Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Flujos de Masas

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos de Masas Convectivos I • En esta presentación empezamos a hablar del tema de la convección que es un tema bastante duro. • La termodinámica irreversible trata con fenómenos puramente térmicos y con fenómenos de la conversión de energía libre a calor. • En la termodinámica reversible la situación se complica porque se encuentran flujos de masa en paralelo con los flujos de energía. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • Febrero 12, 2008 Flujos de masa y de entropía Fluidos desplazándose en un tubillo La ecuación de las ondas Flujos forzados Turbinas Compresores y bombas Flujo de calor Pérdidas en el transporte de masas © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos de Masas y de la Entropía • Aunque existen fenómenos físicos que ocurren en el campo térmico exclusivamente, no existen flujos de masa que no son acompañados por flujos de entropía. • El problema tiene que ver con la observación que flujos de masa siempre llevan consigo su volumen y su calor almacenado. Por eso no tiene sentido modelar uno sin otro. • La circulación de aguas dentro de la Biosfera 2 sirva como ejemplo. Los fenómenos térmicos del ciclo de aguas no puede describirse de una forma correcta sin tomar en cuenta los flujos de masa (o al menos los caudales) en mismo tiempo. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Fluido Desplazándose en un Tubillo I • Empezamos modelando otra vez el flujo de un fluido (liquido o gas) a través de un tubillo. • El tubillo puede subdividirse en segmentos de la longitud x. • Si más fluido llega a un segmento que sale de el, la presión del fluido en el segmento crece. El fluido se comprime. qein p Febrero 12, 2008 qaus dp dt = c · ( qein – qaus ) © Prof. Dr. François E. Cellier p q C : 1/c Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Fluido Desplazándose en un Tubillo II • Si la presión en la entrada de un segmento es más alta que en la salida, el fluido se acelera. Ese efecto es causado por la naturaleza mecánica del fluido. La presión es proporcional a una fuerza y el volumen es proporcional a la masa. Por consecuencia se trata de un fenómeno inductivo. Describe la inercia de la masa acelerada. pein dq dt = k · ( pein – paus ) q p q I : 1/k paus Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Fluido Desplazándose en un Tubillo III • Entonces podemos proponer el gráfico de ligaduras siguiente: C . . . 0 C C qi 1 I Febrero 12, 2008 C qi-1 0 pi qi 1 pi+1 0 1 0. . . pi I © Prof. Dr. François E. Cellier I Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Capacidades y Inductancias • Aunque la inductancia hidráulica/neumática describe el mismo fenómeno físico que la inductancia mecánica, usa unidades diferentes. dp q = C · dt dq p = L · dt Febrero 12, 2008 [C] = [ q] / [dp/dt] = [L] = [ p] / [dq/dt] = [ L·C ] = s m 3 ·s-1 N·m-2 m 3 ·s-2 = m 4·s 2·kg-1 = kg·m-4 todavía es una constante de tiempo © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Ecuación de las Ondas I • Cada libro de la física nos informa que un fluido desplazándose en un tubillo satisface la ecuación de las ondas. 2 p 2 =c · t 2 x 2 • La discretización en el espacio produce: d 2 pk c 2 · ( pk+1 – 2 · pk + pk-1 ) = 2 2 x dt x 2 (c) Febrero 12, 2008 d 2 pk · = pk+1 – 2 · pk + pk-1 dt 2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Ecuación de las Ondas II • El circuito siguiente puede servir para el modelado de ese fenómeno: i. L 1 v i-1 L L vi i. C i. L 2 v i+1 C v 0 = 0 Febrero 12, 2008 d 2 vi (L · C) · 2 = vi+1 – 2·vi + vi-1 dt dvi /dt = i. C /C i. C = i. L 1 – i. L 2 vi-1 – vi = L· di. L 1 /dt vi – vi+1 = L· di. L 2 /dt C·d 2 vi /dt 2 = di. C /dt = di. L 1 /dt – di. L 2 /dt vi-1 – vi = L· di. L 1 /dt vi – vi+1 = L· di. L 2 /dt © Prof. Dr. François E. Cellier c= x L·C Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Ecuación de las Ondas III • Una cadena de tal elementos corresponde al gráfico de ligaduras propuesto: L L L C C . . . 0 C 1 I Febrero 12, 2008 L 0 C 1 I © Prof. Dr. François E. Cellier 0 C 1 I Principio de la presentación 0. . .

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos Forzados I • Se puede pensar que un flujo forzado pueda modelarse usando dos fuentes de flujos moduladas: C . . . 0 C C 1 I 0 q Sf q 0 Sf q C 1 0. . . I ¿Qué pasa con la energía al punto donde la cadena se rompió? Como los flujos a la izquierda y a la derecha son idénticos (conservación de masa), tiene sentido unir las dos fuentes. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos Forzados II C . . . 0 C 1 0 I C q p 1 q Sf p 2 q 0 C 1 I Se Desagraciadamente encontramos un pequeño problema: ¡la conservación de la energía es violada! 0. . . Flujos no pueden forzarse sin añadir energía al sistema. Parece que el problema debe investigarse con más cuidado. . . Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Turbina I • Miraremos que pasa si la pala de la turbina está en el camino de un flujo de masa que ocurre por razones externas al modelo. • La diferencia de la presión de los dos lados de la pala genera una fuerza que produce un par de torsión en la turbina. • El par de torsión generado es proporcional a la diferencia entre los dos valores de la presión y por consecuencia nos damos cuenta que se tiene que incluir un transformador en el gráfico de ligaduras. • Si la turbina se diseñó de forma óptima, la diferencia de presión se convierte completamente a un par de torsión, es decir no se queda ninguna energía hidráulica que pueda almacenarse en un elemento de inductancia. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Turbina II C . . . 0 C 1 0 I C pi qi pi+1 1 qi qi pi 0 C 1 0. . . I TF I: J 1 R: B La diferencia de presión pi produce un par de torsión . Aquello por su parte genera una velocidad angular en la turbina que induce un flujo qi en el lado hidráulico. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Compresores y Bombas I • Es posible también cambiar causa y efecto. Podemos generar un par de torsión en la turbina usando un motor eléctrico conectado con el eje de la turbina. La turbina combinada con el motor sirve ahora o de compresor o de bomba. El sistema induce un flujo qi al lado hidráulico que causa una diferencia de presión correspondiente. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Compresores y Bombas II C C I . . . 0 1 0 C pi qi 1 pi+1 qi 0 C 1 pi qi Tubillo de aguas TF I: La I Se u 1 Motor CD GY m 1 R: Ra Febrero 12, 2008 ui 0. . . R: B compresor / bomba El motor CD con la bomba remplaza la fuente de flujo modulada que se había propuesto antes. I: J © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos de Calor I • Entretanto entendemos como deben modelarse los flujos de masa. Sin embargo, la masa que se mueve siempre lleva consigo so calor interno. • Si modelamos fenómenos térmicos es entonces importante representar correctamente estos flujos de calor que no son disipativos. . . Depósito V, S Febrero 12, 2008 S q Flujo de calor Flujo de masa © Prof. Dr. François E. Cellier S=q S V . S = (S/V) · q Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos de Calor II • El flujo de calor que resulta puede representarse de verdad ley de conservación de energía no es como una fuente de flujo modulada. La violada, porque la entropía no se conserva. . 0 Cth C . . . 0 Sf S/V Ti Ti+1 0. Sf. Si Cth C . S Six 0 Sf 0 Cth C S/V Cth C 0 1 i S/V qi 1 0 pi qi 1 pi+1 qi 0. . . pi qi I Febrero 12, 2008 TF © Prof. Dr. François E. Cellier I Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Pérdidas del Transporte de Masas • El transporte de fluidos siempre es asociado con pérdidas a causa de rozamiento. . 0 Sf Ti Ti+1 Si Six 0. Sf. . S Cth C . . . 0 S/V RS 1 Cth C 0 0 Sf 0 i S/V qi pi qi RS 1 pi+1 qi Cth C S/V 0 RS Cth C 1 0. . . pi qi I Febrero 12, 2008 TF © Prof. Dr. François E. Cellier I Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones • Entretanto entendamos que la causa del flujo de calor convectivo se encuentra en el flujo de masa. • El transporte de masa se modela usando la ecuación de las ondas, donde flujos forzados (bombas, compresores) remplazan las inductancias al sitio del forzamiento. • El flujo de calor es una consecuencia del flujo de masa y puede modelarse usando fuentes de flujo moduladas. • Pérdidas de rozamiento pueden añadirse al modelo donde y cuando se necesitan. Febrero 12, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación