RUANG HASIL KALI DALAM Chandra Novtiar S Si

RUANG HASIL KALI DALAM Chandra Novtiar. S. Si. , M. Si.

Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) Sub Pokok Bahasan �Definisi RHKD �Himpunan Ortonormal �Proses Gramm Schmidt

Definisi RHKD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: (Simetris) 1. (Aditivitas) 2. 3. untuk suatu k R, (Sifat Homogenitas) 4.

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh : yang didefinisikan oleh : Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan , Rn maka = (u 12 + u 22 + …. . +un 2)½

Contoh 2 : Misalnya W R 3 yang dilengkapi dengan operasi , dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasil kali dalam Jawab : (i) Misalkan = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + 3 u 3 v 3 = 2 v 1 u 1 + v 2 u 2+ 3 v 3 u 3 (terbukti simetris) hasil kali

<(u 1+v 1, u 2+v 2, u 3+v 3), (w 1, w 2, w 3)> = 2(u 1+ v 1)w 1 + (u 2+v 2)w 2 + 3(u 3+v 3)w 3 = 2 u 1 w 1+2 v 1 w 1+u 2 w 2 +v 2 w 2+3 u 3 w 3+3 v 3 w 3 = (2 u 1 w 1+u 2 w 2+3 u 3 w 3) + (2 v 1 w 1+v 2 w 2+3 v 3 w 3) (bersifat aditivitas) (iii) untuk suatu k R, <(ku 1, ku 2, ku 3), (v 1, v 2, v 3)> = 2 ku 1 v 1 + ku 2 v 2 + 3 ku 3 v 3 = k 2 u 1 v 1 + ku 2 v 2 + k. 3 u 3 v 3 = k (2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + 3 u 3 v 3) (bersifat homogenitas)

Jelas bahwa jika dan hanya jika Contoh 3 : Tunjukan bahwa kali dalam Jawab : Perhatikan Pada saat 3 u 32 > u 12 + 2 u 22 maka bukan merupakan hasil Tidak memenuhi sifat positivitas

Contoh 4 : Diketahui dimana Apakah dan merupakan hasil kali dalam? Jawab : Jelas bahwa = ( a 2 + c 2 ) Misalkan diperoleh Padahal ada Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.

Contoh 5: Jika Carilah a. Di R 2 b. Di RHKD : Jawab :

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam RHKD dan k skalar, maka: a) b) c) d) e) < 0, v > = < v, 0 > < u, v + w > = < u, v > + < u, w > < u, kv > = k < u, v > < u – v, w > = < u, w > - < v, w > < u, v - w > = < u, v > - < u, w >

Latihan : Jika < u, v > = 2, < v, w > = -3, < u, w > = 5 ||u|| = 1, ||v|| = 2, and ||w|| = 7 Hitung : a. < u+v, v+w > b. < 2 v-w, 3 u+2 w > c. < u-v-2 w, 4 u+v >

Latihan RHKD Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan a. = u 12 v 1 + u 2 v 22 di R 2 b. = u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 – u 3 v 3 di R 3 c. = u 1 v 3 + u 2 v 2 + u 3 v 1 di R 3

Basis Ortonormal

Himpunan Ortogonal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan Ortonormal Himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

Secara Operasional Misalkan, pada suatu RHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika untuk setiap i ≠ j Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku

Contoh : 1. Pada RHKD Euclides, A bukan himpunan ortogonal. 2. Pada RHKD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3. Pada RHKD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

Misalkan adalah basis ortonormal untuk RHKD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku : Karena S merupakan himpunan ortonormal dan

Sehingga, untuk setiap i berlaku Kombinasi linear Ditulis menjadi Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari pada RHKD Euclides berupa bidang yang dibangun dan

Jawab : Perhatikan …. . u dan v merupakan Basis ortonormal

Proses Gramm-Schmidt

Proses Gramm-Schmidt basis bagi suatu RHKD V basis ortogonal bagi V basis ortonormal bagi V

STEP 2 :

STEP 3 : W Vektor satuan yang tegak lurus bidang W

STEP 2 : Sementara itu,

STEP 3 :

Jadi, = merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R 3 dengan hasil kali dalam Euclides