Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos La Termodinmica Hasta

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Termodinámica • Hasta ahora no mencionamos el campo de la termodinámica. Sin embargo es fundamental para el entendimiento de la física. • Se mencionó que energía no puede ni generarse ni destruirse. . . sin embargo, introdujimos elementos como las fuentes y los resistores que no deberían existir por consecuencia de esa observación. • En esa presentación se analizaran estos fenómenos en más detalles. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Febrero 6, 2008 Fuentes y sumideros de energía La termodinámica irreversible La conducción de calor El flujo de calor Resistores y capacidades térmicos La radiación © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Fuentes y Sumideros de Energía. Lindero del sistema físico (la pared) k·U 0 T S 1 Modelo térmico (modelo externo) T . Se i 0 /k El otro lado de la pared (modelo externo) S 2 Toma de corriente, pila Modelo eléctrico (modelo interno) Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Lindero del sistema matemático (campos diferentes) Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Fuente Resistiva • El resistor convierte energía libre de forma irreversible en entropía. • Este concepto se representa en el gráfico de ligaduras por una fuente resistiva, el elemento RS. • La causalidad del lado térmico es fija. El resistor siempre opera como una fuente de entropía y nunca como una fuente de temperatura. • Fuentes de temperatura no representan un concepto físico. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Conducción de Calor I • La conducción de calor en una barra bien aislada puede describirse por la ecuación de la conducción de calor en una dimensión: • La discretización en el espacio nos da: Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Conducción de Calor II • Por consecuencia se puede considerar el circuito eléctrico equivalente: dvi /dt = i. C /C i. C = i. R 1 – i. R 2 vi-1 – vi = R· i. R 1 vi – vi+1 = R· i. R 2 Febrero 6, 2008 dvi /dt = (i. R 1 – i. R 2 ) /C = (vi+1 – 2·vi + vi-1 ) /(R · C) dvi (R · C)· dt = vi+1 – 2·vi + vi-1 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Conducción de Calor III • Por consecuencia puede describirse la conducción de calor por una serie de circuitos T: • En la representación por gráficos de ligaduras: Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Conducción de Calor IV • Este gráfico de ligaduras es muy bonito. . . Tiene una sola desventaja. . . Es seguramente incorrecto! . No hay sumideros de energía! Puede ser razonable usar resistores en circuitos eléctricos si el campo térmico no es de interés. Sin embargo no tiene sentido usar resistores si el modelo mismo ya opera en el campo térmico. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Conducción de Calor V • El problema puede corregirse fácilmente remplazando cada resistor por una fuente resistiva. • El gradiente de la temperatura produce entropía adicional que se inserta en la unión 0 más próxima. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Conducción de Calor VI • Ese modelo ofrece una buena aproximación de la realidad física. Desafortunadamente el gráfico de ligaduras que resulta es asimétrico, aunque la ecuación de la conducción de calor es simétrica. • Una corrección adicional remueve la asimetría. . S i-1 RS 1 . S. RS iy 0 Si-1 Ti C Febrero 6, 2008 Ti Ti . S i-1 Ti. Si-1. Ti Si-1 2 2 Ti 0 1 RS . S Ti+1 RS ix Ti+1 . S i-1 0 . 1 Si Ti+1 C © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Flujos de Calor • La potencia térmica es el flujo de calor d. Q/dt. En los gráficos de ligaduras se calcula de dos variables térmicas adjuntas: · P = Q = T·S· • También es posible tratar el flujo de calor como la variable principal física y deducir de ella una ecuación para calcular el valor de la entropía: · · S=Q/T Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Variables R y C I • Una barra bien aislada conduce calor en proporción al gradiente de la temperatura. · = ( · T) · S· = R · S· DT = · Q· = · (T · S) • donde: = l 1 · Al Febrero 6, 2008 R= ·T = resistencia térmica l = conductancia térmica específica l = longitud de la barra A = sección transversal de la barra Dx · T R= ·T= l·A Dx = longitud de un segmento © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Variables R y C II • Una barra bien aislada almacena calor conforme a la ley: explicado más tarde d. T · = T·DS· DQ· = g · dt = D(T·S) • donde: g=c·m m=r·V Febrero 6, 2008 C=g /T d. T g d. T DS·= T · dt = C· dt g = capacidad de almacenar calor c = capacidad específica de calor m = masa de la barra r = densidad del material V = volumen de un segmento © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Variables R y C III C = g / T = c · r · V / T = c · r · A · Dx / T R·C= ·g= c·r l 1 · Dx 2 = · Dx 2 • La constante de tiempo de la difusión R·C es independiente de la temperatura. • La resistencia térmica es proporcional a la temperatura. • La capacidad térmica es proporcional al inverso de la temperatura. • Los elementos R y C térmicos son, en contraposición a los elementos R y C de los campos eléctricos y mecánicos, no constantes. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos ¿Es la “Capacidad” Térmica Verdaderamente una Capacidad? • Tenemos que verificar que la ley deducida no es en violación de la regla general de las leyes capacitivas. g d. T · DS = T · dt g de f = e · dt q = g · ln(e) q es en efecto una función no lineal de e. Por consecuencia, la regla general de las leyes capacitivas satisface la ley deducida. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de R para el Gráfico de Ligaduras Modificado • El valor de la resistencia térmica se calculó para la configuración original del circuito. Tenemos que analizar, cuales son los efectos de la simetrización del gráfico de ligaduras sobre el valor de la resistencia térmica. • Es cierto que se puede remplazar el resistor original por dos resistores de tamaño doble conectados en paralelo: 2 R 2 R R C C C 2 R 1 C 0 1 C Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier 2 R Principio de la presentación 0 C

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modificación del Gráfico de Ligaduras • El gráfico de ligaduras puede modificarse usando la regla del diamante: 2 R 1 0 C 1 2 R 0 C 2 R 0 1 0 C C • Aquella es exactamente la estructura usada en el gráfico de ligaduras simétrico. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Radiación I • Un segundo fenómeno fundamental de la termodinámica es la radiación. Se describe por la ley de Stephan-Boltzmann. = ·T 4 • El calor emitido es proporcional a la radiación y a la superficie emitiendo. . Q= ·A·T 4 • Por consecuencia es la entropía emitida proporcional a la tercera potencia de la temperatura absoluta. . S= ·A·T 3 Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Radiación II • La radiación describe un fenómeno de disipación (lo. sabemos a causa de la relación estática entre T y S). • Por consecuencia puede evaluarse la resistencia de la manera siguiente: . R = T / S = 1 / ( · A · T 2) • La resistencia de la radiación es proporcional al inverso del cuadrado de la temperatura absoluta. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Radiación III Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias • Cellier, F. E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 8. Febrero 6, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación