ESTIMACIN EN REAS PEQUEAS EN EL INSTITUTO GALEGO

ESTIMACIÓN EN ÁREAS PEQUEÑAS EN EL INSTITUTO GALEGO DE ESTATÍSTICA Esther López Vizcaíno esther. lopez@ige. eu

Contenido • Introducción • Ejemplo para la discusión • Ejemplo de aplicación de modelos con datos agregados • Ejemplo de aplicación de modelos con datos a nivel de individuo • Conclusiones • Futuro • Bibliografía Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Necesidades de los usuarios Demanda de datos estadísticos en áreas pequeñas No está totalmente satisfecha ü La información derivada de operaciones censales es costosa y se limita a una serie de variables cuya referencia temporal no tiene la actualización necesaria ? Qué falla ü Los registros administrativos, con un enorme potencial de información, no se explotan lo suficiente üLas encuestas por muestreo, dado su elevado coste, raramente aportan datos representativos para territorios infra-municipales Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Demanda creciente Administraciones locales Por sus propias competencias, requieren información desagregada para el diseño y evaluación de sus políticas en sus respectivos ámbitos geográficos Usuarios privados Políticas de marketing a poblaciones o segmentos muy concretos Las decisiones de inversión en una región se basan en el conocimiento de sus características: población activa, costes de producción, … Investigadores Necesitan datos suficientemente desagregados con el objeto de construír, contrastar y validar modelos Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Productores públicos MISIÓN Proporcionar información relevante, fiable y de forma neutral Tendencia hacia una mayor demanda de datos desagregados Los productores públicos de estadísticas deben enfrentarse a este reto en cumplimiento de su misión Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Problema Nº de observaciones escaso en el dominio de interés Estimaciones directas con poca precisión Aumento de muestra Aumento de costes Mayor carga de respuesta a los informantes > Errores ajenos al muestreo Empleo de técnicas indirectas de estimación Información auxiliar De la encuesta De muestras complementarias De fuentes administrativas Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Antecedentes ü Proyecto EURAREA üProyecto financiado parcialmente por la Unión Europea dentro del 5º programa de I+D üDesarrollado por un Consorcio formado por las oficinas de estadística y las universidades de 7 países europeos: U. K. , Finlandia, España, Noruega, Suecia, Polonia, Italia, U. Of Southampton, U. Of Jyvaskyla, U. Miguel Hernández, Poznan U. Of Economics, U. Degli Studi di Roma. üObjetivo: evaluar la eficiencia de los estimadores estándar para áreas pequeñas ü Informe elaborado por un grupo de expertos al Comité Interterritorial de Estadísticas (CITE) sobre La organización de la estadística pública en España. Situación actual y propuestas de mejora “. . . las ventajas de las encuestas por muestreo como técnica de recogida de información disminuyen a medida que se reduce el tamaño de la población, de modo que en poblaciones pequeñas es preferible acudir a otras fuentes de información, como los registros administrativos, o profundizar en las técnicas de estimación en áreas pequeñas. ” Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Antecedentes ü Grupo de trabajo áreas pequeñas INE-CCAA Objetivo: establecer procedimientos para elaborar estimaciones en áreas pequeñas de las variables más significativas de la Encuesta de Población Activa (EPA), teniendo en cuenta la experiencia del INE en el proyecto EURAREA de la Unión Europea ü Instituto Vasco de Estadística (EUSTAT) ü Estimación de áreas pequeñas en la encuesta industrial de la Comunidad Autónoma de Euskadi Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Antecedentes ü Programa estatístico anual 2007 Galicia Actividad estadística 704. - Investigación y desarrollo de métodos de estimación en áreas pequeñas Objetivo. - Mejorar las predicciones o estimaciones de variables o parámetros de interés en las encuestas realizadas por el IGE considerando un nivel de desagregación mayor de aquel para el que se diseñó la encuesta Convenio de colaboración IGE-USC Otros objetivos Recopilar y divulgar los métodos de ‘inferencia estadística en áreas pequenas’ ya existentes Realización de una jornada de carácter internacional que reuna a expertos en el tema Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Trabajos a realizar Encuesta de condiciones de vida (IGE) Variables objetivo: nº de parados, tasa de paro Desagregación geográfica: 53 comarcas (NUTS IV), 14 agrupaciones de comarcas Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Trabajos a realizar Encuesta de condiciones de vida (IGE) ØEncuesta anual dirigida a hogares ØObjetivo: obtener información de las características socioeconómicas de los hogares gallegos ØMuestreo: bietápico con estratificación previa de las unidades de primera etapa Muestras independientes en cada área (agrupaciones de comarcas) Unidades de primera etapa: secciones censales Unidades de segunda etapa: vivienda familiar principal Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Trabajos a realizar Encuesta de condiciones de vida (IGE) Ø En la primera etapa las secciones se seleccionan con probabilidad proporcional a su tamaño Ø En la segunda etapa las viviendas se seleccionan con muestreo sistemático con arranque aleatorio. Se entrevistan a todos los individuos de las viviendas seleccionadas Ø Estimadores: estimadores de expansión corregidos con información proporcionada por fuentes externas (calibrado) Ø Se obtiene información a nivel de Galicia, provincias y de agrupaciones de comarcas Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Ejemplo • Estimación del nº de parados y la tasa de paro en 14 agrupaciones comarcales: – Estimador directo – Estimador sintético básico – Estimador compuesto • Cálculo de los coeficientes de variación de los estimadores empleando Jackknife Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimadores • Estimador directo – Total – Media • Estimador postestratificado g: grupo de edad Ndg: población en el área d y grupo de edad g Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimadores • Estimador sintético básico – Se construyeron grupos de comarcas (grup) que presentan un comportamiento homogéneo en cuanto a las variables a estudiar (Censo 2001) – Se construyeron grupos en función del sexo y si la variable es parado o ocupado Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimador sintético básico. Grupos Ocupados Parados Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimador sintético básico. Grupos Mujeres ocupadas Mujeres paradas Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimadores • Estimador compuesto Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Cálculo de los errores de muestreo Método Jackknife Estimador de la varianza L: nº de estratos Sh: total de secciones muestrales en el estrato h : estimador obtenido despues de suprimir de la muestra la sección s en el estrato h YJh : media de los estimadores correspondientes al estrato h Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Cálculo de los errores de muestreo Método Jackknife Estimador del sesgo L: nº de estratos Sh: total de secciones muestrales en el estrato h : estimador obtenido despues de suprimir de la muestra la sección s en el estrato h YJh : media de los estimadores correspondientes al estrato h Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Cálculo de los errores de muestreo Método Jackknife Estimador del coeficiente de variación: Deberían ser inferiores al 20%-25% para indicar que existe fiabilidad Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación directa Tasa de paro Resultados con mucha variabilidad Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación sintética Tasa de paro Los resultados se estabilizan Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimador compuesto (α=2) Tasa de paro Los resultados no son tan estables como en el sintético Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Situación. Año 2005 Número reducido de personas paradas en la muestra Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación directa Tasa de paro. Coeficientes de variación 2005 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación sintética Tasa de paro. Coeficientes de variación 2005 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimador compuesto (α=2) Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación directa Parados. Coeficientes de variación 2005 Los mayor parte de los estimadores tienen muy poca precisión Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación sintética Parados. Coeficientes de variación 2005 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimador compuesto (α=2) Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación directa Tasa de paro mujeres. Coeficientes de variación 2005 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Estimación sintética Tasa de paro mujeres. Coeficientes de variación 2005 Los CV del estimador sintético no tienen una relación directa con el tamaño de muestra Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Trabajos a realizar Encuesta de condiciones de vida (IGE) Variable OBJETIVO: ingreso medio mensual por hogar, ingreso equivalente del hogar Desagregación geográfica: 53 comarcas (NUTS IV) Información auxiliar a nivel de área: -Impuesto de la renta de las personas físicas: renta imponible, nº de declarantes, rendimiento medio, porcentaje de rendimientos procedentes del trabajo (AEAT) Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

INFORMACIÓN DISPONIBLE Informacion muestral: Encuesta de condiciones de vida de las familias (ECV). Informacion a nivel de individuo. Informacion auxiliar: Impuesto sobre la renta de las personas físicas (IRPF). Información a nivel de municipio. Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTIMADORES q Estimador basado en el diseño: Horvitz-Thompson Para un área d q Estimadores asistidos por el diseño: postestratificado sintético q. Estimadores compuestos Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTIMADORES q Estimadores basados en el modelo: Fay. Herriot Modelo de regresión lineal mixto para datos agregados Basado en el modelo Para un área d el estimador de Fay-Herriot es: Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Cálculo de los errores de muestreo • Fórmulas analíticas • Bootstrap Naive (estimador de HT) Se extraen B muestras con reemplazamiento a partir de la muestra original, utilizando el mismo diseño muestral Sea el estimador obtenido a partir de la b-ésima muestra bootstrap. Entonces el estimador de la varianza es: Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Cálculo de los errores de muestreo • Bootstrap paramétrico (Fay-Herriot) Para estimar el MSE del estimador de Fay-Herriot se aplicará un método Bootstrap paramétrico (González-Manteiga et al. 2008) 1. - Se construye un modelo Bootstrap a partir de los parámetros estimados con la muestra original 2. - A partir de este modelo se generan B vectores Bootstrap de los cuales se calcula el MSE Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTIMADORES Buscamos variables que tengan correlación con nuestra variable objetivo. De todas las variables auxiliares disponibles nos quedamos con: Rendi Medio: Rendimiento medio =Renta Imponible/Número Declarantes Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Generación de una población de 943991 hogares a partir de los datos de la muestra. Las variables generadas son: comarca: Comarca a la que pertenece el hogar. estrato: Estrato al que pertenece el hogar. ingreso: Ingreso mensual del hogar. pers hogar: Numero de miembros del hogar. ingreso equiv: Ingreso equivalente mensual del hogar. Procedemos a la simulación tomando 10000 muestras de la poblacion generada y analizamos los posibles estimadores Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Indicadores de evaluación Sesgo relativo en valor absoluto % Error cuadrático medio: MSE Raíz cuadrada del error cuadrático medio relativo % Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio mensual por hogar Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio mensual por hogar Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio mensual por hogar Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio equivalente por hogar Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio equivalente por hogar Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio equivalente por hogar Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN q. Para las comarcas con tamaño muestral grande (>100) los resultados son similares para todos los estimadores q. Para las comarcas con tamaño muestral pequeño el estimador de Fay-Herriot es el que mejor se aproxima a la variable objetivo q. Hay suficiente razón para incluir el estimador Fay-Herriot como competidor serio de los estimadores basados en el diseño. Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

RESULTADOS Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

RESULTADOS Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

RESULTADOS Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

RESULTADOS Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

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RESULTADOS q El estimador Fay-Herriot es el estimador con menor coeficiente de variación. q Hay poca diferencia entre la estimación analítica y la estimación por Bootstrap del error del estimador Fay-Herriot. q Es recomendable usar el estimador Fay-Herriot para este problema, sobre todo en las comarcas con poca muestra ( 48 hogares). Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Trabajos a realizar Encuesta industrial de empresas (INE) Variable objetivo: Importe neto de la cifra de negocios en las empresas de menos de 20 empleados Desagregación geográfica: 53 comarcas (NUTS IV) Información auxiliar a nivel de individuo: -Directorio de empresas: nº de empleados todos los establecimientos industriales gallegos -Encuesta: nº de empleados, importe neto de la cifra de negocios en el año anterior, horas trabajadas en el año, nº medio de personas ocupadas en el año anterior y nº de personas ocupadas. Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Trabajos a realizar Objetivo: Estimación del importe neto de la cifra de negocios del sector industrial en los establecimientos con menos de 20 personas ocupadas remuneradas en las comarcas gallegas. Informacion auxiliar. (Encuesta Industrial del INE(2005)). B 13=importe neto de la cifra de negocios B 10= ventas netas de productos B 141=importe neto de la cifra de negocios en el año anterior A 3=personas ocupadas remuneradas (Información poblacional) A 140=nº medio de personas ocupadas en el año anterior A 4= horas trabajadas en el año por el personal remunerado Población: los establecimientos industriales con menos de 20 personas ocupadas remuneradas. N = 9235 Muestra: m. a. s, de tamaño n = 1152 Áreas pequeñas: comarcas gallegas. Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTIMADORES Estimadores directos q Sin información auxiliar: Horvitz-Thompson q Con información auxiliar específica de las áreas pequeñas: estimador de regresión generalizado directo o estimador GREG Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTIMADORES Estimadores indirectos q Estimador sintético q. Estimadores compuestos Drew, Singh y Choudry (1982) Sarndal y Hidiroglou (1989) Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTIMADORES Estimadores EBLUP Basados en el modelo q Modelo tipo individuo sin información poblacional q. Modelo tipo individuo con información poblacional Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Cálculo de los errores de muestreo Fórmulas analíticas Jackknife Las muestras Jackknife se obtienen suprimiendo una unidad de la muestra original Sesgo Estimador obtenido de suprimir la unidad (j) de la muestra Pseudovalores Jackknife Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

Cálculo de los errores de muestreo Bootstrap: 2 tipos En todos los estimadores que empleen información poblacional de una variable auxiliar, se aplicará un método de remuestreo bootstrap en el que se construye una población artificial a partir de la cual se extraen muestras, González-Manteiga et al (2008) Cuando se usa solo información muestral se aplicará el bootstrap consistente en seleccionar B muestras aleatorias simples con reemplazamiento de la muestra original Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Generación de una población que se ajusta a un modelo tipo individuo con cuatro variables auxiliares (p=4) m=8 áreas con tamaños poblacionales Ni i=1, …, 8 Las 8 áreas tienen tamaños muestrales ni i=1, …, 8 (similares al problema real) Procedemos a la simulación tomando 1500 muestras de la población generada y analizamos los posibles estimadores Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Los estimadores basados en el modelo con información poblacional son los que tienen un mayor MSE Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN El estimador compuesto 3 sigue el comportamiento del sintético Los estimadores compuestos 1 y 4 siguen el comportamiento del GREG directo En los estimadores basados en modelos apenas hay diferencia en estimar las componentes de por ML o REML Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN cv_SINT es el cv real cv_SINT 1 y cv_SINT 2 usan estimadores analíticos cv_SINTJ y cv_SINTJS usan estimadores Jackknife cv_SINTB usan estimadores bootstrap Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Parece que el que mejor funciona es el bootstrap Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN Los estimadores Jackknife y la fórmula analítica de Prasad y Rao infraestiman el verdadero coeficiente de variación Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN El estimador del cv con fórmulas analíticas dá buenos resultados Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

ESTUDIO DE SIMULACIÓN q. Mal comportamiento de los estimadores basados en el modelo cuando se usa información poblacional de una única variable q. Los estimadores que mejor funcionan, en cuanto a que su MSE es bajo, son el estimador GREG, el estimador compuesto 2, el estimador sintético y por último los basados en el modelo q. Los estimadores analíticos del MSE no funcionan bien, es necesario emplear técnicas de remuestreo como el Jackknife o el Bootstrap q. Para el estimador sintético y el compuesto 2 los estimadores Jackknife y Bootstrap para la estimación del MSE funcionan mucho mejor que el analítico q. Para el estimador EBLUP los resultados obtenidos a partir del estimador Jackknife del MSE infraestiman el verdadero valor del coeficiente de variación (CV) Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

RESULTADOS Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

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RESULTADOS Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

RESULTADOS Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

RESULTADOS q. El estimador GREG es el estimador cuyos coeficientes de variación estimados son más altos, alcanzando unos valores muy elevados q. Con el estimador H-T se obtienen unos estimadores del cv bastante buenos q. El estimador sintético no es un buen estimador para este ejemplo q. Los cv más bajos corresponden al estimador basado en el modelo sin información poblacional. q. Hay que recordar que en la simulación los estimadores jackknife del MSE y la fórmula analítica de Prasad y Rao infraestimaban el coeficiente de variación teórico en los estimadores basados en modelos Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

FUTURO • Estimadores basados en modelos multinomiales mixtos • Estudio de modelos dinámicos – Inluyen el horizonte temporal Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

BIBLIOGRAFÍA Azula Lazkano, I. , Garrido Espinosa, P. y Olaeta Goiriena, H. Estimadores directos y asistidos por modelos. Estimación en Áreas Pequeñas. Una aplicación a la Encuesta Industrial de la Comunidad Autónoma de Euskadi, Eustat, Donostia. Cochran, W. G. (1987), Técnicas de muestreo. New York: Wiley. Datta, G. S. y Lahiri, P. (2000), A Unified Measure of Uncertainty of Estimated Best Linear Unbiased Predictors in Small Area Estimation Problems, Statistica Sinica, 10, 613 -627. EUSTAT. (2007). Cálculo de coeficientes de variación para diferentes estimadores directos e indirectos utilizados en las encuestas económicas de Eustat. EUSTAT. (2008). Estimación de áreas pequeñas en la Encuesta de Población en relación con la actividad de la C. A. de Euskadi. EUSTAT. www. eustat. es/documents/datos/CT%20 EAPRA%20 c. pdf Ghosh, M. y Rao, J. N. K. (1994), Small Area Estimation: An Appraisal, Statistical Science, 9, 55 -93. González-Manteiga W, Lombardía MJ, Molina I, Morales, D, Santamaría L (2008). Analytic and bootstrap approximations of prediction errors under a multivariate Fay-Herriot model. Computational Statistics and Data Analysis 52, 5242 -5252 González Manteiga W, Lombardía MJ, Molina I. , Morales D. , Santamaría L. (2008). Bootstrap mean squared error of a small-area EBLUP. Journal of Statistical Computation and Simulation Vol 78, nº 5, May 2008, 443 -462 Jiang, J. y Lahiri, P. (2006), Mixed Model Prediction and Small Area Estimation, Sociedad de Estadística e Investigación Operativa, 15, 1 -96. Militino, A. F. , Ugarte, M. D. y Goicoa, T. (2007). A EBLUP Synthetic Versus an EBLUP Estimator: An Empirical Study of a Small Area Estimation Problem. Journal of Apllied Statistics. 34, 153 -165. Rao, J. N. K. (2003), Small Area Estimation. New York: Wiley. S¨arndal, C. E. , Swensson, B. y Wretman, J. H. (1992), Model Assisted Survey Sampling, New York: Springer. Verlag. S¨arndal, C. E. y Hidiroglou, M. A. (1989), Small Domain Estimation: A Conditional Analysis, Journal of the American Statistical Association, 84, 266 -275. Curso sobre Finite estimación en pequeños dominios. 26 John de noviembre 2008 Valliant, R. , Dortman, A. H. y Royall R. M. (2000). Population Sampling and Inference. Madrid, New York: Wiley.

FIN MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN http: //www. ige. eu Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008