Hasil kali silang atau cross product antara dua

Hasil kali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut dan hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang. Perkalian silang dikenal dengan julukan perkalian vektor, karena hasil perkalian ini menghasilkan besaran vektor. Perkalian silang dari dua buah vector A dan B dituliskan sebagai A x B ( dibaca A silang B ). Perkalian silang A x B didefinisikan sebagai suatu vector yang tegak lurus pada bidang di mana A dan B berada, dan besarnya sama dengan hasil kali dari besar kedua vector dengan sinus sudut apitnya. Jika C = A x B maka C = AB sin θ

Misalnya vektor A dan vektor B tampak seperti gambar di bawah. Untuk mendefinisikan perkalian silang antara vektor A dan B (A x B), kita gambarkan vektor A dan B seperti gambar di atas, dan digambarkan juga komponen vektor B yang tegak lurus pada A (lihat gambar di bawah), yang besarnya sama dengan B sin teta Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan besar perkalian silang vektor A dan B (A x B) sebagai hasil kali besar vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus pada vektor A.

Vektor satuan adalah vektor yang normnya atau panjangnya satu. Vektor satuan yang searah dengan salib sumbu, dinyatakan dengan i , j , k. Untuk di bidang i = (1, 0) dan j = (0, 1), sedang untuk di ruang, i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1). Dari notasi vektor satuan yang searah dengan salib sumbu, kita dapat menyatakan sebuah vektor yang diketahui komponen-komponennya menjadi suku-suku dalam vektor satuan tersebut. Misal u = (u 1, u 2 , u 3) dan v = (v 1, v 2, v 3). Maka perkalian silang dari u dan v adalah

Beberapa hal penting dalam perkalian silang 1. Nilai 00 ≤ θ ≥ 1800, sedangkan nilai sin θ pasti positif, maka nilai C dalam C = A x B sin θ selalu positif. 2. Perkalian silang bersifat anti komutatif Ax. B=–Bx. A 3. Jika vector A dan B saling tegak lurus yaitu sudut apit θ=900 sedangkan sin 900 = 1, maka |A x B|= A B 4. Jika vector A dan B segaris kerja, dapat searah (θ = 00) atau berlawanan arah (θ = 1800), sedangkan sin 00 = sin 1800 = 0 maka A x B = 0 Penerapan perkalian silang dalam fisika pada momen () didefinisikan sebagai perkalian silang antara vector posisi r dan vector gaya F, (= r x F ), gaya lorentz pada muata yang bergerak ( F = q v x B)

Gambar disamping merupakan perkalian silang antara vektor A dengan vektor B yang menghasilkan vektor C. Di mana vektor C tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan sudut apit α. Maka, C=A×B |C| = AB sin α Kita ketahui bahwa pada sifat operasi perkalian bilangan bulat akan berlaku sifat komutatif yakni: A×B=B×A Sedangkan pada perkalian silang dua buah vektor tidak berlaku sifat komutaif (A × B = B × A). Akan tetapi berlaku sifat antikomutatif yakni: A × B = – B × A

Sekarang kembali lagi ke vektor satuan, untuk menentukan resultan vektor satuan dan persamaan perkalian vektor satuan, kita dapat menggunakan sifat-sifat dari perkalian silang sesama satuan. Jika perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah akan bernilai nol, karena sudut yang dibentuk oleh vektor tersebut besarnya 0°. Oleh karena itu, i × i = (i)(i) sin 0° i × i = 0 (sin 0° = 0) begitu juga dengan: j×j=0 k×k=0

Jika perkalian silang dua buah vektor satuan yang berbeda, akan bernilai positif jika searah putaran jarum jam, dan akan bernilai negatif jika arahnya berlawanan dengan arah puratan jarum jam, perhatikan gambar di bawah ini. Maka: i × j = k j × i = –k j × k = i k × j = –i k × i = j i × k = –j

Selain dengan cara di atas, ada cara lain yang lebih sederhana untuk mengingat rumus perkalian silang dua buah vektor A dan B, yitu dengan menggunakan metode determinan. Silahkan perhatikan gambar di bawah ini. Berdasarkan gambar di atas maka diperoleh rumus perkalian silang dua buah vektor A dan B yakni: A × B = i. Ay. Bz + j. Az. Bx + k. Ax. By – k. Ay. Bx – i. Az. By – j. Ax. Bz A × B = i. Ay. Bz – i. Az. By + j. Az. Bx – j. Ax. Bz + k. Ax. By – k. Ay. Bx A × B = (Ay. Bz – Az. By)i + (Az. Bx – Ax. Bz)j + (Ax. By – Ay. Bx)k

Vektor A = 10 N dan vektor B = 20 cm, satu titik tangkap dan saling mengapit sudut 30° satu dengan lain. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B. Penyelesaian: A × B = AB sin α A × B = 10 N. 20 cm. sin 30° A × B = 10 N. 20 cm. ½ A × B = 100 Nm

Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan hasil dari A × B Jawab : A × B adalah perkalian silang (cross) vektor A dan vektor B Untuk perkalian silang berlaku A × B = A B sin θ Sehingga A × B = A B sin 37° =(8)(10)(0, 6) = 48 satuan

R 2/B 5