Matemtica 3 Srie Distncia entre dois pontos e

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3ª ano Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento PLANO CARTESIANO v O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si, tendo a origem comum no ponto O. Chamamos de eixo das abscissas ao eixo horizontal (eixo dos x). Chamamos de eixo das ordenadas ao eixo vertical (eixo dos y). Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que chamamos de quadrantes.

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento PLANO CARTESIANO Eixo das ordenadas y 2º quadrante 1º quadrante O (0, 0) Origem 3º quadrante 4º quadrante x Eixo das abscissas

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento COORDENADAS NO PLANO v A localização de um ponto P(xp, yp) no plano cartesiano é feita pelas suas coordenadas (abscissa e ordenada). y P(3, 4) P 4 ü 3 é a abscissa de P; ü 4 é a ordenada de P; ü 3 e 4 são as coordenadas de P; O 3 x ü Em geral: P(x, y)

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento SINAIS NO PLANO y + + x = 0 y = 0 – + x O( 0, 0) – –

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento BISSETRIZES DOS QUADRANTES y 2ª bissetriz 1ª bissetriz x = y x = – y (abscissa = ordenada) (abscissa = - ordenada) x

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento DIST NCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO v Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (x. A, y. A) e (x. B, y. B), respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras. y A y. A C y. B x. A ü Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: 0 (AB)2 = (BC)2 + (AC)2 B x (AB)2 = |x. B – x. A|2 + |y. B – y. A|2

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO v (UFC) Se o triângulo de vértices nos pontos A(0, 0); B(3, 1) e C(2, k) é retângulo em B, então k é igual a: A(0, 0) Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: (d. AC)² = (d. AB)² + (d. BC)² (2 -0)² + (k-0)² = (3 -0)² + (1 -0)² + (3 -2)² + (1 -k)² B(3, 1) C(2, k) (Operando os quadrados semelhantes): 2 k = 8 k = 4 e termos

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO v Observe que o ponto M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes: AM e MB. As projeções de A, M e B nos eixos Ox e Oy formam segmentos que mantêm as mesmas relações. ü Determinando a abcissa x. M do ponto médio M, temos: y A y. A M B y. B x. A x. M = y. M 0 x. B x x. A + x B 2 ü Determinando a ordenada y. M do ponto médio M, temos: y. M = y. A + y B 2

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO 1 v (FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(5, -2) e B(-1, -4) são: Seja M(x. M, y. M) o ponto médio, então: x. M = x. A + x. B 2 = 5 + (-1) = 2 2 y. M = y. A + y. B 2 = -2 + (-4) = -3 2 M(2, -3)

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO 2 v (U. Juiz Fora -MG) Se (2, 1); (3, 3) e (6, 2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? A No triângulo, usaremos a fórmula do ponto médio em cada um de seus lados: x. A + x. C = 2 y. A + yc = 1 2 x. A + x. B = 3 y. A + y. B = 3 2 x. B + x. C = 6 y. B + y. C = 2 2 2 (2, 1) (3, 3) B (6, 2) C Resolvendo os sistemas, temos: A(1, 2), B(7, 4) e C(5, 0)

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO 3 v Encontrar o ponto simétrico de P(1, – 1) em relação ao ponto Q(– 2, 3). R(a, b) Q(– 2, 3) P(1, – 1) – 2 = 3 = a + 1 2 b – 1 2 ⇒ a + 1 = – 4 ⇒ a = – 5 ⇒ R (– 5, 7) ⇒ b – 1 = 6 ⇒ b = 7

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento MEDIANA v Segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto ao meio. A(x. A , y. A) G é chamado BARICENTRO (ponto de encontro das medianas) do Triângulo. AG = 2/3 AM 1 GM = 1/3 AM 1 M 3 G G(x. G , y. G) M 2 x. G = x. A + x. B + x. C 3 y. G = y. A + y. B + y. C B(x. B , y. B) M 1 C(x. C , y. C) 3

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO v (FEI) Dado um triângulo de vértices (1, 1), (3, 1) e (-1, 3) calcular o seu baricentro. O baricentro G(x. G , y. G) é o ponto de encontro das medianas, logo: x. G = x. A + x. B + x. C = 1 + 3 + (-1) = 1 3 y. G = y. A + y. B + y. C = 1 + 3 = 5/3 3 G(1; 5/3)

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento APLICAÇÕES - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS v Considere os pontos A(x. A , y. A), B(x. B , y. B) , C(x. C , y. C) e D = y C y. C B x. A y. A 1 y. B x. B y. B 1 y. A A x. C y. C 1 0 x. A ü D = 0 A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados ü D 0 A, B e C formam um triângulo. x. B x. C x

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO 1 v (PUC) Os pontos A(-1, 2), B(3, 1) e C(a, b) são colineares. Para que C esteja sobre o eixo das abscissas, quanto valem a e b? C sobre o eixo das abcissas C(a, 0) A, B e C são colineares det = 0 -1 2 1 Portanto: = 0 3 1 1 a a = 7 C(7; 0) 0 1

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO 2 v (PUC) Os pontos A(k, 0), B(1, -2) e C(3, 2) são vértices de um triângulo. Calcular k. A, B e C são pontos não alinhados det 0, ou seja: k 0 1 1 -2 1 0 k 2 3 2 1

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento APLICAÇÕES - ÁREA DE UM TRI NGULO v Se A(x. A, y. A), B(x. B, y. B) e C(x. C, y. C) são os vértices de um triângulo. Para calcular a área do triângulo ABC, utilizando determinantes, devemos fazer: ü Calcular o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vértices. D = y x. A y. A 1 y. B x. B y. B 1 y. C x. C y. C 1 ü A área do triângulo é metade do módulo desse determinante. A ABC = |D| 2 y. A 0 B C A x. B x. C x

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXEMPLO v Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices? y C 5 B 3 1 A 2 4 6 x

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento AT = AMNP – (AT 1 + AT 2 + AT 3) y 5 C P ② ① AT 1 = (CP. AP)/2 = (4. 2)/2 = 4 B 3 1 AMNP = AM. AP = 4. 4 = 16 N AT 2 = (CN. BN)/2 = (2. 2)/2 = 2 ③M A 2 4 6 AT 3 = (AM. BM)/2 = (4. 2)/2 = 4 x AT = 16 – (4 + 2 + 4) AT = 6

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento y 5 C P ② ① B 3 1 N 2 4 6 1 1 2 1 6 3 4 5 1 4 5 +6 +4 +30 – 12 – 10 – 6 ③M A 2 D = – 28 + 40 = 12 x |D| |12| Área = = = 6 2 2

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Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 1) (FGV) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(0, 0), Q(6, 0) e R(3, 5), é: a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo.

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 2) (Fuvest–SP) A distância entre os pontos M(4, -5) e N(-1, 7) do plano cartesiano x 0 y vale: a) 14 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 3) (PUC-SP) A(3, 5), B(1, -1) e C(x, -16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a: a) -5 b) -1 c) -3 d) -4 e) -2

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 4) (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (– 2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é: a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 5) (Vunesp) Os pares ordenados A (0, 0); B (4, 0); C (4, 4) e D (0, 4) são os vértices de um quadrado. O ponto M divide a diagonal BD em dois segmentos congruentes. Então, M é: a) (2, 2) b) (0, 4) c) (5, 6) d) (2, 4) e) (4, 0)

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento 6) (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0), B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento. P(15/2 ; 15/2)

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para a representação geométrica e algébrica de ponto e reta, bem como o cálculo de distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //www. baixaki. com. br/download/geogebra. htm.

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento REFERÊNCIAS Sites: v v http: //www. mundoeducacao. com. br/matematica/distancia-entre-dois-pontos. htm http: //www. brasilescola. com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta. htm http: //www. mundoeducacao. com. br/matematica/ponto-medio-um-seguimentoreta. htm Livros: v I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. v Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. v I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.