Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Tratamiento de Discontinuidades

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Modelado Matemático de Sistemas Físicos Tratamiento de Discontinuidades • En esta presentación trataremos con

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Tratamiento de Discontinuidades • En esta presentación trataremos con el problema de la ocurrencia de discontinuidades en modelos. • Modelos de la ingeniería exhiben frecuentemente discontinuidades que describen situaciones como la conmutación, limitadores, el rozamiento de Coulomb, impulsos y fenómenos similares. • El entorno de modelado debe ser capaz de tratar con estos problemas de forma eficiente, porque influencian fuertemente el comportamiento numérico del “resolvedor” de las ecuaciones diferenciales. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Febrero 8, 2008 Resolvedores de

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Febrero 8, 2008 Resolvedores de ecuaciones diferenciales numéricos Discontinuidades en ecuaciones de estado La integración a través de discontinuidades Eventos en el estado El tratamiento de eventos Funciones multivalores El conmutador eléctrico El diodo ideal El rozamiento © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resolvedores de EDOs Numéricos • Todos los resolvedores numéricos

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resolvedores de EDOs Numéricos • Todos los resolvedores numéricos de EDOs en el mercado de hoy funcionan usando extrapolaciones polinomiales. • El valor de una variable de estado x al instante de tiempo t+h, donde h es el paso de la integración numérica, se aproxima ajustando un polinomio de orden n tal que coincide en n+1 valores conocidos de suporte de x y de dx/dt al instante de tiempo t y a valores del pasado. • El valor del polinomio de extrapolación al instante de tiempo t+h representa la solución aproximada de la ecuación diferencial ordinaria. • En el caso de algoritmos implícitos de la integración se usa también el valor de la derivada del estado al instante de tiempo t+h como un valor de suporte. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ejemplos Algoritmo de integración de Euler explícito de 1

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ejemplos Algoritmo de integración de Euler explícito de 1 er orden: · x(t+h) x(t) + h · x(t) Algoritmo de integración de Euler implícito de 1 er orden: · x(t+h) x(t) + h · x(t+h) Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discontinuidades en Ecuaciones del Estado • Polinomios son siempre

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discontinuidades en Ecuaciones del Estado • Polinomios son siempre funciones continuamente derivables. • Entonces, si las ecuaciones de estado del sistema: y · = f(x(t), t) x(t) • exhiben una discontinuidad, el polinomio de extrapolación aproxima la realidad pobremente. • Por consecuencia exhiben algoritmos de integración con paso fijo un error de integración largo, mientras que algoritmos de integración con paso variable tienen que reducir el tamaño del paso fuertemente en la proximidad de una discontinuidad. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Integración a Través de Discontinuidades • Un algoritmo de

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Integración a Través de Discontinuidades • Un algoritmo de integración con paso variable reduce el tamaño del paso en la proximidad de cada discontinuidad. • Después de pasar por encima de la discontinuidad, el tamaño del paso tiene que alargarse lentamente, porque el algoritmo de la integración no puede distinguir entre una discontinuidad y un punto local de rigidez larga (con un valor absoluto largo de la derivada). h Discontinuidades t Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier El paso se queda constantemente pequeño. La simulación al menos es muy ineficiente, sino incorrecta. Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Eventos en el Estado • Estas problemas pueden evitarse

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Eventos en el Estado • Estas problemas pueden evitarse si se dice al algoritmo de integración de forma explícita cuando y donde ocurren discontinuidades en la descripción del modelo. Ejemplo: El limitador fp f(x) a xm 2 1 fm 3 x xp f = fm f = m·x f = fp m = tg(a) f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ; Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Tratamiento de Eventos I fp xm f(x) a

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Tratamiento de Eventos I fp xm f(x) a xp Iteración x Umbral x xp h t h fm h xp x Cambio del modelo t Evento Febrero 8, 2008 Reducción del paso durante la iteración © Prof. Dr. François E. Cellier h Principio de la presentación t

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Tratamiento de Eventos II h h t Tamaño

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Tratamiento de Eventos II h h t Tamaño del paso en función del tiempo sin tratamiento de eventos Febrero 8, 2008 t Tamaño del paso en función del tiempo con tratamiento de eventos © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Representación de Discontinuidades f = if x < xm

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Representación de Discontinuidades f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ; • En Modelica, discontinuidades se representan por cláusulas if. • En el proceso de la transformación del modelo, estas cláusulas se transformen en descripciones de eventos correctos (conjuntos de modelos condiciones de cambios). • El usuario no tiene que ocuparse de los mecanismos de la descripción adecuada de eventos. Estos se esconden detrás de las cláusulas if. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Problemas • El usuario tiene que tomar en cuenta

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Problemas • El usuario tiene que tomar en cuenta que la solución numérica temporáneamente sale de la región física durante la iteración. q = | Dp = p 1 – p 2 ; abs. Dp = if Dp > 0 then Dp else –Dp ; q = sqrt(abs. Dp) ; • puede ser peligroso, porque abs. Dp puede asumir temporáneamente un valor negativo. Dp = p 1 – p 2 ; abs. Dp = no. Event( if Dp > 0 then Dp else –Dp ) ; q = sqrt(abs. Dp) ; • resuelve el problema. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Construcción “no. Event” Dp = p 1 –

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Construcción “no. Event” Dp = p 1 – p 2 ; abs. Dp = no. Event( if Dp > 0 then Dp else –Dp ) ; q = sqrt(abs. Dp) ; • La construcción no. Event tiene el efecto que cláusulas if y expresiones Booleanas, que normalmente se traducen a códigos de simulación conteniendo descripciones de eventos correctos, se trasfieren directamente a la integración numérica sin modificarlas. • De esa forma se pospone el tratamiento de la discontinuidad hasta el tiempo de la simulación cuando se ocupa el algoritmo de control del paso del problema. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Funciones Multivalores I • Las construcciones sintácticas que introdujimos

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Funciones Multivalores I • Las construcciones sintácticas que introdujimos hasta ahora no sirven para la descripción de funciones multivalores, como por ejemplo la función de histéresis seca enseñada por debajo. f(x) fp xm xp x fm • Si x se hace más grande que xp, f debe cambiar su valor de fm a fp. • Si x se hace más pequeño que xm, f debe cambiar su valor de fp a fm. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Funciones Multivalores II f(x) fp xm xp x fm

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Funciones Multivalores II f(x) fp xm xp x fm when initial() then reinit(f , fp); end when; se hace más grande when x > xp or x < xm then f = if x > 0 then fp else fm; end when; es más grande Febrero 8, 2008 Ejecutado al principio de la simulación. } Esa cláusula se ejecuta solamente cuando x se hace más grande que xp o cuando x se hace más pequeño que xm. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Funciones Multivalores III Febrero 8, 2008 © Prof. Dr.

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Funciones Multivalores III Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Conmutador Eléctrico I i u Si el conmutador

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Conmutador Eléctrico I i u Si el conmutador está abierto, la corriente es i=0. Si el conmutador está cerrado, el voltaje es u=0. 0 = if open then i else u ; La cláusula if de Modelica es no causal. Se ordena en mismo tiempo que todas las demás ecuaciones. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Conmutador Eléctrico II Implementación posible: Conmutador abierto: Sf

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Conmutador Eléctrico II Implementación posible: Conmutador abierto: Sf f=0 Conmutador cerrado: Se Febrero 8, 2008 e=0 Conmutador abierto: s = 1 Conmutador cerrado: s = 0 0 = s·i + (1–s)·u s Sw e f La causalidad del elemento de conmutación es una función del valor de la señal s. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Diodo Ideal I i Conmutador cerrado i u

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Diodo Ideal I i Conmutador cerrado i u u Conmutador abierto Si u < 0, el conmutador está abierto. No corre ninguna corriente. Si u > 0, el conmutador está cerrado. Corriente puede correr. El diodo ideal se comporta como un corte. open = u < 0 ; 0 = if open then i else u ; Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier D f e Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Diodo Ideal II • Como corriente que corre

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Diodo Ideal II • Como corriente que corre a través de un diodo no puede interrumpirse es necesario modificar el modelo del diodo levemente. open = u <= 0 and not i > 0 ; 0 = if open then i else u ; • La variable open tiene que declararse como Booleana. El valor a la derecha de la expresión Booleana se asigna a ella. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Característica del Rozamiento I • Fenómenos más complejos,

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Característica del Rozamiento I • Fenómenos más complejos, como la característica del rozamiento, tienen que analizarse con mucho cuidado caso por caso. • Se habla aquí de como puede hacerse usando el ejemplo del rozamiento. R 0 Rm f. B Rozamiento viscoso v Rozamiento -Rmseco -R 0 Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Si v 0 , la fuerza de rozamiento es una función de la velocidad. Si v = 0 , la fuerza de rozamiento se calcula tal que la velocidad mantiene un valor de 0. Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Característica del Rozamiento II • Distinguimos entre cinco

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Característica del Rozamiento II • Distinguimos entre cinco situaciones: La fuerza de rozamiento compensa la suma de todas las fuerzas conectadas, salvo si |Sf | > R 0. v=0 a=0 Pegado: v>0 Avanzando: v<0 Retrocediendo: v=0 a>0 Empezando a avanzar: v=0 a<0 Empezando a retroceder: Febrero 8, 2008 La fuerza de rozamiento se calcula usando: f. B = Rv · v + Rm. La fuerza de rozamiento se calcula usando: f. B = Rv · v - Rm. La fuerza de rozamiento se calcula usando: f. B = -Rm. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Diagrama de Transición entre Estados • El conjunto

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Diagrama de Transición entre Estados • El conjunto de eventos puede describirse por un diagrama de transición entre estados. Principio v<0 Sf < -R 0 v < 0 Movimiento hacia atrás (v < 0) v>0 Aceleración hacia atrás (a < 0) Febrero 8, 2008 Sf > +R 0 Pegado (a = 0) a 0 and not v < 0 v=0 v > 0 Aceleración hacia adelante (a > 0) Movimiento h. adelante (v > 0) a 0 and not v > 0 v 0 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo del Rozamiento I model Friction; parameter Real

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo del Rozamiento I model Friction; parameter Real R 0, Rm, Rv; parameter Boolean ic=false; Real f. B, fc; Boolean Sticking (final start = ic); Boolean Forward (final start = ic), Backward (final start = ic); Boolean Start. For (final start = ic), Start. Back (final start = ic); f. B = if Forward then Rv*v + Rm else if Backward then Rv*v - Rm else if Start. For then Rm else if Start. Back then -Rm else fc; 0 = if Sticking or initial() then a else fc; Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo del Rozamiento II when Sticking and not

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo del Rozamiento II when Sticking and not initial() then reinit(v, 0); end when; Forward = initial() pre(Start. For) pre(Forward) Backward = initial() pre(Start. Back) pre(Backward) Febrero 8, 2008 and v > 0 or and not v <= 0; and v < 0 or and not v >= 0; © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo del Rozamiento III Start. For = pre(Sticking)

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo del Rozamiento III Start. For = pre(Sticking) and fc > R 0 or pre(Start. For) and not (v > 0 or a <= 0 and not v > 0); Start. Back = pre(Sticking) and fc < -R 0 or pre(Start. Back) and not (v < 0 or a >= 0 and not v < 0); Sticking = not (Forward or Backward or Start. For or Start. Back); end Friction; Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Cellier, F. E. (1979), Combined Continuous/Discrete

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Cellier, F. E. (1979), Combined Continuous/Discrete System Simulation by Use of Digital Computers: Techniques and Tools, Ph. D Dissertation, Swiss Federal Institute of Technology, ETH Zürich, Switzerland. • Elmqvist, H. , F. E. Cellier, and M. Otter (1993), “Objectoriented modeling of hybrid systems, ” Proc. ESS'93, SCS European Simulation Symposium, Delft, The Netherlands, pp. xxxi-xli. • Cellier, F. E. , M. Otter, and H. Elmqvist (1995), “Bond graph modeling of variable structure systems, ” Proc. ICBGM'95, 2 nd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Las Vegas, NV, pp. 49 -55. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Elmqvist, H. , F. E. Cellier,

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Elmqvist, H. , F. E. Cellier, and M. Otter (1994), “Objectoriented modeling of power-electronic circuits using Dymola, ” Proc. CISS'94, First Joint Conference of International Simulation Societies, Zurich, Switzerland, pp. 156 -161. • Glaser, J. S. , F. E. Cellier, and A. F. Witulski (1995), “Object-oriented switching power converter modeling using Dymola with event-handling, ” Proc. OOS'95, SCS Object-Oriented Simulation Conference, Las Vegas, NV, pp. 141 -146. Febrero 8, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación