ANALISI DEI GRUPPI I La Cluster analysis uno

ANALISI DEI GRUPPI I

La Cluster analysis è uno strumento di classificazione capace di scomporre una realtà complessa di osservazioni plurime in tipologie specifiche.

Impieghi della Cluster Analysis segmentazione del mercato analisi della concorrenza

La Cluster Analysisè una tecnica di tipo esplorativo e pertanto, a differenza di quanto si verifica con altre tecniche statistiche multivariate, non è necessaria alcuna assunzione a priori sulle tipologie fondamentali esistenti nell'insieme delle unità esaminate

Punto di partenza di ogni applicazione di Cluster Analysis è la disponibilità di un collettivo statistico (anche campionario) di n elementi, ciascuno rappresentato da p variabili

La matrice dei dati X= x 11 x 12 … x 1 p x 21 x 22 … x 2 p . . . … . . . xn 1 xn 2 … xnp

Ad ogni unità statistica è associato un vettore di p osservazioni, i cui valori sono configurabili come coordinate dell'unità considerata in uno spazio a p dimensioni.

Fasi del processo di segmentazione

selezione degli elementi del collettivo scelta delle variabili ed eventuale trasformazione scelta del criterio di valutazione della dissomiglianza scelta dell'algoritmo di raggruppamento determinazione del numero di gruppi

Scale di misurazione delle variabili: nominale ordinale ad intervallo a rapporti

Contributo informativo delle variabili

variabili quantitative: coefficiente di correlazione di Bravais- Pearson variabili qualitative: correlazione tra ranghi di Spearman o coefficiente di cograduazione di Gini variabili miste: coefficiente di cograduazione di Gini, previa sostituzione dei valori delle variabili quantitative con i rispettivi ranghi

Trattamento preliminare delle variabili

Ricondurre tutti i caratteri alla stessa scala, ovvero a quella contraddistinta dai minori requisiti La scelta delle variabili di input condiziona anche la necessità di una loro eventuale standardizzazione: è infatti opportuno che le variabili siano rese indipendenti dal loro ordine di grandezza

Standardizzazione (variabili quantitative)

zi x dove zi è il valore della variabile standardizzata per l'unità i-ma, xi è il valore originario della variabile per l'unità i-ma, è la media aritmetica del carattere x è lo scarto quadratico medio

Coefficienti di associazione misurano la somiglianza tra unità quando i caratteri sono espressi su scala nominale binaria. Quando i caratteri hanno più modalità si ricorre alla codifica disgiuntiva completa

Tabella tetracorica individuo j individuo i 1 0 1 a b 0 c d

Misure di associazione: A coefficiente di Jaccard Js B ij a a b c coefficiente di Dice Ds 2 a ij 2 a b c

Quando i caratteri sono sia qualitativi che quantitativi si ricorre al coefficiente di Gower: p G s ij Πwkskij k=1 p Πk=1 wk

dove skij è un indicatore di somiglianza tra le unità i e j rispetto alla variabile k che vale uno se l variabile è di tipo nominale o ordinale e vi è concomitanza di presenza o assenza per i e j zero se la variabile è di tipo nominale o ordinale e non vi è concomitanza di presenza o assenza per i e j

1 xik xjk Rk con Rk che è il campo di variazione della variabile k wk è un peso arbitrario

Esempio di calcolo dei coefficienti di associazione Variabili 1 2 3 4 5 Unità i 1 0 0 1 1 Unità j 1 1 0

Tabella tetracorica individuo j individuo i 1 0 1 2 1 0 1 1

Coefficiente di Jaccard = 1/2 Coefficiente di Dice = 2/3 Coefficiente di associazione semplice = 3/5

Per i dati di tipo quantitativo si ricorre alle distanze

Una distanza possiede le seguenti proprietà: identità dii = 0 simmetria dij = dji non negatività dij ≥ = 0 disuguaglianza triangolare dil + dlj ≤ = dij

Distanza di Minkowski p rd ij r 1/r xik - xjk k=1 Per r = 2 si ha la distanza euclidea p 2 d ij k=1 2 xik - xjk 1/r

Distanza di Mahalanobis p dij p 1/2 shk (xik - xjk) (xih - xjh) k=1 h=1 in cui shk indica il generico elemento della matrice inversa delle varianzecovarianze tra le p variabili