BAB 4 VEKTOR Standar Kompetensi Menggunakan konsep matriks

BAB 4 VEKTOR

Standar Kompetensi Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar q Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah q Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah

MACAM-MACAM BESARAN DALAM BIDANG FISIKA Besaran Skalar • Suatu besaran yang hanya mempunyai nilai saja, tetapi tidak mempunyai arah. Hanya berlaku aljabar bilangan real biasa. Besaran Ve • Suatu besaran yang mempunyai nilai sekaligus arah, dan berlaku aljabar khusus yang dikenal sebagai aljabar vektor.

Ø Besaran vektor dapat digambarkan dengan menggunakan ruas garis berarah. Ø Panjang dari ruas garis merupakan panjang vektor atau besar vektor. Ø Arah dari peubah merupakan petunjuk arah vektor. CONTOH: Vektor OA panjangnya 3 satuan dan arahnya membentuk 45° terhadap sumbu X positif.

ALJABAR VEKTOR DITINJAU DARI SUDUT PANDANG GEOMETRI Gambar: Vektor di R-2 Gambar: Vektor di R-3

KESAMAAN DUA VEKTOR DEFINISI: Misalkan diketahui vektor a dan vektor b. Vektor a dikatakan sama atau ekuivalen dengan vektor b (ditulis: a = b), jika dan hanya jika: 1. Panjang vektor a sama dengan panjang vektor b, dan 2. Arah vektor a sama dengan arah vektor b.

PENJUMLAHAN DUA VEKTOR Penjumlahan dua vektor dengan aturan segitiga Penjumlahan dua vektor dengan aturan jajargenjang

SIFAT-SIFAT PENJUMLAHAN DUA VEKTOR Definisi: Vektor Nol • Vektor nol adalah suatu vektor yang besarnya atau panjangnya sama dengan nol dan arahnya sebarang. Vektor nol dituliskan notasi 0.

Definisi: Lawan Suatu Vektor Notasi

SIFAT-SIFAT OPERASI PENJUMLAHAN VEKTOR Misalkan diketahui vektor-vektor sebarang penjumlahan vektor sebagai berikut: , , dan. Maka sifat-sifat 1. Sifat Komutatif 2. Sifat Asosiatif 3. Unsur Identitas atau Unsur Satuan (Vektor Nol) 4. Lawan Suatu vektor

PENGURANGAN ATAU SELISIH DUA VEKTOR Misalkan diketahui vektor dan vektor. Pengurangan atau selisih vektor dengan vektor ditentukan sebagai jumlah vektor dengan lawan dari vektor. Notasi

HASIL KALI SKALAR DENGAN VEKTOR Misalkan m adalah suatu skalar (bilangan real) dan adalah suatu vektor. Hasil kali skalar m dengan vektor , ditulis sebagai = m , ditentukan sebagai berikut: Panjang vektor sama dengan hasil kali |m| dengan panjang vektor. q Jika nilai m > 0, maka vektor searah dengan vektor. q Jika nilai m < 0, maka vektor berlawanan arah dengan arah vektor. Contoh:

SIFAT-SIFAT HASIL KALI SKALAR DENGAN VEKTOR Misalakan m dan n adalah skalar-skalar (bilangan real), dan adalah vektor-vektor sebarang.

Vektor Basis dalam Bidang Vektor dapat dinyatakan dalam: q Vektor baris sebagai , atau q Vektor kolom sebagai .

Vektor dengan titik pangkal di di Jadi, dan titik ujung

Kesamaan Dua Vektor di Bidang Misalkan diketahui vektor Vektor = vektor dan vektor , jika dan hanya jika atau Dua vektor sama, jika dan hanya jika komponen seletaknya bernilai sama. .

Penjumlahan Dua Vektor di Bidang Misalkan dikatakan vektor dan vektor . Jika vektor adalah jumlah vektor dengan vektor atau = + , maka vektor ditentukan oleh: q Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di bidang adalah vektor q Lawan dari vektor , yang bersifat: adalah vektor .

Pengurangan Dua Vektor di Bidang Misalkan dikatakan vektor dan vektor Jika vektor adalah pengurang atau selisih vektor dengan vektor atau , maka vektor ditentukan oleh:

Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Bidang Misalkan m adalah suatu saklar dan dengan adalah vektor . Hasil kali skalar m dengan vektor = m ditentukan oleh: , ditulis sebagai

Panjang Vektor dalam Bidang Misalkan adalah vektor di bidang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom . Panjang atau besar vektor ditentukan dengan rumus dibaca sebagai panjang vektor .

Vektor Satuan dalam Bidang q Vektor satuan dari vektor dilambangkan dengan (dibaca: e topi). q Vektor searah dengan vektor dan panjangnya sama dengan satuan. Definisi

Vektor Baris dalam Ruang q Bilangan-bilangan x, y, dan z disebut sebagai komponen vektor. q Vektor-vektor , , dan disebut sebagai vektor basis di ruang R-3. q Vektor disebut vektor satuan dalam arah sumbu X. q Vektor disebut vektor satuan dalam arah sumbu Y. q vektor disebut vektor satuan dalam sumbu Z q Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk: ► Vektor baris sebagai ► Vektor kolom sebagai . .

dengan Vektor dengan titik tangkap di ujung , ditentukan oleh: dan titik

Kesamaan Dua Vektor di Ruang Penjumlahan Dua Vektor di Ruang

Pengurangan Dua Vektor di Ruang

Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Ruang

Panjang Vektor dalam Ruang

Vektor Satuan dalam Ruang Misalkan adalah vektor dalam ruang dengan Vektor satuan dari , dilambangkan dengan ditentukan dengan rumus: ,

RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KORDINAT Vektor Posisi dari Suatu Titik Vektor-vektor , , , dan dinamakan sebagai vektor posisi titik-titik A, B, C dan D. Ø Vektor Posisi dalam Bidang Ø Vektor Posisi dalam Ruang

Rumus Perbandingan Vektor

Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik di Bidang

Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik di Ruang

HASIL KALI SKALAR DUA VEKTOR

Hasil Kali Skalar Dua Vektor di Bidang