Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Dinmica Mundial En

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Dinámica Mundial En esta presentación, aplicaremos la metodología de la dinámica de sistemas al problema de hacer predicciones concerniente el futuro de nuestro planeta. Es una de las más espectaculares y también más contenciosas de todas las aplicaciones de la metodología publicadas. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • El modelo mundial de Forrester 1 ra modificación: reducción del uso de recursos no recuperables 2 da modificación: reducción de la contaminación 3 ra modificación: reducción de la mortalidad 4 ta modificación: simulación hacia atrás en el tiempo 5 ta modificación: optimización del uso de recursos Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo Mundial de Forrester • En 1971, J. W. Forrester publicó un modelo que había desarrollado por el Club of Rome, ofreciendo predicciones concerniente el futuro de nuestro planeta. • Este modelo fue implementado usando la metodología de la dinámica de sistemas. • Es un modelo muy simple de quinto orden de ecuaciones diferenciales. • Vendió inmediatamente millones de ejemplares de su libro que también fue traducido a muchos otros idiomas. • Fue criticado fuertemente a causa de su modelo por muchos de sus colegas. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Selección de las Variables de Estado I • ¿Cuáles variables deberían usarse como variables de estado? ¿Cuántas de ellas se necesitan? • Obviamente no hay ninguna respuesta “correcta” a estas cuestiones. Toma o una buena cantidad de genio o mucha temeridad para aun intentar de llegar a una respuesta significativa. • Forrester decidió que la población mundial debe incluirse como variable de estado, ya que el mundo está acercándose a los límites del crecimiento. • Otra variable importante es la contaminación, ya que demasiada contaminación claramente influye tremendamente el balance ecológico del planeta, pensando por ejemplo del tema del calentamiento global. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Selección de las Variables de Estado II • Una tercera variable importante es la cantidad de recursos naturales no recuperables que aun queda. En 1971, tomó visión para dar se cuenta que el agotamiento de hidrocarburos fósiles nos afectará tan rápidamente. Hoy día todo el mundo habla de la crisis de “Peak Oil”. • Una cuarta variable que seleccionó Forrester es la inversión mundial. Más inversión resulta en más riqueza, pero también en más contaminación. • La quinta variable era el porcentaje de capital invertido en la agricultura. Evidentemente necesitamos comida y capital puede invertirse en producción de alimentación. Esa variable es más dudosa, porque un porcentaje no es una variable que puede acumularse. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos y Listas de Lavandería I • Cada variable de estado fue equipada con un controlador de flujos de entrada y uno de salida con la excepción de los recursos naturales que no tienen ninguna entrada. • Veamos la lista de lavandería de la natalidad. Forrester propuso que la natalidad depende de: natalidad = f (población, contaminación, nutrición, apiñamiento, estándar de vida) • Es razonable postular que la natalidad crece en proporción con la población, es decir: natalidad = población · f (contaminación, nutrición, apiñamiento, estándar de vida) Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos y Listas de Lavandería II • Ya que funciones de cuatro variables son difíciles a identificar o al menos piden muchas observaciones, Forrester propuso una simplificación: cada función en múltiples variables puede expresarse como un producto de funciones con una sola variable: natalidad = población · f 1 (contaminación) · f 2 (apiñamiento) · f 3 (nutrición) · f 4 (estándar de vida) • Es cierto que esta suposición es bastante atrevida, pero no más que el asunto en general. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Comportamiento a Señal Pequeña • Forrester además usó un truco sensible. Definió los valores de todas las variables en el año 1970 como “normales, ” dividió todas las expresiones por sus valores normales añadiendo un parámetro de flujo normal y escribió las funciones como desviaciones de la norma con valores en la proximidad de 1. 0: natalidad = BRN · población · f 1 (contaminación) · f 2 (comida) · f 3 (apiñamiento) · f 4 ( estándar de vida) • Hizo lo mismo con todas las demás listas de lavandería de variables de flujo. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Libros Anuales de Estadísticas I • Luego usó libros anuales de estadísticas para proponer relaciones funcionales sensibles para estos factores. • Por ejemplo se sabe que la natalidad en países del tercer mundo con un estándar de vida bajo es más alta que en los países más bien desarrollados. • Por lo tanto, propuso la relación: Febrero 15, 2008 MSL BR 0. 0 1. 0 2. 0 3. 0 4. 0 5. 0 1. 2 1. 0 0. 85 0. 7 El modelo mundial de Forrester contiene 22 de estas tablas describiendo una variedad grande de tales relaciones estadísticos entre variables. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Libros Anuales de Estadísticas II Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Libros Anuales de Estadísticas III En cada tabla, la columna de la izquierda da valores para la variable independiente mientras cada de las demás columnas ofrece los valores correspondientes de una función tabulada. La fila más alta da los nombres de las tablas mientras la segunda fila da los nombres de las variables involucradas en estas tablas. Ejemplo: BRPM da la variabilidad propuesta de la natalidad en función de la contaminación. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ecuaciones de Flujos • Usando estas funciones tabuladas, pueden formularse las ecuaciones de los flujos como sigue: Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Variables Auxiliares • Las siguientes variables auxiliares también se usan: Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Parámetros y Condiciones Iniciales • Se usan los siguientes parámetros y condiciones iniciales: Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelo Mundial Global Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ventanilla de las Ecuaciones Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Compilación ¡La ventanilla de los diagramas muestra mucha estructura para sólo 68 ecuaciones! Febrero 15, 2008 La dinámica de sistemas es un formalismo de modelado de bajo nivel. Los grafos no sirven de mucho. Puede ser igualmente simple trabajar directamente con las ecuaciones que luchar con el formalismo gráfico. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación I Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación II El modelo muestra bien los límites del crecimiento. La población alcance su valor máximo alrededor del año 2020 con un poco más de 5000 millones. Resulta que, cuando se disminuyen los recursos naturales a un nivel bajo aproximadamente 5· 1011, se muestra un efecto de amortiguamiento muy fuerte en la población. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos 1 ra Modificación • Forrester luego propuso reducir el uso de los recursos naturales por un factor de 4, empezando en el año 1970. • Aunque parece ser una modificación bastante dura, no es totalmente sin sentido. El efecto de esta modificación es aproximadamente el mismo que decir que nos quedan más recursos de lo que se había anticipado antes. Probablemente es así. • Por consecuencia, el agotamiento de los recursos no servirá más como factor de amortiguamiento tan efectivo o tan rápido. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Programa I • Ya que estamos modificando un parámetro, NRUN, este parámetro se convierte en una variable ahora. I could have modified the multiplier instead, but the nonlinear function was optically more appealing to me. (Tuve que extender algunos de los dominios de funciones para prevenir que las cláusulas “assert” de la función Piecewise maten a la simulación. ) Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Programa I • Ya que estamos modificando un parámetro, NRUN, este parámetro se convierte en una variable ahora. Podría haber modificado el multiplicador, pero la función no lineal parecía más adecuada. (Tuve que extender algunos de los dominios de funciones para prevenir que las cláusulas “assert” de la función Piecewise maten a la simulación. ) Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación III Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación IV Esta vez, la población llega a su valor máximo alrededor del año 2035 con aproximadamente 5800 millones. Después, la población se disminuye rápidamente en una mortandad masiva, aunque los recursos naturales no se agotan hasta el siglo 22. Esta vez, es la contaminación que alcanza un valor crítico. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos 2 da Modificación • Forrester consecuentemente propuso reducir la emisión de contaminantes por un factor de 4, empezando con el año 1970. • Esta suposición es bastante menos razonable que la anterior. Sin embargo, al menos en las naciones industrializadas, mucho se hizo en los últimos años para limpiar los lagos y reducir la contaminación del aire. • Con esta medida, el factor de la contaminación ya no será más tan efectivo como matador de la población. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Programa II • Ya que estamos modificando otro parámetro, POLN, ahora, también este tiene que convertirse en una variable. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación V Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discusión I • Es donde termina el libro de Forrester. Graficó la población sobre una página doble, estipulando (aunque nunca lo escribió explícitamente) que esto es lo que tenemos que hacer para resolver el problema de la disminución de la población. • Evidentemente, esa conclusión es falsa. Considerando los recursos naturales, se nota que hasta el año 2100, se disminuyeron de nuevo a un nivel que servirá para amortiguar la población. • Continuamos con la simulación: Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discusión II • Los resultados son muy similares a aquellos que produjo el modelo original salvo que la población entretanto pudo crecer hasta cerca de 8000 millones antes de que empiece de nuevo su disminución. La joroba simplemente ocurre 80 años más tarde. • Eso por sí mismo no es irrazonable: Forrester está salvando el planeta día, y por cierto su horizonte de atención es más largo que el de la mayoría de los políticos que no se ocupan de lo que pasará con el mundo más allá de las próximas elecciones. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Predecir el Pasado es Simple • Pasaron más de 30 años desde Forrester presentó su modelo mundial originalmente. • Tiene sentido comparar sus predicciones con la realidad observada entretanto. Forrester’s World model – comparison of scenarios World population Realidad Simulaciones Time (years) Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Programa III • La realidad es mucho peor de lo que Forrester había predicho en sus simulaciones. La población mundial crece mucho más rápidamente. • Forrester no había tomado en cuenta los progresos médicos. La esperanza de vida de hoy es más alta que nunca [al menos en la mayor parte del mundo – en Rusia se redujo en 10 años desde los tiempos del comunismo y en el Africa Subsahariana se redujo a causa del SIDA] y la mortalidad infantil es más baja que nunca. • Para incorporar este progreso, decidí reducir la mortalidad en 1970 de 0. 028 a 0. 02. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación VI • El ajuste se queda bastante bueno ahora. Veremos cuales son los efectos en las trayectorias de simulación que resultan de esta modificación del modelo. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discusión III • No había mucho cambio. La población ahora crece hasta aproximadamente 8000 millones antes de que empieza a disminuirse de nuevo. El valor estático no cambia. Quedan 2000 millones al final. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Validación del Modelo • ¿Cómo podemos validar el modelo? • Una posibilidad sería simular el modelo hacia atrás en el tiempo más allá de 1900. Ya que conocemos el pasado, es posible que se puede concluir algo sobre la validez del modelo de esta manera. • Simulación hacia atrás puede hacerse negando cada ecuación de estado. Si se pone un signo negativo delante de cada derivada de estado, se producen las mismas trayectorias como antes pero en dirección de tiempo opuesta. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Un Nuevo Tipo de Almacén • Con este propósito, se introduce un nuevo tipo de almacén, el almacén reversible. • El almacén marrón contiene una variable dir. Si dir = +1, la dirección del flujo de tiempo está positiva; si dir = -1, está negativa. • Además se introdujo un nivel mínimo, xm, que asegura que ninguna de las variables de estado del modelo mundial puede tomar valores negativos. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Programa IV Los cinco almacenes azules se remplazaron por almacenes marrones. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Programa IV - 2 Hasta time = time_reverse, la simulación se hacia adelante en el tiempo; después se simula hacia atrás. La variable years sigue el flujo de tiempo. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación VII • Empecé simulando hacia adelante durante 200 años antes de reversar el flujo. La inversión funcionó bien durante 16 años, pero después las trayectorias se separaron. • Superpuse otra simulación, en la cual simulé hacia adelante durante 150 años seguido por una inversión. Las trayectorias se separan después de 18 años. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discusión IV • La simulación es numéricamente inestable en dirección hacia atrás. • Culpable es la ecuación de la absorción de la contaminación. Una desviación minúscula de la trayectoria correcta produce un error que crece de forma exponencial. • Se necesitan técnicas de estabilización para poder simular hacia atrás de forma estable. Una discusión de estas técnicas no puede presentarse aquí. Un algoritmo posible varía la contaminación inicial durante cada paso de integración numérica de tal manera que se minimiza la sensibilidad de la solución con el valor inicial. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación VIII • Los resultados enseñados por debajo muestran una simulación hacia adelante durante 30 años seguido por una simulación hacia atrás durante 37 años. World population Forrester’s World model – Simulation backward through time Time (years) Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discusión V • La simulación propone que la población mundial se redujo antes del año 1900, llegando a un valor mínimo en 1904. • Sabemos que eso nunca ocurrió. Entonces, ¿cómo se puede esperar de simular correctamente hacia adelante hasta el año 2500? • Evidentemente, no se puede! Sin embargo, se mostrará que es aun posible obtener conclusiones válidas del modelo. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Optimización • Volvemos ahora al modelo después de su primera modificación. • Queremos optimizar el consumo de los recursos naturales después del año 1970. • Se necesita un índice de desempeño para ello. Positivo es un valor alto del estándar de vida mínimo después del año 2000 (no tiene sentido optimizar sobre el pasado). Negativo es una grande mortandad de la población. • Luego modificamos el programa otra vez. Se hace en la ventanilla de las ecuaciones. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Programa V Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación IX NRUN 2 = 0. 25 NRUN 2 = 0. 75 NRUN 2 = 1. 0 NRUN 2 = 1. 5 • Las primeras dos simulaciones muestran una mortandad masiva. Los otros no muestran este problema. • Sin embrago en corto plazo, las soluciones que producen una mortandad alta más tarde muestran el mejor valor del índice de desempeño. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discussion VI • Políticos normalmente tratan de maximizar el comportamiento en corto plazo. No les interesa mucho que pasará más allá de las próximas elecciones. • Por consecuencia, es más probable que favorecen una solución que resultará en mortandad masiva más tarde (¡après moi le déluge!). Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones I • ¿Qué puede concluirse de este modelo? • La respuesta es simple: Tenemos que aplicar el análisis de sensibilidad para determinar, cuáles son respuestas que no dependen de las suposiciones que hicimos en el modelo. • Todas las simulaciones muestran que los límites del crecimiento ahora están inminentes. Por vez primera en la historia humana, desde Adam y Eva fueron expulsados del paraíso [porque el diablo (el Grande Innovador, el cual que maximiza la entropía) los sedujo para que se pongan listos … y intelicencia viene con un precio: se espera que seres inteligentes tomen responsibilidad por sus acciones], la Tierra está avanzando de un sistema con recursos ilimitados a otro que sí que debe observar los límites de sus recursos. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones II • Podemos dividir la alimentación y el abastecimiento de agua enteros que nuestra Tierra está capaz de producir por el número de gente. No hay ningún equilibrio fijo. Podemos o vivir mejor en números más pequeños o con hambre en números más grandes. • Se podría esperar que la humanidad, como especie inteligente, optaría por la primera solución. Desafortunadamente, no parece ser así. Hay mucha evidencia al contrario. Parece que nuestra inteligencia nos ayuda solamente en contextos locales. En un contexto global, nos comportamos no muy diferentes de ratas de laboratorio … salvo que nos damos cuenta de lo que estamos haciendo mientras ratas no lo hacen. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones III • Nuestra economía “fiat” os hizo creer que todos los problemas puedan resolverse imprimiendo más billetes de dolares. Sin embargo, dinero no se puede comer. Últimamente, álguien tiene que producir la alimentación que estamos comiendo. • En consumiendo hidrocarburos fósiles, estamos usando recursos que no produjimos. Es como gastar dinero que ganamos en la lotería. • Una vez expendido todos los hidrocarburos fósiles que hay, tendremos que producir todo lo que consumimos. • Un número fijo de gente puede producir solamente una cantidad fija de bienes. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones IV • Si la Tierra puede nutrir de manera sostenible un número de gente más pequeño que el actual, lo que probablemente es el caso [el modelo de Forrester predice aproximadamente 2000 millones de gente; este número puede ser impreciso, pero no por mucho], no ayuda pensar de mecanismos que aseguran que la población pueda continuar a crecer durante unos años más. El único efecto que tienen tales medidas es posponer el momento de la disminución de la población por unos pocos años. Puede resultar también en una mortandad masiva más tarde. • A pesar de todo eso, nuestros políticos hacen todo lo que pueden para asegurar que el GNP continúe a crecer durante unos pocos años más, lo que solamente puede alcanzarse con una población que continúa a crecer. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones V • Más gente implica más pagadores de contribuciones. Más gente también implica una población más joven, es decir, más gente que contribuye a los fondos de la seguridad social. • Sin embargo, más gente también significa una disminución más larga después. También resulta en un aumento en la amplificación de las bucles de realimentación, lo que implica una desestabilización, es decir, un riesgo más grande de la mortandad masiva. • ¿Es la humanidad lista o estaremos codiciosos? • ¡Vivimos en tiempos interesantes! La biblioteca System. Dynamics de Dymola ofrece un segundo modelo mundial, WORLD 3, que se produjo por Dennis Meadows corto tiempo después de WORLD 2, también al MIT. Este modelo es bastante más complejo y también mejor, pero por simpleza, decidí de limitar esta presentación al modelo WORLD 2 original. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Cellier, F. E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 11. • Cellier, F. E. (2007), “Ecological Footprint, Energy Consumption, and the Looming Collapse, ” The Oil Drum, May 16, 2007. • Cellier, F. E. (2008), “World 3 in Modelica: Creating System Dynamics Models in the Modelica Framework, ” Proc. Modelica’ 08, Bielefeld, Germany , Vol. 2, pp. 393 -400. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Forrester, J. W. (1971), World Dynamics, Wright. Allen Press, Cambridge, Mass. • Meadows, D. , J. Randers, and D. Meadows (2006), Los Límites del Crecimiento: 30 Años Después, Galaxia Gutenberg. • Cellier, F. E. (2007), The Dymola Dynamics Library, Version 2. 0. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier System Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Páginas de la Red Interesantes I • Magoon, L. B. (1999), “Are we running out of oil? , ” United States Geological Survey (USGS), • . . /Refs/USGS. pdf • (file loads slowly, download recommended). • Puplava, J. (2002), “Hubbert’s peak & the economics of oil, ” Financial Sense online, • http: //www. financialsense. com/series 3/part 1. html. • Campbell, C. J. (2002), “Peak oil: an outlook on crude oil depletion, ” MBendi - Information for Africa, • http: //greatchange. org/ov-campbell, outlook. html. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Páginas de la Red Interesantes II • Tietenberg, T. and W. van Dieren (1995), “Limits to growth: A report to the Club of Rome, ” • http: //www. dieoff. org/page 25. htm. • Bartlett, A. A. (1998), “Reflections on sustainability, population growth, and the environment, ” Renewable Resources Journal, 15(4), pp. 6 – 23. • http: //www. dieoff. org/page 146. htm. • Thompson, B. (2002), “The oil crash and you, ” Running on Empty, • http: //greatchange. org/ov-thomson, convince_sheet. html. • The Oil Drum, • http: //www. theoildrum. com/. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación