Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Flujos de Masas

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos de Masas Convectivos III • En esta presentación nos concernamos otra vez con flujos convectivos de masa y calor, ya que no tenemos todavía un entendimiento comprensivo de la física de estos fenómenos. • Empezamos hablando una vez más de los campos capacitivos. • Después estudiaremos la energía interna de la materia. • Acabamos la presentación con una discusión de fenómenos generales del transporte de energía que entretanto incluyen flujos de masa como un aspecto integral de los flujos generales de energía. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Febrero 12, 2008 Campos capacitivos La energía interna de la materia Ligaduras y uniones térmicas La conducción de calor El trabajo de volumen El transporte general de masa Sistemas con múltiples fases Evaporación y condensación La termodinámica de mezcladuras Sistemas con múltiples elementos © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Campos Capacitivos III • Miramos el circuito eléctrico siguiente: i 1 u 1 C 1 i 3 C 2 i 1 -i 3 i 2+i 3 i 2 C 1 C 3 u 2 i 1 – i 3 = C 1 · du 1 /dt i 2 + i 3 = C 3 · du 2 /dt i 3 = C 2 · (du 1 /dt – du 2 /dt ) Febrero 12, 2008 0 C 2 C 3 u 2 i 2+ i 3 u 1 i 1 -i 3 u 1 -u 2 i 3 i 2 u 1 u 2 1 i 0 u 2 0 i i 1 3 3 0 i 1 = ( C 1 + C 2 ) · du 1 /dt – C 2 · du 2 /dt i 2 = – C 2 · du 1 /dt + ( C 2 + C 3 ) · du 2 /dt © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Campos Capacitivos IV Matriz capacitiva simétrica i 1 = ( C 1 + C 2 ) · du 1 /dt – C 2 · du 2 /dt i 2 = – C 2 · du 1 /dt + ( C 2 + C 3 ) · du 2 /dt i 1 ( C 1 + C 2 ) – C 2 du 1 /dt = · i 2 – C 2 ( C 2 + C 3 ) du 2 /dt ( C 2 + C 3 ) C 2 i 1 du 1 /dt C ( C + C ) 2 1 2 = · i 2 du 2 /dt C 1 C 2 + C 1 C 3 + C 2 C 3 C 1 0 Febrero 12, 2008 C 2 C 3 u 2 i 2+ i 3 u 1 i 1 -i 3 u 1 -u 2 i 3 i 2 u 1 u 2 0 1 i 0 i u 2 i 1 3 3 0 0 © Prof. Dr. François E. Cellier u 1 i 1 CF i 2 u 2 Principio de la presentación 0

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Almacenaje de Volumen y Entropía • Consideramos una vez más el gráfico de ligaduras introducido en la presentación anterior. 0 Cth C 0 Sf 0 S/V Cth C 1 0 No era ningún accidente que dibujé las dos capacidades una al lado de otra. En realidad, las dos capacidades forman parte de un campo capacitivo con dos puertas. Ya sabemos entretanto que calor y volumen son dos propiedades diferentes del mismo material. I Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Energía Interna de la Materia I • Ya vimos que la materia tiene tres diferentes (aunque inseparables) almacenajes: Masa Volumen Calor • Estos tres elementos de almacenaje representan diferentes propiedades de almacenaje del mismo material. • Por consecuencia tratamos con un campo de almacenaje. • Este campo de almacenaje es un campo capacitivo. • El campo capacitivo almacena la energía interna de la materia. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Energía Interna de la Materia II • El cambio de la energía interna de un sistema, es decir el flujo total de potencia que entra o sale del campo capacitivo puede describirse de la manera Potencial químico siguiente: Flujo de interna energía U· = T · S· - p · V· + Flujo de calor S mi · N·i i Flujo de masa molar Flujo de masa Flujo de volumen • Esta es la ecuación de Gibbs. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Energía Interna de la Materia III • La energía interna está proporcional a la masa total n. • Normalizando con n, todas las variables extensivas pueden convertirse en intensiva. u= U n s = Sn v= V n N ni = n i • Entonces: d (n·u) = T · d (n·s) - p · d (n·v) + S m · d (n· n ) i i i dt dt Febrero 12, 2008 d (n·u) - T · d (n·s) + p · d (n·v) - S m · d (n· n ) = 0 i i i dt dt © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Energía Interna de la Materia IV d (n·u) - T · d (n·s) + p · d (n·v) - S m · d (n· n ) = 0 i i i dt dt dn n · du - T · ds + p · dv - S mi · i dt dt dt i dt dn + dt · u - T · s + p · v - S mi · ni = 0 i [ ] Esa ecuación debe ser válida independientemente de la masa n, entonces: Por fin se encontró una explicación porque era aceptable trabajar con derivadas incorrectas. Febrero 12, 2008 dni du ds dv T · =0 m · dt dt + p · dt - S i i dt Flujo de energía interna u - T · s + p · v - S mi · ni = 0 i Energía interna © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Energía Interna de la Materia V U = T · S - p · V + S mi ·Ni i U· = = T · S· - p · V· + S mi · N·i i T· · S - p· · V + + T· · S - p· · V + S m·i · Ni i S m·i · Ni = 0 Esta es la ecuación de Gibbs-Duhem. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Campo Capacitivo de la Materia T S· S T· C S · T GY ni V p· GY CF m·i ni C V p· p q GY m·i C mi n i Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Simplificaciones • En sistemas sin reacciones químicas es posible remplazar los flujos de masa molares por flujos de masa convencionales. • En este caso se remplaza el potencial químico por el potencial de Gibbs. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ligaduras y Uniones Térmicas • Las tres piernas externas del elemento CF pueden agruparse. 0 Ø . S T 3 CF C CF g 0 . M Febrero 12, 2008 C C q p 0 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Otra Vez Conducción de Calor CF 2 CF 1 3 3 Ø T 1. S 1 T 2. S 1 1 . T 1 D S 1 x . S 1 2 m. GS DT . S 1 DT 0 Ø. T 2 D S 2 x DT m. GS . S 1 2 CF 1 Febrero 12, 2008 3 HE 3 © Prof. Dr. François E. Cellier CF 2 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Intercambio de Volumen y Presión CF 1 CF 2 3 3 p 1 q Ø. T 1 D S 1 x 1 q 2 GS p 2 q D p q D 0 Ø. T 2 D S 2 x p p q D GS 2 CF 1 Febrero 12, 2008 3 PVE 3 CF 2 La presión se equilibra igual a la temperatura. Se supone aquí que la inercia de la masa es pequeño y no tiene que tomarse en cuenta. Además se supone que la presión se equilibra sin rozamiento. Ese modelo tiene sentido si el intercambio ocurre localmente y si el movimiento macroscópico de masas no es demasiado grande. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Elemento de Intercambio General I g 1. M g 2. M 1 GS T. 1 Sw 1 0 m. GS p 1 q Febrero 12, 2008 0 GS 1 1 T 2. S 2 0 Sw m. GS p 2 q © Prof. Dr. François E. Cellier Los tres flujos son acoplados a través de elementos RS. El elemento de conmutación codifica la dirección de flujo positivo. Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Elemento de Intercambio General II • En el elemento general de intercambio, las temperaturas, las presiones y los potenciales de Gibbs de componentes vecinas se equilibran. • Este proceso puede interpretarse como campo resistivo. CF 1 r 1 , S 1 r 2 , S 2 3 Ø Febrero 12, 2008 CF 2 3 3 RF 3 © Prof. Dr. François E. Cellier Ø Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Sistemas con Múltiples Fases • También queremos estudiar fenómenos evaporación y la condensación. Ø 3 HE, PVE, Evaporación, Condensación 3 3 Ø 3 CFgas Febrero 12, 2008 como CFliq © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación la

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Evaporación (Ebullición) • El intercambio de masa y energía entre almacenajes capacitivos de la materia (elementos CF) representando diferentes fases químicos se modela por medio de campos resistivos especiales (elementos RF). • Los flujos de masa se calculan en función de la presión y de la presión de saturación del vapor. • Los flujos de volumen pueden calcularse fácilmente. Son el producto de los flujos de masa con el volumen de saturación para el valor actual de la temperatura. • Los flujos de entropía son superpuestos con la entalpía de la evaporación (en el proceso de la evaporación, el campo térmico pierde calor latente). Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Condensación Sobre Superficies Frías • Aquí tiene que introducirse una capa de lindero. CFgas 3 3 Ø 3 HE PVE RF 3 Conducción de calor (HE) Trabajo de volumen (PVE) Condensación y Evaporación 3 Febrero 12, 2008 3 Ø Randschicht HE 3 3 Ø Capa de lindero CF gas Conducción de calor (HE) Trabajo de volumen (PVE) Condensación y Evaporación HE PVE RF s Ø s 3 3 . Sgas T . 3 CF superf. T Slíq Ø 3 3 CFlíq HE © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Termodinámica de Mezcladuras • Si fluidos (gases o líquidos) se mezclan se genera entropía adicional. • Esta entropía del mezclamiento tiene que distribuirse entre los fluidos participantes. • La distribución es una función de las masas parciales. • Normalmente, elementos CF vecinos no saben nada uno de otro. Sin embargo, en el proceso de mezclar sustancias, esta regla no puede mantenerse. Información tiene que intercambiarse entre los dos campos capacitivos. CF 1 Febrero 12, 2008 {M 1} {x } 1 MI {M 2} {x } 2 CF 2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Entropía del Mezclamiento • La entropía del mezclamiento se obtiene del potencial de Gibbs. Se supuso aquí que los fluidos que se mezclan estén a la misma temperatura y presión. CF 11 T. S 1 p q 1 g 1(T, p). M 1 CF 21 T. S 2 p q 2 g 2(T, p). M 2 Febrero 12, 2008 1 1 1 T. S 1 p q 1 CF 12 g 1 (T, p). M 1 mix Dg 1. M 1 1 RS x 11 T . DSid 1 M 21 g 2 (T, p). M 2 RS © Prof. Dr. François E. Cellier HE PVE x CF 22 mix Dg 2. M 2 11 MI mix T. S 2 p q 2 M T . mix DSid 2 Principio de la presentación 21

Modelado Matemático de Sistemas Físicos CF 11 T 1. S 1 p 1 q 1 1 g 1 (T 1, p 1). M 1 1 . S 1 T 1 mix. S 1 DT 1 p 1 mix q 1 g 1 (T 1, p 1). M 1 1 q 1 Dp 1 mix . M 1 Dg 1 RS CF 12 T 1 mix RS . DS 1 m. RS MI HE PVE 0 CF 21 T 2. S 2 p 2 q 2 g 2(T 2, p 2). M 2 1 1 . S 2 T 2 mix. S 2 DT 2 p 2 mix q 2 g 2 (T 2, p 2). M 2 1 q 2 Dp 2 mix . M 2 Dg 2 RS CF 22 T 2 mix RS m. RS . DS 2 0 Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier También es posible que los fluidos de mezcla tengan inicialmente valores diferentes de temperatura y/o presión. Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Convección en Sistemas con Múltiples Sustancias CF 11 RF PVE HE 3 3 3 Ø PVE HE 3 3 intercambio Ø vertical (mezcla) Ø 3 3 3 CF 22 CF 12 3 3 3 PVE HE 3 RF PVE HE 3 CF 13 Febrero 12, 2008 HE PVE Ø intercambio horizontal (transporte) 3 3 RF PVE HE Ø 3 3 3 PVE HE 3 HE PVE CF 21 3 3 Ø 3 CF 23 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Sistemas convectivos con dos sustancias, dos fases y dos compartimientos Gas HE PVE RF 3 3 3 Ø PVE HE 3 Vges PVE HE Ø Gas 3 3 CF 11 CF 12 Ø Fl. {x , DS , DV } E Fl. CF 21 21 21 {M , T , p } 21 Febrero 12, 2008 21 21 MI 1 3 PVE HE 3 Ø 3 3 {x , DS , DV } E MI 2 3 3 12 E PVE HE Ø 12 E 12 12 RF PVE HE 3 12 12 11 11 11 E 21 3 {x , DS , DV } 3 HE Condensación/ Evaporación PVE 3 Fl. {M , T , p } 3 3 CF 12 {M , T , p } 21 21 E PVE HE 21 E {x , DS , DV } CF 11 3 3 HE PVE RF 3 3 Ø HE Condensación/ Evaporación PVE 3 lindero de fase 3 Ø PVE HE 3 3 3 3 Gas HE Condensación/ Evaporación PVE 3 3 Ø + 3 HE Condensación/ Evaporación PVE 3 PVE HE 3 RF PVE HE 3 + 3 3 CF 22 Vges CF 21 22 E 22 22 Fl. CF 22 {M , T , p } 22 © Prof. Dr. François E. Cellier 22 22 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Intercambio de Concentración • También puede ocurrir que compartimientos vecinos no son totalmente homogéneos. En este caso tienen que intercambiarse también las concentraciones. CFi+1 3 . . . Febrero 12, 2008 3 Ø 3 3 HE PVE 3 CE © Prof. Dr. François E. Cellier Ø 3 Principio de la presentación . . .

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Cellier, F. E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 9. • Greifeneder, J. and F. E. Cellier (2001), “Modeling convective flows using bond graphs, ” Proc. ICBGM’ 01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 276 – 284. • Greifeneder, J. and F. E. Cellier (2001), “Modeling multiphase systems using bond graphs, ” Proc. ICBGM’ 01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 285 – 291. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Greifeneder, J. and F. E. Cellier (2001), “Modeling multielement systems using bond graphs, ” Proc. ESS’ 01, European Simulation Symposium, Marseille, France, pp. 758 – 766. • Greifeneder, J. (2001), Modellierung thermodynamischer Phänomene mittels Bondgraphen, Diploma Project, Institut für Systemdynamik und Regelungstechnik, University of Stuttgart, Germany. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación