Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Sistemas Mecnicos en

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Sistemas Mecánicos en el Plano • En esa presentación hablaremos de sistemas mecánicos en el plano que pueden o trasladar o girar en un espacio bidimensional. • Enseñaremos la semejanza entre la descripción matemática de este tipo de sistemas y la de los circuitos eléctricos mencionados en la presentación anterior. • En particular se demostrará que los algoritmos de la manipulación simbólica de formulas (los algoritmos de la ordenación) que introdujimos en la presentación anterior pueden aplicarse a ese nuevo tipo de sistemas igualmente sin ninguna modificación. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Febrero 4, 2008 Elementos lineales de traslado Elementos lineales de giro El principio de d’Alembert Ejemplo de un sistema de traslado La ordenación horizontal © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Elementos Lineales de Traslado m·a = S (fi ) i dv = a dt dx = v dt f 2 • Masa f 1 m f 3 f v 1 • Rozamiento • Muelle Febrero 4, 2008 v 2 B f f = B·(v 1 – v 2 ) B f x 1 k x 2 f © Prof. Dr. François E. Cellier f = k·(x 1 – x 2 ) Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Elementos Lineales de Giro • Inercia 1 • Rozamiento • Muelle Febrero 4, 2008 J 2 B k © Prof. Dr. François E. Cellier J·a = S ( i ) i d = a dt d = dt = B·( 1 – 2 ) = k·( 1 – 2 ) Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Articulaciones sin Grados de Libertad • Nodo (Traslado) xa fb fa xb fc xc • Nodo (Giro) a a fa + f b + f c = 0 b c c Febrero 4, 2008 xa = x b = x c va = v b = v c aa = a b = a c © Prof. Dr. François E. Cellier b a = b = c aa = a b = a c a + b + c = 0 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Articulaciones con un Grado de Libertad • Prismático x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 = y 2 1 = 2 • Cilíndrico 2 1 x 1 = x 2 y 1 = y 2 • Tijeras Febrero 4, 2008 1 2 1 2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Principio de d’Alembert • Introduciendo una fuerza inercial: fm = - m·a la segunda ley de Newton: m·a = S (fi ) i puede convertirse a una ley de la forma: S (fi ) = 0 i Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Convenciones de Signo x fm d(m·v) dt fk = + k·(x – x. Neighbor ) f. B = + B·(v – v. Neighbor ) fm = + m fk f. B x m fm fk f. B Febrero 4, 2008 d(m·v) fm = dt fk = - k·(x – x. Neighbor ) f. B = - B·(v – v. Neighbor ) © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos 1. Ejemplo (Traslado) Vista Esquemática Vista Topológica Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos 1. Ejemplo (Traslado) II El sistema se corta entre las masas individuales y se introducen fuerzas de corte. Ahora el principio de d’Alembert puede aplicarse a cada cuerpo por separado. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos 1. Ejemplo (continuado) F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 FI 1 = m 1· dv 1 dt dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal I F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 FI 1 = m 1· dv 1 dt dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt Febrero 4, 2008 F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 dv 1 dt FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FI 1 = m 1· FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 © Prof. Dr. François E. Cellier FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal II F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 FI 1 = m 1· dv 1 dt dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt Febrero 4, 2008 F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 dv 1 dt FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FI 1 = m 1· FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 © Prof. Dr. François E. Cellier FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal III F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 FI 1 = m 1· dv 1 dt dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt Febrero 4, 2008 F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 dv 1 dt FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FI 1 = m 1· FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 © Prof. Dr. François E. Cellier FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal IV FI 3 = F(t) - FBa - FBb FI 2 = FBa - FBc - FB 2 - Fk 2 FI 1 = FBb + FB 2 - FBd - Fk 1 F(t) = FI 3 + FBa + FBb FBa = FI 2 + FBc + FB 2 + Fk 2 FBb + FB 2 = FI 1 + FBd + Fk 1 dv FI 1 = m 1· 1 dt dx 1 = v 1 dt dv FI 2 = m 2· 2 dt dx 2 = v 2 dt dv FI 3 = m 3· 3 dt dx 3 = v 3 dt Febrero 4, 2008 FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) Fk 1 = k 1· x 1 Fk 2 = k 2· x 2 dv 1 dt dx 1 dt dv 2 dt dx 2 dt dv 3 dt dx 3 dt = FI 1 / m 1 FBa = B 1· (v 3 – v 2 ) = v 1 FBb = B 1· (v 3 – v 1 ) = FI 2 / m 2 FBc = B 1· v 2 FBd = B 1· v 1 = v 2 FB 2 = B 2· (v 2 – v 1 ) = FI 3 / m 3 Fk 1 = k 1· x 1 = v 3 © Prof. Dr. François E. Cellier Fk 2 = k 2· x 2 Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Algoritmo de Ordenación • El algoritmo de la ordenación funciona exactamente como antes en el caso de los circuitos eléctricos. No depende de la aplicación. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias • Cellier, F. E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 4. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación