REAS Medidas de superficie reas Unidades de superficie

ÁREAS Ø Medidas de superficie. Áreas Ø Unidades de superficie Ø Área del cuadrado y del rectángulo Ø Área del paralelogramo Ø Área del triángulo Ø Área del trapecio Ø Área del cuadrilátero Ø Área de polígonos irregulares Ø Área de polígonos regulares Ø Área del prisma Ø Área de pirámides Ø Área del círculo Ø Área de la corona circular Ø Área del sector circular Ø Técnicas y estrategias. Resolución de problemas

ÁREAS 1. Medidas de superficie Para medir superficies se utilizan cuadrados que se toman como unidad. 1 cm 2 El rectángulo tiene 20 cm 2. El área del rectángulo es 20 cm 2. Cada cm 2 contiene 100 mm 2. El rectángulo tiene: 20 × 100 mm 2 = 2 000 mm 2 Para medir superficies más grandes se utilizan otros cuadrados como unidad. La superficie de una casa se mide en m 2. La superficie de un país se mide en km 2.

ÁREAS 2. Área de una superficie El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa. Estos dos figuras, aunque diferentes, están formadas por el mismo número de cuadrados: 10 cada una. La unidad de superficie que hemos empleado ha sido el cuadrado. Medir una superficie es hallar su área. Para ello se compara con otra superficie elegida como unidad, y se averigua el número de unidades que contiene.

ÁREAS 3. Unidades de superficie La unidad fundamental se superficie es el metro cuadrado (m 2). Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de un metro de lado. La niña esta sentada dentro de un metro cuadrado. Un decímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 dm de lado. Se escribe dm 2 Un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado. Se escribe cm 2 Un milímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 mm de lado. Se escribe mm 2 También pueden definirse el decámetro cuadrado (dam 2), el hectómetro cuadrado (hm 2) y el kilómetro cuadrado (km 2).

ÁREAS 4. Relaciones entre unidades de superficie 1 m 2 = (10 · 10 ) dm 2 = 100 dm 2 En general, una unidad de superficie es 100 veces mayor que la de orden inmediato inferior, y 100 veces menor que la del orden inmediato superior. 1 m = 10 dm Observa: 1 m 2 100 dm 2 10 · 10 = 100 Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema: 1 m = 10 dm De mayor a menor: x 100 km 2 x 100 hm 2 : 100 Se multiplica por 100 x 100 dam 2 : 100 De menor a mayor: x 100 m 2 : 100 x 100 dm 2 : 100 Se divide entre 100 x 100 cm 2 : 100 mm 2 : 100

ÁREAS 5. Unidades agrarias Son las unidades que utilizan agrónomos, agrimensores y agricultores. El área (a) es la superficie de un cuadrado de 10 m de lado. Un piso mediano tiene, aproximadamente, una superficie de un área. El hectárea (ha) equivale a 100 áreas. La superficie de un campo de fútbol es, aproximadamente, una hectárea. El centiárea (ca) es la unidad más pequeña: 1 área es igual a 100 ca La relación entre las unidades agrarias y las del SMD es: 1 ha = 10. 000 m 2 = 1 hm 2 Ejemplo: 1 a = 100 m 2 = 1 dam 2 8 ha = 800 a = 80. 000 ca = 800 dam 2 = 80. 000 m 2 1 ca = 1 m 2

6. Área del rectángulo y del cuadrada El largo del rectángulo de la figura es 8 cm, y el ancho es 4 cm. ¿Cuántos cm 2 tiene este rectángulo? Como cada cuadrado es 1 cm 2, en total habrá 8 · 4 = 32 cm 2. 4 cm ÁREAS 8 cm El número de centímetros cuadrados es el área del rectángulo. El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura: A = b · h A=b·h h b Como un cuadrado es un rectángulo con la altura igual que la base: El área de un cuadrado es igual al producto del lado por sí mismo. Es decir, es igual al lado cuadrado: A = l 2 l

ÁREAS 7. Área del rectángulo. Ejercicio resuelto Ejercicio 1. Calcula el área de la puerta. Exprésala en cm 2 y en m 2. Expresamos la base y la altura en la misma unidad: b = 72 cm 2, 05 m h = 2, 05 m = 205 cm A = 72 × 205 = 14760 El área es: 14760 cm 2 = 1, 4760 m 2 : 10000 72 cm Ejercicio 2. Halla el área de la siguiente figura. Las medidas están en cm. 4 Se transforma: 8 4 Con áreas: 3 4 4 × 8 = 32 4 × 4 = 16 En total: 32 + 16 + 12 = 60 cm 2 4 3 4 × 3 = 12 4

ÁREAS 8. Área del paralelogramo Recortamos un paralelogramo de cartulina y trazamos su altura. Altura h 90º h Base b b Cortamos siguiendo la altura y el triángulo lo desplazamos a la derecha. Obtenemos un rectángulo que tiene la misma base y la misma altura que el paralelogramo. Además, el área de ambas figuras es la misma, luego: El área de un paralelogramos es igual a la de un rectángulo que tiene su misma base y su misma altura: A = b × h Ejemplo: El área del paralelogramo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es: A = 7 × 2 = 14 cm 2 2 7

ÁREAS 9. Área del triángulo Recortamos dos triángulos iguales de cartulina y los hacemos coincidir. h b Obtenemos un paralelogramo. El área de cada triángulo es la mitad que la del paralelogramo. La base y la altura del triángulo son las mismas que las del paralelogramo. Luego: Ejemplo: El área del triángulo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es: A = 7 × 2 = 7 cm 2 2 2 7

ÁREAS 10. Área del trapecio Recortamos dos trapecios iguales y los unimos dándole la vuelta a uno de ellos. b h h 90º B B es la base mayor, b la base menor y h la altura. b B Se obtiene un paralelogramo de base (B + b) y de altura h. Su área es (B + b) × h. Como en el paralelogramo hay dos trapecios, el área del trapecio será la mitad que la del paralelogramo, luego:

ÁREAS 11. Área del trapecio. Ejercicio resuelto. Calcula el área de este trapecio. 0, 7 dm 5 cm 1, 22 dm El área del trapecio es 48 cm 2 B = 1, 22 dm = 12, 2 cm b = 0, 7 dm = 7 cm h = 5 cm

ÁREAS 12. Área de un cuadrilátero Para hallar el área de un cuadrilátero: T 2 28 mm 12 mm T 1 15 mm 1. Se descompone en dos triángulos. 30 mm 2. En cada caso, las áreas de los triángulos se hallarán aproximadamente, midiendo su base y altura. Para T 1: base, 30 mm; altura, 15 mm Para T 2: base, 28 mm; altura, 12 mm. El área del cuadrilátero es: 225 + 168 = 393 mm 2.

ÁREAS 13. Área de los polígonos no regulares Para hallar el área de un polígono se descompone en triángulos, uniendo un vértice con los demás. T 1 + T 2 + T 3 El área del polígono se obtiene sumando las áreas de los triángulos T 1, T 2 y T 3.

ÁREAS 14. Área de los polígonos regulares. El pentágono A partir de un pentágono regular podemos obtener un trapecio. El pentágono se descompone en 5 triángulos que forman un trapecio. b = l + l = 2·l a a l l l B = l + l = 3·l l El área de un pentágono regular es igual a la mitad de su perímetro multiplicado por la apotema del mismo.

ÁREAS 15. Área de los polígonos regulares El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos lados. Si el polígono es regular, el perímetro se calcula multiplicando la longitud de una lado por el número de lados. El hexágono se transforma en un paralelogramo de base la mitad del lado perímetro y de altura la apotema. a a l apotema l l l B=l+l+l lado El área de un polígono regular es igual a la de un paralelogramo cuya base es la mitad del perímetro del polígono y cuya altura es la apotema del mismo.

ÁREAS 16. Área de prismas Las caras laterales de este prisma son rectángulos, y las bases son hexágonos. Vamos a calcular su área lateral y su área total. Área lateral: C 1 C 1 = 4, 8 cm C 1 C´ 1 = 2, 7 cm A´ A Al = 4, 8 × 2, 7 = 12, 96 cm 2 Área de las base: Lado = 0, 8 cm Área total: Apotema = 0, 7 cm Perímetro: 0, 8 cm × 6 = 4, 8 cm Al + Ab = 12, 96 cm 2 + 3, 36 cm 2 = 16, 32 cm 2 Para calcular el área total del prisma se suma el área lateral al área de las bases.

ÁREAS 17. Área de pirámides Las caras laterales de una pirámide son triángulos, y la base un polígono. Vamos a calcular el área lateral y total de la pirámide de la figura. Área lateral: Es la de cinco triángulos iguales. Base = 1 cm Altura = 3, 1 cm base Al = 1, 55 cm 2 × 5 = 7, 75 cm 2 Área de las base: Perímetro: 1 cm × 5 = 5 cm Apotema = 0, 7 cm Área total: 0, 7 cm apotema Al + Ab = 7, 75 cm 2 + 1, 75 cm 2 = 9, 5 cm 2 Para calcular el área total de la pirámide se suma al área lateral el área de la base.

ÁREAS 18. Área de un círculo Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la figura: r Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura de la derecha se aproxima a un paralelogramo de base la mitad de la longitud de la circunferencia ( ) y de altura el radio r. Luego: Ejercicio: El diámetro de un disco es 30 cm. Calcula su área. Si el diámetro vale 30, el radio será 15 cm. Luego: A = 3, 14 · 152 = 3, 14 · 225 = 706, 5 cm 2 15 30

ÁREAS 19. Área de la corona circular Si de un círculo con centro O y radio R recortamos otro círculo más pequeño de radio r y con el mismo centro, se obtiene una figura que se llama corona circular. r O El área de la corona circular es igual a la diferencia del área del círculo mayor y del círculo menor: Ejemplo: El área de la corona circular de la figura adjunta es: A = 3, 14 ·(1, 62 – 1, 22) = 3, 14 · 1, 12 = 3, 52 cm 2 , O 1 1, 6 cm R

ÁREAS 20. Área del sector circular El área del sector circular depende de su ángulo. Sector circular de de n grados: nº Sector circular completo: 360º Su área se calcula haciendo una regla de tres: Si a 360º le corresponde a nº le corresponderá x Ejemplo: El área del sector circular de la figura adjunta será:

ÁREAS 21. Técnicas y estrategias (I) (I Para hallar un área cualquiera: EL MÉTODO DE APROXIMACIÓN ¿Cómo averiguar el área de esta figura de contorno curvo? Pon encima de la figura un papel vegetal cuadriculado (en cm 2). Calca el contorno de la figura. Si más de la mitad de un cuadrado queda cubierto, marca un punto. 1 cm 2 Si queda cubierto menos de la mitad no marques un punto. Cuenta el número de puntos marcados. Son 19. Este número te da el área aproximada de la figura: 19 cm 2.

ÁREAS 22. 22 Técnicas y estrategias (II) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE APROXIMACIÓN ¿Y si la figura es un mapa? Aquí tienes un mapa de Extremadura dibujado a escala 1 : 4 000. 1 cm del mapa son 4 000 cm en la realidad. Esto es, 40 km en la realidad. Por tanto, 1 cm 2 del mapa representa: (40 × 40) km 2 = 1 600 km 2 Ahora ponemos por encima del mapa el papel vegetal, calcamos, marcamos los puntos y los contamos. Son 25. La superficie aproximada de Extremadura será 1 600 × 25 = 40 000 km 2 (El valor oficial es 41 602 km 2)

ÁREAS 23. Resolución de problemas Problema: Calcula la superficie del hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. Primero: Hacer un dibujo para comprender El lado del hexágono regular es igual al radio de la circunferencia. El hexágono se descompone en 6 triángulos. La apotema cae en la mitad del lado. Es pues, un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y el otro cateto de 4 cm. Segundo: Hacer cálculos Por Pitágoras: 82 = a 2 + 42 a 2 = 64 – 16 = 48 Por otra parte, el perímetro del hexágono es 6 · 8 = 48 cm Tercero: Elegir y aplicar las fórmulas Como es un polígono regular, su área es: 8 cm O a 4 4