Universitatea Tehnica Gh Asachi Iasi Facultatea de Electronica

In analiza nodala, variabilele sunt tensiunile din noduri Potentiale din noduri v 1, v

Ecuatiile KVL sunt satisfacute automat v 1 + V 1_ Y 1 Is 1

Un nod are potential zero Y 3 v 1 Is 1 _ + Y

Ecuatiile KVL sunt scrise cu tensiunile nodale Y 3 _ v 1 Is 1

Ecuatiile sunt aranjate in matrice Y 3 v 1 _ I 1 + Y

Sunt n ecuatii pentru un circuit cu n+1 noduri O forma generala a unei

Sunt trei regului pt determinarea matricii de admitante si a vectorului de surse Elemente

Un exemplu simplu v 1 10 v 2 1 0 10 3 A 9

Exemplu numeric v 1 10 v 2 10 3 A 9 A v 3

Problema tipica de analiza nodala v 2 i 4 Y 4 Is 3 Se

Exemplu numeric v 2 i 4 5 A Se scrie matricea si se rezolva

Se verifca corectitudinea analizei folisind ecuatiile KCL in toate nodurile v 2 i 4

Analiza nodala este pentru circuite cu surse de curent in paralel cu admitante Sunt

O sursa de curent in serie cu o admitanta este usor introdusa in analiza

Dupa ce problema este rezolvata (va, vb, sunt calculate), putem usor determina Vx. Is

O sursa de tensiune in serie cu o admitanta poate fi transformata intr-o sursa

O sursa de tensiune conectata direct intre 2 noduri complica analiza nodala v 2

Pas 1: se defineste ix pentru sursa de tensiune v 2 Y 4 Is

Se determina matricea de ecuatii v 2 Y 4 Is 3 v 1 Is

Se elimina ix din matrice é Y 1 ê 0 ê ê- Y 1

Vom avea 3 ecuatii noi cu 4 necunoscute é Y 1 ê 0 ê

Potentialele v 2 si v 4 sunt dependente una de alta v 2 Y

Se elimina v 4 din ecuatii Y 1 v 1 - Y 1 v

Acum avem trei ecuatii cu trei necunoscute Y 1 v 1 - Y 1

In analiza nodala , variabilele sunt potentiale de noduri Y 3 v 1 Potentiale

Ecuatiile KVL sunt scrise cu tensiunile nodale Y 3 _ v 1 I 1

Sunt n ecuatii pentru circuitul cu n+1 noduri O forma generala a unei matrici

Sunt trei regului pt determinarea matricii de admitante si a vectorului de surse •

Un exemplu numeric v 2 v 1 10 3 A 9 A v 3

Exemplu 96 V 10 8 A 20 72 A 12 60 12 i Norton

Solutia problemei potentialului in nod v 1 10 v 2 72 A 20 60

Pasul 2: Se determina matricea de ecuatii v 2 Y 4 Is 3 v

Pasul 3: Se elimina ix din matrice é Y 1 ê ê 0 ê-

Potentialele v 2 si v 4 sunt dependente una de alta v 2 Vs

Avem 3 ecuatii cu 3 necunoscute é Y 1 ê ê 0 ê- Y

Ecuatiile pot fi scrise intr-o forma mai eleganta Y 1 v 1 - Y

Se definesc potentialele din noduri si curentii , prin sursele de tensiune 2 A

Scriem matricea de ecuatii 2 A 2 3 V v 1 3 Ix v

Slides: 59

Download presentation

Universitatea Tehnica “Gh. Asachi” Iasi Facultatea de Electronica si Telecomunicatii Iasi PROIECT FINAL MODUL PEDAGOGIC Indrumator: conf. dr. ing. Adrian A. Adascalitei Student: ISPIR MIHAI Grupa: 5403

TEOREMA TENSIUNILOR NODALE

In analiza nodala, variabilele sunt tensiunile din noduri Potentiale din noduri v 1, v 2, v 3 v 1 + Y 1 _ Is 2 v 3 • Ecuatiile KVL sunt satisfacute automat • Ecuatiile KVL sunt scrise cu tensiunile nodale • Un nod arbitrar este 0 (nod de referinta) Y 3 v 2 + + _ Y 2 Is 3

Ecuatiile KVL sunt satisfacute automat v 1 + V 1_ Y 1 Is 1 _ V 3 + v 2 Y 3 + Is 2 Y 2 V 2 _ v 3 V 1 = v 1 - v 3 KVL: -V 1 V 2 = v 2 - v 3 - V 3 + V 2 = 0 - (v 1 - v 3 ) - (v 2 - v 1) + (v 2 - v 3) = 0 V 3 = v 2 – v 1 → Is 3

Un nod are potential zero Y 3 v 1 Is 1 _ + Y 1 _ Is 2 v 2 + + _ Y 2 Is 3 v 3 = 0 De obicei, nodul cu cele mai multe conexiuni este pus in 0.

Ecuatiile KVL sunt scrise cu tensiunile nodale Y 3 _ v 1 Is 1 + Y 1 _ Is 2 I 3 v 2 + + I 2 _ Y 2 Is 3 v 3 = 0 § KCL: - I 1 + I 3 = Is 1 - Is 2 -v 1 Y 1 Y 3 = Is 1 - Is 2+ (v 2 -v 1) § KCL: I 2 + I 3 = Is 3 v 2 Y 2 + (v 2 -v 1)Y 3 = Is 3

Ecuatiile sunt aranjate in matrice Y 3 v 1 _ I 1 + Y 1 _ Is 1 Is 2 I 3 v 2 + + _ I 2 Y 2 Is 3 v 1 (Y 1 +Y 3) - v 2 Y 3 = Is 2 - Is 1 - v 1 Y 3 + v 2 (Y 2 + Y 3) = Is 3 æY 1 +Y 3 -Y 3 öæ v 1 ö æIs 2 -Is 1ö ç ÷ç ÷ = ç ÷ è -Y 3 Y 2 +Y 3øè v 2 ø è Is 3 ø

Sunt n ecuatii pentru un circuit cu n+1 noduri O forma generala a unei matrici pt un circ cu n+1 noduri éY 11 Y 12 êY Y ê 21 22 ê ê ëYn 1 Yn 2 Y 1 nù Y 2 núú ú ú Ynnû éI (1)ù é v 1ù ê s(2)ú êv ú ê 2ú = êI s ú ê ú ê ú ëvnû ëI (n) s û

Sunt trei regului pt determinarea matricii de admitante si a vectorului de surse Elemente diagonale = suma adimitanelor conectate la un anumit nod. Elemente din afara diagonalei = -(suma adimtanelor dintre perechi de noduri). Vectorul surselor de curent = suma surselor ce intra si ies din nod.

Un exemplu simplu v 1 10 v 2 1 0 10 3 A 9 A v 3 = 0

Ecuatiile KCL R 2 v 1 R 1 Is 2 v 3 = 0 v 1/R 1 +(v 1 -v 2)/R 2 = Is 1 (v 2 -v 1)/R 2+ v 2/R 1 = Is 2 v 2 R 3

Exemplu numeric v 1 10 v 2 10 3 A 9 A v 3 = 0 Volts

Problema tipica de analiza nodala v 2 i 4 Y 4 Is 3 Se scrie matricea si se rezolva pentru i 4: i 4 = (v 2 - v 3) Y 4 v 1 Is 1 Y 1 v 3 Y 3 v 5 = 0 Is 4 Y 2 v 4 Is 2

Exemplu numeric v 2 i 4 5 A Se scrie matricea si se rezolva pentru i 4 v 1 i 1 v 3 4 4 3 A Ecuatia: æ 0. 25 0 -0. 25 0 ö ç ÷ 0. 25 - 0. 25 0 ÷ ç 0 ç - 0. 25 1 - 0. 25÷ ç ÷ è 0 0 - 0. 25 ø M 5 A 4 i 2 3 A 4 i 3 v 5 = 0 æ v 1 ö ç ÷ ç v 2 ÷ ç v 3 ÷ = ç ÷ è v 4 ø X v 4 æ - 2ö ç ÷ ç 10÷ ç ÷ è - 2ø A

Solutia: æ v 1 ö æ 16ö ç ÷ ç v 2 ÷ ç 64÷ ç v 3 ÷ = ç 24÷ ç ÷ è v 4 ø è 16ø i 1 = -2 A v 2 i 4 5 A v 1 3 A 4 v 3 4 4 i 3 v 5 = 0 i 2 = -2 A i 1 4 i 2 i 3 = -6 A 5 A v 4 3 A

Se verifca corectitudinea analizei folisind ecuatiile KCL in toate nodurile v 2 i 4 -5 + 3 - i 1 = -5 + 3 - (-2) = 0 5 - i 4 + 5 = 5 - (10) + 5 = 0 -5 - i 2 + 3 = -5 - (-2) + 3 = 0 -i 1 + i 4 + i 2 + i 3 = =(-2) + 10 + (-2) + (-6)=0 5 A v 1 5 A 4 i 1 i 2 v 3 4 3 A 4 i 3 v 5 = 0 4 v 4 3 A

Analiza nodala este pentru circuite cu surse de curent in paralel cu admitante Sunt trei cazuri pentru care analiza nodala este mai complicata: q Sursele de curent sunt in paralel cu admitantele q Sursele de tensiune sunt in serie cu admitantele q Sursele de tensiune sunt direct intre 2 noduri

O sursa de curent in serie cu o admitanta este usor introdusa in analiza nodala va Y Vy Aceasta componenta nu are efect asupra restului circuitului + Is _ vb Vx Se elimina y din circuit pentru analiza nodala

Dupa ce problema este rezolvata (va, vb, sunt calculate), putem usor determina Vx. Is Vy = Y va - vb = Vx + Vy + Is _ vb Vx Vx = va - vb - s Y

O sursa de tensiune in serie cu o admitanta poate fi transformata intr-o sursa de curent neideala(reala) va Y Y Vs Is = V s. Y vb vb Sursa de curent neideala poate fi folosita direct in analiza nodala

O sursa de tensiune conectata direct intre 2 noduri complica analiza nodala v 2 Se defineste ix si se presupune ca fiind un curent cunoscut Y 4 Is 3 v 1 Is 1 Y 1 v 3 Y 2 Y 3 v 5 = 0 Vs v 4 Se determina matricile pentru analiza nodala , folosind unde este necesar ix. Is 2 Se elimina ix si unul din nodurile de tensiune

Pas 1: se defineste ix pentru sursa de tensiune v 2 Y 4 Is 3 v 1 Is 1 ix Y 1 v 3 Y 2 Y 3 v 5 = 0 Vs v 4 Is 2

Se determina matricea de ecuatii v 2 Y 4 Is 3 v 1 Is 1 Y 1 v 3 Y 3 Vs Y 2 v 4 Is 2 v 5 = 0 é Y 1 0 ê Y 4 ê 0 ê- Y 1 - Y 4 ê 0 ë 0 - Y 1 - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 - Y 2 0 ù ú 0 ú - Y 2 ú ú Y 2 û é v 1 ù éI s 1 - I s 3 ù ê ú êv 2 ú = êI s 3 + ix ú ê v 3 ú ê 0 ú ê ú ëv 4 û ë I s 2 - ix û

Se elimina ix din matrice é Y 1 ê 0 ê ê- Y 1 ê ë 0 0 Y 4 - Y 4 0 - Y 1 - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 - Y 2 0 ù 0 úú - Y 2 ú ú Y 2 û é v 1 ù éI s 1 - I s 3 ù êv ú êI + i ú ê 2 ú = ê s 3 x ú ê v 3 ú ê 0 ú ê ú ëv 4 û ë I s 2 - ix û Se aduna a patra linie la a doua pentru a elimina ix din matrice é Y 1 ê ê 0 ê- Y 1 ê ë 0 - Y 1 Y 4 - (Y 2 + Y 4 ) - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 0ù ú Y 2 ú ú û é v 1 ù é I s 1 - I s 3 ù ê ú v I I ê 2 ú = ê s 3 s 2 ú ê v 3 ú ê 0 ú ê ú ëv 4 û ë û

Vom avea 3 ecuatii noi cu 4 necunoscute é Y 1 ê 0 ê ê- Y 1 ê ë 0 Y 4 - Y 1 - (Y 2 + Y 4 ) Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 0ù Y 2 úú Y 2 ú ú û é v 1 ù é I s 1 - I s 3 ù êv ú êI - I ú ê 2 ú = ê s 3 s 2 ú ê v 3 ú ê 0 ú ú ê v ë 4û ë û Ecuatiile scrise in afara sistemului: Y 1 v 1 - Y 1 v 3 = Is 1 - Is 3 + Y 4 v 2 - (Y 2 + Y 4)v 3 + Y 2 v 4 = Is 3 - Is 2 - Y 4 v 2 + (Y 1+Y 2+Y 3+Y 4)v 3 + = 0 Y 2 v 4

Potentialele v 2 si v 4 sunt dependente una de alta v 2 Y 4 Is 3 Vs = v 2 - v 4 sau v 4 = v 2 - Vs v 1 Y 1 Is 1 v 3 Y 2 Y 3 Vs v 4 Is 2 v 5 = 0 é Y 1 ê ê 0 ê- Y 1 ê ë 0 Y 4 - Y 1 - (Y 2 + Y 4 ) Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 0ù ú Y 2 ú ú û é v 1 ù é I s 1 - I s 3 ù êv ú ê 2 ú = êI s 3 - I s 2 ú ê v 3 ú ê 0 ú ê ú ëv 2 û ë û

Se elimina v 4 din ecuatii Y 1 v 1 - Y 1 v 3 + Y 4 v 2 - (Y 2 + Y 4)v 3 = Is 1 - Is 3 + Y 2 (v 2 -Vs) - Y 1 v 1 - Y 4 v 2 + (Y 1+Y 2+Y 3+Y 4)v 3 + Y 2 (v 2 -Vs) = Is 3 - Is 2 = 0

Acum avem trei ecuatii cu trei necunoscute Y 1 v 1 - Y 1 v 3 + (Y 4+Y 2)v 2 - (Y 2 + Y 4)v 3 = Is 1 - Is 3 - Y 2 V s - Y 1 v 1 - (Y 4+Y 2)v 2 + (Y 1+Y 2+Y 3+Y 4)v 3 - Y 2 Vs = Is 3 - Is 2 = 0

In analiza nodala , variabilele sunt potentiale de noduri Y 3 v 1 Potentiale din noduri v 1, v 2, v 3 _ + Y 1 _ Is 1 Is 2 v 3 • Ecuatiile KVL sunt satisfacute automat • Ecuatiile KVL sunt scrise cu tensiunile nodale • Un nod arbitrar este 0 (nod de referinta) v 2 + + _ Y 2 Is 3

Un nod are potential zero Y 3 v 1 Is 1 _ + Y 1 _ Is 2 v 2 + + _ Y 2 De obicei, nodul cu cele mai multe conexiuni este pus in 0. Is 3

Ecuatiile KVL sunt scrise cu tensiunile nodale Y 3 _ v 1 I 1 + Y 1 _ Is 1 Is 2 I 3 v 2 + + I 2 _ Y 2 v 3 KCL: - I 1 + I 3 = Is 1 - Is 2 v 1 Y 1 Y 3 = Is 1 - Is 2+ (v 2 -v 1) KCL: I 2 + I 3 = Is 3 v 2 Y 2 + (v 2 -v 1)Y 3 = Is 3

Sunt n ecuatii pentru circuitul cu n+1 noduri O forma generala a unei matrici pt un circ cu n+1 noduri éY Y ê 11 12 êY 21 Y 22 ê ê ëYn 1 Yn 2 Y ù 1 nú Y ú 2 n ú ú Y û nn éI (1)ù év ù ês ú ê 1ú êv 2ú = êI (2) s ú ê ú ê ú ëvnû ëI (n) s û

Sunt trei regului pt determinarea matricii de admitante si a vectorului de surse • Elemente diagonale = suma adimitanelor conectate la un anumit nod. • Elemente din afara diagonalei = -(suma adimtanelor dintre perechi de noduri). • Vectorul surselor de curent = suma surselor ce intra si ies din nod.

Un exemplu v 1 R 2 Is 1 Is 2 v 3 = 0 v 2 R 3

Ecuatiile KCL R 2 v 1 R 1 Is 2 v 3 = 0 v 1/R 1 +(v 1 -v 2)/R 2 = Is 1 (v 2 -v 1)/R 2+ v 2/R 1 = Is 2 v 2 R 3

Un exemplu numeric v 2 v 1 10 3 A 9 A v 3 = 0 Volts

Se determina matricea de ecuatii v 2 Y 4 Is 3 v 1 Is 1 é Y 1 0 ê Y 4 ê 0 ê- Y 1 - Y 4 ê 0 ë 0 Y 1 Vs v 3 Y 2 Y 3 v 5 = 0 - Y 1 - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 - Y 2 0 ù ú 0 ú - Y 2 ú ú Y 2 û v 4 Is 2 é v 1 ù éI s 1 - I s 3 ù ê ú êv 2 ú = êI s 3 + ix ú ê 0 ú ê v 3 ú ê ú ëv 4 û ë I s 2 - ix û

O sursa de curent in serie cu o admitanta este usor introdusa in analiza nodala Y Vy Aceasta componenta nu are efect asupra restului circuitului + Is _ Vx vb Se elimina y din circuit pentru analiza nodala

Dupa ce problema este rezolvata (va, vb, sunt calculate), putem usor determina Vx. Is Vy = Y va - vb = Vx + Vy + Is _ vb Vx Vx = va - vb - s Y

Exemplu v 1 10 v 2 5 9 A 3 A v 3 = 0 10

Solutie 10 0 9 A + Vx 1 5 - 3 A v 3 = 0 15 V + + Vx 2 - 10 Vx 1 = v 1 = 70 Volts Vx 2 = v 2 + 15 V = 65 Volts

O sursa de tensiune in serie cu o admitanta poate fi transformata intr-o sursa de curent neideala (reala) va Y Y Vs Is = V s. Y vb vb Sursa de curent neideala poate fi folosita direct in analiza nodala

Exemplu 96 V 10 8 A 20 72 A 12 60 12 i Norton equivalent Norton echivalen 10 72 A 20 60 8 A i 12

Solutia problemei potentialului in nod v 1 10 v 2 72 A 20 60 8 A 12 i v 3 = 0 Volts i = -300 V / 60 = - 5 A

Pas 1: se defineste ix pentru sursa de tensiune v 2 Y 4 Is 3 v 1 Is 1 ix Y 1 v 3 Y 2 Y 3 v 5 = 0 Vs v 4 Is 2

Pasul 2: Se determina matricea de ecuatii v 2 Y 4 Is 3 v 1 Is 1 Y 1 v 3 Y 3 Vs Y 2 v 4 Is 2 v 5 = 0 é Y 1 0 ê Y 4 ê 0 ê- Y 1 - Y 4 ê 0 ë 0 - Y 1 - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 - Y 2 0 ù ú 0 ú - Y 2 ú ú Y 2 û é v 1 ù éI s 1 - I s 3 ù ê ú êv 2 ú = êI s 3 + ix ú ê v 3 ú ê 0 ú ê ú ëv 4 û ë I s 2 - ix û

Pasul 3: Se elimina ix din matrice é Y 1 ê ê 0 ê- Y 1 ê ë 0 0 Y 4 - Y 4 0 - Y 1 - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 - Y 2 0 ù ú 0 ú - Y 2 ú ú Y 2 û é v 1 ù éI s 1 - I s 3 ù ê ú I + v i ê 2 ú = ê s 3 x ú ê v 3 ú ê 0 ú ê ú ëv 4 û ë I s 2 - ix û Se aduna a patra linie la a doua pentru a elimina ix din matrice é Y 1 ê ê 0 êë- Y 1 0 - Y 1 Y 4 - (Y 2 + Y 4 ) - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 0ù ú Y 2 ú û é v 1 ù é I s 1 - I s 3 ù ê ú v I I ê 2 ú = ê s 3 s 2 ú ê v 3 ú ê 0 ú ë û ê ú ëv 4 û

Potentialele v 2 si v 4 sunt dependente una de alta v 2 Vs = v 2 - v 4 sau v 4 = v 2 - Vs Y 4 Is 3 v 1 Y 1 Is 1 Vs v 3 Y 2 Y 3 v 4 v 5 = 0 é Y 1 ê ê 0 ê- Y 1 ë 0 Y 4 - Y 1 - (Y 2 + Y 4 ) Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 0ù ú Y 2 úû é v 1 ù êv ú ê 2 ú= ê v 3 ú êv -V ú ë 2 sû é I s 1 - I s 3 ù ê ú êI s 3 - I s 2 ú ê 0 ú ë û Is 2

Avem 3 ecuatii cu 3 necunoscute é Y 1 ê ê 0 ê- Y 1 ë 0 - Y 1 Y 4 - (Y 2 + Y 4 ) - Y 4 Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 0ù ú Y 2 úû Aici avem ecuatiile: Y 1 v 1 - Y 1 v 3 + Y 4 v 2 - (Y 2 + Y 4)v 3 - Y 1 v 1 é v 1 ù ê ú êv 2 ú = ê v 3 ú ê ú ëv 2 -Vsû é I s 1 - I s 3 ù ê ú êI s 3 - I s 2 ú ê 0 ú ë û = Is 1 - Is 3 + Y 2 (v 2 -Vs) = Is 3 - Is 2 - Y 4 v 2 + (Y 1+Y 2+Y 3+Y 4)v 3 + Y 2 (v 2 -Vs) = 0

Ecuatiile pot fi scrise intr-o forma mai eleganta Y 1 v 1 - Y 1 v 3 + (Y 4+Y 2)v 2 - (Y 2 + Y 4)v 3 = Is 1 - Is 3 - Y 2 V s - Y 1 v 1 - (Y 4+Y 2)v 2 + (Y 1+Y 2+Y 3+Y 4)v 3 - Y 2 Vs éY ê 1 ê 0 êë - Y 1 (Y 4+Y 2) -(Y 4+Y 2) ù - Y 1 ú - (Y 2 + Y 4) ú (Y 1+Y 2+Y 3+Y 4)ú û = Is 3 - Is 2 = 0 ù éIs 1 - Is 3 é v 1 ù ú ê êv ú ê 2 ú = êIs 3 - Is 2 + Y 2 Vsú ú êë Y 2 Vs êë v 3 ú û û

Alt exemplu 4 V 2 3 V 2 A 2 3 3 V 3 1 3 3 A i =? 3 1 3 A 3 3

Se definesc potentialele din noduri si curentii , prin sursele de tensiune 2 A 2 3 V v 1 v 3 3 v 2 Ix 3 1 v 4=0 3 A 3

Scriem matricea de ecuatii 2 A 2 3 V v 1 3 Ix v 2 3 1 v 4=0 v 3 3 A 3

Se elimina Ix adunam eliminam

Se elimina o ecuatie eliminate

Noile ecuatii 2 A 2 v 1 - v 2 = 3 3 V v 1 3 Ix v 2 3 1 v 4=0 v 3 3 A 3