valor do calor específico de um gás monatômico Esse valor concorda bem com medidas feitas a temperatura e pressão padrão Valores para gases diatômicos e poliatômicos são mais altos que os de gases monoatômicos

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Calor especifico a p constante (1) Agora considere a situação na qual a temperatura de um gás ideal é elevada, mantendo-se a pressão constante No capítulo 6, vimos que Cp é maior do que CV, porque energia deve ser fornecida para a realização de trabalho, além do aumento na temperatura

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Calor especifico a p Constante (2) Usando a Primeira Lei da Termodinâmica Aqui, substituições foram feitas quanto a variação na energia interna e o trabalho realizado quando a pressão é constante Usando a Lei dos Gases Ideais, podemos agora fazer uma substituição adicional,

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Calor especifico a p constante (3) Completando as substituições, resulta que Como cada termo contém nΔT, podemos simplificar mais ainda a equação para mostrarmos a relação entre o calor específico a volume e a pressão constante:

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Graus de liberdade (1) Mostramos que, para gases monatômicos, CV =3/2 R, mas isso não vale para gases diatômicos ou poliatômicos Essa falha pode ser explicada em termos dos graus de liberdade possíveis para o movimento de vários tipos de moléculas No geral, um grau de liberdade é uma direção na qual algo pode se mover Para uma partícula pontual no espaço 3 D, há 3 direções ortogonais para o movimento que são independentes

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Graus de liberdade (2) Para uma coleção de N partículas pontuais, há 3 N graus de liberdade translacionais Se as partículas estão distribuídas em um sólido, elas não podem se mover independentemente e o número de graus de liberdade translacionais é reduzido a 3 (apenas o movimento do centro de massa é independente) mais as rotações do objeto ao redor do centro de massa No geral, há 3 rotações independentes, dando um número total de graus de liberdade de 6

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Graus de liberdade (3) Considere um gás poliatômico – rotações podem ocorrer ao redor de cada eixo coordenado, resultando em 3 graus de liberdade rotacionais Em um gás diatômico, há apenas 2 graus de liberdade rotacionais, porque a rotação ao redor do eixo da molécula não resulta em uma configuração diferente Gases monatômicos têm 0 graus de liberdade rotacionais devido à simetria

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equipartição de energia (1) O princípio da equipartição de energia estabelece que as moléculas de um gás em equilíbrio térmico têm a mesma energia média associada a cada grau de liberdade independente A energia média por grau de liberdade é dada por 1/2 k. BT para cada molécula do gás Isso resulta em para um gás monatômico, consistente com o calor específico molar a volume constante

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Gases diatômicos Como a equipartição de energia afeta os resultados do calor específico para um gás diatômico? Para um gás diatômico, podemos observar 3 graus de liberdade translacionais e 2 rotacionais, o que nos dá Essa predição concorda razoavelmente bem com os valores medidos para hidrogênio, nitrogênio e oxigênio

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Gases poliatômicos Em seguida, considere um gás poliatômico, como o metano Observamos 3 graus de liberdade translacionais e 3 rotacionais, portanto Isso está perto, mas é um pouco mais baixo do que o valor medido para o metano As diferenças em CV, tanto para gases diatômicos quanto para poliatômicos, surgem de oscilações entre os átomos, acrescentando graus de liberdade vibracionais adicionais

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Razão entre calores específicos É conveniente tomar a razão entre calores específicos Os valores de γ são: 5/3 para gases monoatômicos 7/5 para gases diatômicos 4/3 para gases poliatômicos Apesar do fato de que os valores dos calores específicos não estão muito perto dos valores calculados, os valores para γ estão em um bom acordo com as predições teóricas

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Processos adiabáticos (1) Lembre-se que um processo adiabático é aquele no qual o estado do sistema varia sem troca de calor com o ambiente, ou Q=0 Nesse caso, Começando com a Primeira Lei da Termodinâmica, considere uma variação diferencial na energia interna

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Processos adiabáticos (2) Dada a relação entre calor específico e energia interna, a equação pode ser reescrita como Em seguida, tome a derivada da Lei dos Gases Ideais e substitua d. T da equação anterior

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Processos adiabáticos (3) Continuando, pode-se usar álgebra para reunir termos semelhantes e a definição de R = Cp CV fornecerá uma equação muito mais simples Integrando essa equação e usando as regras de logaritmos, obtemos uma resposta final

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Processos adiabáticos (4) Esse resultado também pode ajudar a redefinir as relações entre a temperatura e o volume de um gás ideal durante um processo adiabático Se o gás está em um recipiente fechado, n é constante e podemos simplificar a relação para Um exemplo de processo adiabático é a expansão de CO 2 quando se abre uma bebida carbonatada

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 2: Explodindo uma bola (1) Pergunta: Uma bomba manual é usada para explodir a bola de uma criança. Qual é a temperatura do ar na bola após um movimento de compressão da bomba? Suponha uma temperatura ambiente de 295 K antes de bombear. Resposta: Dados: rbomba=2, 00 cm hi, bomba=60, 0 cm hf, bomba=10, 0 cm Vbola=0, 020 m 3 Vi, tot=Vi, bomba+Vbola Vf, tot=Vf, bomba+Vbola

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 2: Explodindo uma bola (2) Observação: o volume da bola é grande o bastante para que não aumente significativamente com uma bombeada Percebendo que o ar é primariamente composto por gases diatômicos, podemos usar =7/5

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho em um processo adiabático (1) Também é importante determinar uma maneira de calcular o trabalho realizado em um processo adiabático Lembre que, no geral, o trabalho é definido como Pra um processo adiabático Onde c é uma constante

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalho em um processo adiabático (2) Agora, a integral pode ser resolvida A constante, c, pode ser determinada usando a Lei dos Gases Ideais O resultado final será

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distribuição de velocidades de Maxwell (1) Devemos, agora, reexaminar a teoria cinética dos gases para determinar resultados adicionais além do teorema da equipartição A raiz da velocidade quadrática média foi definida como Isso fornece a velocidade escalar média, mas qual é a distribuição das velocidades escalares?

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distribuição de velocidades de Maxwell (2) Essa distribuição é denominada distribuição de velocidades de Maxwell ou distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann e é dada por As unidades da distribuição são (m/s)– 1 e, como todas as outras distribuições de probabilidade, integrando essa função em dv resulta no valor 1

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distribuição de velocidades de Maxwell (3) Médias fisicamente significativas podem ser calculadas multiplicando-se a quantidade cuja média se deseja obter pela função distribuição e integrando sobre o domínio inteiro Por exemplo, a velocidade escalar média para a distribuição de Maxwell é

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distribuição de velocidades de Maxwell (4) Para determinar a raiz da velocidade quadrática média, primeiramente, a velocidade quadrática média deve ser determinada Tomando a raiz quadrada do resultado, temos: A velocidade escalar mais provável (o valor máximo de f(v)) é determinado encontrando-se o zero da derivada, que resulta em

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distribuição de velocidades de Maxwell (5) Na distribuição de Maxwell, as velocidades estão distribuídas ao redor da velocidade escalar média A distribuição não é simétrica ao redor da raiz da velocidade quadrática média – há uma cauda que se estende para velocidades altas Conforme a temperatura do gás é elevada, a distribuição se alarga e o valor máximo de f(v) diminui

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Gases na atmosfera terrestre (1) A uma temperatura dada, a distribuição de velocidades de Maxwell para átomos ou moléculas mais leves é mais larga e tem mais cauda de altas velocidades Isso significa que moléculas de hidrogênio irão se mover mais rapidamente do que moléculas de nitrogênio na atmosfera terrestre

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Gases na atmosfera terrestre (2) Na superfície, a temperatura é baixa o bastante para que nenhuma molécula atinja a velocidade de escape, que é 11, 2 km/s Na termosfera, onde a temperatura é muito mais alta, uma fração (0, 06%) das moléculas de hidrogênio escapa da atmosfera! Eventualmente, a maioria das moléculas de hidrogênio sobe à termosfera e abandona a atmosfera, deixando para trás os gases mais pesados como nitrogênio, oxigênio e dióxido de carbono

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distribuição de energia cinética (1) Assim como as moléculas de gás têm uma distribuição de velocidades, elas também têm uma distribuição de energias cinéticas, dadas pela distribuição de energia cinética de Maxwell Como anteriormente, isso é uma distribuição de probabilidade e integrando com respeito a d. K resulta no valor 1 A unidade para a distribuição é J– 1

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distribuição de energia cinética (2) As energias cinéticas das moléculas estão distribuídas ao redor de Kmédia, mas há uma cauda de energia cinética significativamente alta Deve ser notado que as duas distribuições de Maxwell são baseadas na hipótese de que as moléculas do gás não interagem Isso é quase verdadeiro para a atmosfera terrestre e, assim, o uso de distribuições é razoável

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Livre caminho médio (1) Uma das suposições para um gás ideal é de que as moléculas são partículas pontuais e não interagem Moléculas reais não são infinitamente pequenas e têm uma chance de colidir umas com as outras Essas colisões produzem um efeito de espalhamento que faz com que o movimento seja aleatório e com que as velocidades sigam a distribuição de Maxwell rapidamente, independentemente de qualquer velocidade incial que as moléculas possam ter tido

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Livre caminho médio (2) A distância que uma molécula viaja antes de encontrar outra molécula é chamada de livre caminho médio, , e depende da temperatura e da pressão do gás e da área de seção transversal da molécula (4 r 2)

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 3: Livre caminho médio (1) Pergunta: Qual é o livre caminho médio de uma molécula de gás no ar a pressão atmosférica normal (101, 3 k. Pa) e uma temperatura de 20 C? Resposta: Como o ar, na realidade, é 78, 1% nitrogênio, vamos supor, por simplicidade, que é 100% nitrogênio. O raio de uma molécula de nitrogênio é aproximadamente 0, 150 nm.

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 3: Livre caminho médio (2) Calcule o livre caminho médio: Pergunta: Como isso se compara ao espaçamento entre as moléculas?

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 3: Livre caminho médio (3) Resposta: Inicialmente, encontre o espaçamento entre as moléculas. O volume por partícula pode ser determinado usando a Lei dos Gases Ideais. Logo, o espaçamento médio é a raiz cúbica de V/N

Física para Universitários: Relatividade, oscilações, ondas e calor – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo 3: Livre caminho médio (3) Isso fornece a razão entre o livre caminho médio e o espaçamento médio entre as moléculas como Esse resultado demonstra que tratar o ar (na verdade o nitrogênio, para esse exemplo) como um gás ideal é razoável, porque o livre caminho médio é muito maior do que o espaçamento molecular, resultando em poucas interações entre as moléculas