OPRACIONA ISTRAIVANJA 4 SIMPLEKS METOD 962021 1 SIMPLEKS

OPRACIONA ISTRAŽIVANJA 4. SIMPLEKS METOD 9/6/2021 1

SIMPLEKS METOD Simpleks metod je opšti algoritam koji se koristi za rešavanje svih oblika zadatka LP. n Do rešenja se dolazi u nizu iteracija. n U svakoj od iteracija utvrđuju se vrednosti promenljivih koje odgovaraju ekstremnim tačkama skupa mogućih rešenja. n Simpleks metod obezbeđuje najkraći put do optimalnog rešenja. n 9/6/2021 2

MATRIČNI OBLIK LP n Funkcija cilja n Sistem ograničenja 9/6/2021 3

MATRIČNI OBLIK LP n Vektori aktivnosti su A 1, A 2, . . . , Ap+m, odnosno 9/6/2021 4

MATRIČNI OBLIK LP n odnosno n Kanonični oblik LP 9/6/2021 5

POČETNO BAZIČNO REŠENJE Realne promenljive su jednake nuli n Dodatne promenljive su jednake slobodnim članovima sistema ograničenja, n n Vrednost funkcije cilja je jednaka nuli 9/6/2021 6

VEKTORSKA BAZA n n Vektorsku bazu, na osnovu koje se utvrđuje početno bazično rešenje, obrazuju vektori koeficijenata uz dodatne promenljive. Vektori koeficijenata uz dodatne promenljive (kojih u našem problemu ima m) obrazuju jediničnu matricu Inverzna matrica jedinične matrice je takođe jedinična - što predstavlja osnovni razlog za otpočinjanje simpleks procedure rešavanja zadatka na ovakav način. Vektori koeficijenata uz realne promenljive su nebazični (jednaki su nuli). 9/6/2021 7

PROMENA VEKTORSKE BAZE n PITANJE: ¨Na koji način se može odrediti rešenje za koje funkcija cilja ima veću vrednost? n ODGOVOR: ¨Izmenom elemenata (vektora) vektorske baze. 9/6/2021 8

I Dancigov simpleks kriterijum n Dodatni (bazični) vektori, koji obrazuju vektorsku bazu, mogu se predstaviti u obliku n Realni vektori, koji su nebazični, jednaki su 9/6/2021 9

I Dancigov simpleks kriterijum n Funkcija cilja za početno bazično rešenje jednaka je nuli, tj. jer su koeficijenti ci (uz dodatne promenljive) =0 9/6/2021 10

I Dancigov simpleks kriterijum n n Svaki od nebazičnih vektora (Aj) može se izraziti u obliku linearne kombinacije vektora baze, odnosno pri čemu su: xij-koeficijenti linearne kombinacije, koji su u početnom rešenju jednaki aij , dok se u narednim rešenjima ove vrednosti moraju izračunati. 9/6/2021 11

Za svaki nebazični vektor Aj možemo odrediti vrednost funkcije cilja ( Zj) n Ona je jednaka n n Ukoliko prethodni izraz pomnožimo sa koeficijentom i oduzmemo od vrednosti funkcije cilja 9/6/2021 12

n dobija se n Ukoliko i levoj i desnoj strani prethodne relacije dodamo vrednost dobija se n Kada se izraz na desnoj strani prethodne relacije obeleži sa z’, kako sledi 9/6/2021 13

n odnosno n gde predstavlja povećanje vrednosti funkcije cilja do koje je došlo uključivanjem u bazu vektora , odnosno povećanje vrednosti funkcije cilja do koje dolazi uključivanjem jedne jedinice promenljive xj u bazično rešenje. 9/6/2021 14

I Dancigov simpleks kriterijum n Kriterijum za uključivanje jednog od prethodno nebazičnih vektora u bazu sastoji se u tome da treba odabrati onaj vektor (l-ti) kod koga je zadovoljen uslov n Ukoliko su za neko od rešenja ove razlike, za sve nebazične vektore negativne, takvo rešenje predstavlja optimalno rešenje problema maksimuma. 9/6/2021 15

II Dancigov simpleks kriterijum n Ako se levoj strani relacije doda i oduzme vrednost dobija se izraz 9/6/2021 16

n Kada se u prethodni izraz, tj. u izraz uvrsti relacija n dobija se n odnosno 9/6/2021 17

n S obzirom da je , rešenje izraženo prethodnom relacijom će biti moguće jedino ako je odakle sledi da je 9/6/2021 18

Funkcija cilja će se sve više povećavati ukoliko vrednost koeficijenta bude sve veća. n U svakom od rešenja mora biti zadovoljan uslov nenegativnosti. To znači da je gornja granica koeficijenta određena minimalnom pozitivnom vrednošću količnika n n Iz baze treba isključiti onaj l -ti vektor za koga je zadovoljen uslov 9/6/2021 19

II Dancigov simpleks kriterijum n Kriterijum za eliminaciju vektora iz baze 9/6/2021 20

VREDNOSTI PROMENLJIVIH n Vrednosti promenljivih, koje odgovaraju vektorima nove baze, mogu se izračunati na dva načina a) korišćenjem vrednosti izračunate veličine na osnovu drugog simpleks kriterijuma, pri čemu promenljive određujemo u obliku: ¨ novouvedena promenljiva, tj. promenljiva koja odgovara vektoru koji je uključen u bazu jednaka je 9/6/2021 21

VREDNOSTI PROMENLJIVIH n Ostale promenljive koje su i u prethodnoj iteraciji bile bazične, jednake su tj. vrednosti ovih promenljivih izračunavaju se tako što se od njihovih vrednosti iz prethodne iteracije oduzme proizvod vrednosti veličine i koeficijenata preko kojih je novouvedeni vektor (l -ti) bio u prethodnoj iteraciji izražen kao linearna kombinacija vektora baze. 9/6/2021 22

VREDNOSTI PROMENLJIVIH n b)Nakon određivanja vektora nove baze, vrednosti bazičnih promenljivih možemo odrediti iz proizvoda inverzne matrice baze i vektora slobodnih članova sistema ograničenja, tj. n A koeficijente linearne kombinacije iz izraza 9/6/2021 23