ANALISI DEI GRUPPI I La Cluster analysis uno

ANALISI DEI GRUPPI I

La Cluster analysisè uno strumento di classificazione capace di scomporre una realtà complessa di osservazioni plurime in tipologie specifiche.

Impieghi della. Cluster Analysis Ü segmentazione del mercato Ü analisi della concorrenza

La Cluster Analysisèuna tecnica di tipo esplorativo e pertanto, a differenza di quanto si verifica con altre tecniche statistiche multivariate, non è necessaria alcuna assunzione a priori sulle tipologie fondamentali esistenti nell'insieme delle unità esaminate

Punto di partenza di ogni applicazione di. Cluster Analysis è la disponibilità di un collettivo statistico (anche campionario) di n elementi, ciascuno rappresentato dap variabili

La matrice dei dati X= x 11 x 12 … x 1 p x 21 x 22 … x 2 p . . . … xn 1 xn 2 … . . . xnp

Ad ogni unità statistica è associato un vettore di p osservazioni, i cui valori sono configurabili come coordinate dell'unità considerata in uno spazio ap dimensioni.

Fasi del processo di segmentazione

è selezione degli elementi del collettivo è scelta delle variabili ed eventuale trasformazione è scelta del criterio di valutazione della dissomiglianza è scelta dell'algoritmo di raggruppamento è determinazione del numero di gruppi

Scale di misurazione delle variabili: è nominale è ordinale è ad intervallo è a rapporti

Contributo informativo delle variabili

è variabili quantitative : coefficiente di correlazione di Bravais- Pearson è variabili qualitative : correlazione tra ranghi di Spearman o coefficiente di cograduazione di Gini è variabili miste : coefficiente di cograduazione di Gini, previa sostituzione dei valori delle variabili quantitative con i rispettivi ranghi

Trattamento preliminare delle variabili

Ricondurre tutti i caratteri alla stessa scala, ovvero a quella contraddistinta dai minori requisiti La scelta delle variabili di input condiziona anche la necessità di una loro eventuale standardizzazione: è infatti opportuno che le variabili siano rese indipendenti dal loro ordine di grandezza

Standardizzazione (variabili quantitative)

zi = xi - m sx dove zi è il valore della variabile standardizzata per l'unità i-ma, xi è il valore originario della variabile per l'unitài-ma, m è la media aritmetica del carattere sx è lo scarto quadratico medio

Coefficienti di associazione misurano la somiglianza tra unità quando i caratteri sono espressi su scala nominale binaria. Quando i caratteri hanno più modalità si ricorre alla codifica disgiuntiva completa

Tabella tetracorica individuoj individuoi 1 0 1 a b 0 c d

Misure di associazione: A coefficiente di Jaccard Js B ij a = a+b+c coefficiente di Dice Ds ij 2 a = 2 a + b + c

Quando i caratteri sono sia qualitativi che quantitativi si ricorre al coefficiente di Gower: p G s ij = Πwkskij k=1 p Πk=1 wk

dove skij è un indicatore di somiglianza tra le unitài e j rispetto alla variabile k che vale uno se l variabile è di tipo nominale o ordinale e vi è concomitanza di presenza o assenza per iej zero se la variabile è di tipo nominale o ordinale e non vi è concomitanza di presenza o assenza per iej

1 - xik - xjk Rk con Rk che è il campo di variazione della variabile k wk è un peso arbitrario

Esempio di calcolo dei coefficienti di associazione Variabili 1 2 3 4 5 Unità i 1 0 0 1 1 Unità j 1 1 0

Tabella tetracorica individuoj individuoi 1 0 1 2 1 0 1 1

Coefficiente di Jaccard = 1/2 Coefficiente di Dice =2/3 Coefficiente di associazione semplice =3/5

Per i dati di tipo quantitativosi ricorre alle distanze

Una distanza possiede le seguenti proprietà: identità simmetria non negatività dii = 0 dij = dji dij ≥ = 0 disuguaglianza triangolare dil + dlj ≤ = dij

Distanza di Minkowski p rd ij = r 1/r xik - xjk k=1 Per r = 2 si ha la distanza euclidea p 2 d ij = k=1 2 xik - xjk 1/r

Distanza di Mahalanobis p dij = p 1/2 shk (xik - xjk) (xih - xjh) k=1 h=1 in cui shk indica il generico elemento della matrice inversa delle varianzecovarianze tra lep variabili