RUANG HASIL KALI DALAM Kania Evita Dewi Hasil

RUANG HASIL KALI DALAM Kania Evita Dewi

• Hasil Kali Titik Definisi • Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor dinyatakan Vektor-vektor dan yang Didefinisikan sebagai hasil-kali antara besar dan cosinus θ antara keduanya. Perhatikan bahwa adalah sebuah skalar dan bukan vektor

• Hasil Kali Titik Hukum-hukum berikut berlaku:

• Hasil Kali Titik Contoh • Misal • dan Tentukan b. Tentukan sudut yang terbentuk antara vektor c. Tentukan nilai dengan menggunakan sudut yang diperoleh dinomor b.

• Hasil Kali Silang atau Vektor Definisi • Hasil kali silang dari Besarnya dan • adalah sebuah vektor didefinisikan sebahai hasil kali antara besarnya dan sinus sudut θ antara keduanya. Arah vektor tegaklurus pada bidang yang memuat Sedemikian rupa sehingga Membentuk sebuah sistem tangan kanan.

• Hasil Kali Dalam Definisi dalam bentuk matematika dimana Adalah vektor satuan yang menunjukan arah dari

• Hasil Kali Silang Berlaku hukum-hukum berikut:

• Hasil Kali Silang Contoh • Misalkan • Tentukan:

• Ruang Hasil Kali Dalam Definisi • Hasil kali dalam dinotasikan <. , . > adalah fungsi yang mengaitkan setiap vektor di ruang vektor V dengan suatu bilangan riil dan memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah ruang vektor, , α suatu skalar, maka berlaku: Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam

• Ruang Hasil Kali Dalam Contoh • Misal dan adalah vektor-vektor pada R 2. Tunjukkan bahwa ruang berikut merupakan ruang hasil kali dalam

• Ruang Hasil Kali Dalam Sifat-sifat • Jika adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam rill dan k sebarang skalar, maka:

• Ruang Hail Kali Dalam Panjang dan Sudut diruang Hasil Kali Dalam • Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (panjang) vektor dinyatakan oleh • dan Jarak antara 2 vektor • Jika θ adalah sudut antara dan dinyatakan oleh dan , maka

• Ruang Hasil Kali Dalam Contoh panjang dan sudut • Misal dan maka

• Ruang Hasil Kali Dalam Definis ortogonal Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor dan Dinamakan ortogonal jika. Selanjutnya, jika ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa ortogonal terhadap W.

• Ruang Hasil Kali Dalam Contoh • Tentukanlah apakah vektor yang diberikan pada bagian berikut ortogonal terhadap hasil kali dalam.

• Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal • Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan ortogonal jika semua pasang vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.

• Ruang Hasil Kali Dalam Contoh Tentukan himpunan vektor dibawah ini yang merupakan himpungan ortonormal.

• Ruang Hasil Kali Dalam Teorema • Jika Kali dalam V, dan Adalah basis ortonormal untuk ruang hasil adalah sebarang vektor dalam V, maka

• Ruang Hasil Kali Dalam Teorema Misalkan W adalah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V a. Jika adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan adalah sebarang vektor dalam V maka • b. Jika adalah suatu basis ortogonal untuk W dan adalah sebarang vektor dalam V maka

• Ruang Hasil Kali Dalam Komponen u yang ortogonal terhadap W • Jika maka dimana Adalah komponen u yang ortogonal terhadap W

• Ruang Hasil Kali Dalam Contoh • W adalah subruang yang dibangun oleh ortonormal, misal a. Tentukan proyeksi ortogonal dari b. Tentukan komponen Vektor-vektor pada W yang ortogonal terhadap W

• Ruang Hasil Kali Dalam Proses Gram Schimdt • • Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan vektor ortogonal. Misalkan diketahui adalah himpunan vektor yang bebas linier, maka U dapat diubah menjadi himpunan yang ortogonal dengan cara:

• Ruang Hasil Kali Dalam Proses Gram-Schimdt

• Ruang Hasil Kali Dalam Contoh • Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis ke dalam basis ortonormal. • Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis kedalam basis ortonormal

Ada Pertanyaan? ? ?