Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Grficos de Ligaduras

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Gráficos de Ligaduras Múltiples • En esta presentación hablaremos de vectores de ligaduras, llamados ligaduras múltiples. • Tratando con sistemas de la mecánica en dos y tres dimensiones, el principio de d’Alembert tiene que aplicarse a cada grado de libertad por separado. • Cada ecuación tiene la misma estructura. • Entonces es muy natural buscar una metodología que nos permite trabajar con ligaduras múltiples. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • El péndulo en el plano Ligaduras múltiples La biblioteca de los gráficos de ligaduras múltiples Principios básicos de las ligaduras múltiples Transformadores multipuertas Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano • Modelamos el péndulo en el plano siguiente: Restricción holonómica Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos m dvx = -F sin(φ) dt x = ℓ sin(φ) . vx = ℓ cos(φ) φ y = ℓ cos(φ) . vy = -ℓ sin(φ) φ m dvy = -F cos(φ) + mg dt Se: mg vy mg x Dq vx 0 F sin(φ) 1 vx vx Fx F sin(φ) 0 F cos(φ) . TF. ℓ cos(φ) φ ℓ sin(φ) φ φ 0 vy F cos(φ) vy Fy Conflicto de Causalidad I: m φ = asin( x / ℓ ) Febrero 11, 2008 1 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Análisis de los Resultados Era posible describir el movimiento del péndulo en el plano por un gráfico de ligaduras aumentado por ligaduras activadas que representan la restricción holonómica. Desagraciadamente no nos enseña el gráfico de ligaduras mucho que no ya sabíamos antes. v No debería ser necesario derivar las ecuaciones por primero con la tarea de derivar el gráfico de ligaduras de ellas. v El gráfico de ligaduras que resultó no guardó las propiedades topológicas del sistema en ninguna forma reconocible. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ligaduras Múltiples • Los gráficos de ligaduras múltiples representan una extensión vectorial de los gráficos de ligaduras regulares. • Una ligadura múltiple contiene un cierto número de ligaduras individuales de campos idénticos o al menos muy similares. fx vx fy vy τ } f 3 v Composición de ligaduras múltiples para la mecánica en el plano • Todos los modelos de elementos de gráficos de ligaduras se ajustan de una manera adecuada. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Biblioteca de Gráficos de Ligaduras Múltiples • Una biblioteca de Dymola para el modelado de sistemas usando gráficos de ligaduras múltiples fue desarrollada. Se llama Multi. Bond. Lib. • La biblioteca se diseñó con una interfaz que es muy similar a la interfaz de la biblioteca Bond. Lib original. • Exactamente como en el caso de la biblioteca Bond. Lib, también la nueva biblioteca contiene carpetas con modelos envasados para el suporte de campos de aplicaciones particulares, especialmente para el campo de la mecánica. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano III Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano IV Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano V Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano VI Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano VII Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano VIII Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano IX Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano X Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano XI Vector de señales no causales Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano XII Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples • Los modelos básicos de ligaduras múltiples no contienen mucho que nos sorprende. Representan extensiones naturales de los modelos de ligaduras regulares. • Sin embargo vale la pena mencionar algunos puntos. Por primero existe el “defaults model” que tiene que incluirse en cada modelo usando ligaduras múltiples. Contiene un solo parámetro, el parámetro dimensional n, que especifica cuantas ligaduras hay por defecto en una ligadura múltiple. • El defaults model tiene que referirse en cada modelo de gráficos de ligaduras múltiples como un “outer model”. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples II • Si el modelo de gráficos de ligaduras múltiples hereda uno de los modelos parciales de la biblioteca Multi. Bond. Lib, el usuario no tiene que ocuparse de ese detalle más. Ya está hecho. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples III • Una segunda diferencia entre las dos bibliotecas tiene que ver con el use de las uniones. Mientras que Bond. Lib ofrece modelos separados de uniones con 2. . 6 conexiones, la biblioteca Multi. Bond. Lib ofrece solamente uniones con 4 o 8 conectadores. Sin embargo es posible dejar desconectados algunos de los conectadores. • Una tercera diferencia es en el uso de los transformadores y giradores. La biblioteca Multi. Bond. Lib ofrece una selección mucho más grande de modelos diferentes de transformadores y giradores en comparación con la biblioteca Bond. Lib. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Transformadores Multipuertas e 1 f 1 TF M e 2 Transformación: e 1 = M · e 2 (1) f 2 Conservación de energía: e 1 T · f 1 = e 2 T · f 2 (2) (M ·e 2 )T · f 1 = e 2 T · f 2 (3) f 2 = M T · f 1 (4) El transformador multipuertas puede describirse por medio de las ecuaciones (1) y (2) o usando la ecuaciones (1) y (4). Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Transformadores Multipuertas II • El transformador que se asemeja más al elemento TF de la biblioteca Bond. Lib es el transformador multipuertas de flujo. Los números de ligaduras incluidas en las ligaduras múltiples de los dos lados no tienen que ser idénticos. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Transformadores Multipuertas III • Sin embargo, como la matriz M no tiene que poseer una inversa, también se necesita un transformador multipuertas del esfuerzo. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Transformadores Multipuertas IV • También se ofrecen versiones moduladas de transformadores y giradores multipuertas. • Sin embargo, todavía no es suficiente. Se necesitan modelos de transformadores especiales para varias aplicaciones, porque se usan frecuentemente en la mecánica. • Ya encontramos el transformador de traslado. • También se ofrece un transformador prismático. • Los transformadores especiales se encuentran en la carpeta de los modelos de la mecánica en dos dimensiones porque son útiles solamente en este contexto. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Transformadores Multipuertas V Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples IV • Finalmente, aunque la biblioteca ofrece bloques de ligaduras múltiples causales también, estos son menos útiles que en el caso de los gráficos de ligaduras regulares, porque muchas ligaduras múltiples tienen una causalidad mixta. Por eso no se usan mucho las ligaduras múltiples causales. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Péndulo en el Plano XIII causalidad mixta Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Zimmer, D. (2006), A Modelica Library for Multi. Bond Graphs and its Application in 3 DMechanics, MS Thesis, Dept. of Computer Science, ETH Zurich. • Zimmer, D. and F. E. Cellier (2006), “The Modelica Multi-bond Graph Library, ” Proc. 5 th Intl. Modelica Conference, Vienna, Austria, Vol. 2, pp. 559 -568. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Febrero 11, 2008 Cellier, F. E. and D. Zimmer (2006), “Wrapping Multi-bond Graphs: A Structured Approach to Modeling Complex Multi-body Dynamics, ” Proc. 20 th European Conference on Modeling and Simulation, Bonn, Germany, pp. 7 -13. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación