Distncias Distncia entre dois pontos n Sejam Ax

Distâncias

Distância entre dois pontos n Sejam A(x 1, y 1, z 1) e B(x 2, y 2, z 2) então d(a, b) = |AB|

Exercício n Mostrar que o ponto p(2, 2, 3) é equidistante dos pontos A(1, 4, -2) e B(3, 7, 5)

n Determinar no eixo das ordenadas, um ponto equidistante de A(1, 1, 4) e B(-6, 6, 4)

Distância de um ponto a uma reta n Seja r: A(x 1, y 1, z 1), v=(a, b, c) n Seja B(x 0, y 0, z 0) um ponto qualquer do espaço n Os vetores v e AB determinam um paralelogramo

B d A V

n Área do paralelogramo é dada por |v|d n Mas também é |AB x v| n Daí d= |AB x v| / |v|

Exercício n Calcular a distância de P(1, 2, 3) à reta r: x=1 -2 t, y=2 t, z=2 -t

n Calcular a distância de P(1, 2, 3) à cada um dos eixos coordenados

n Seja o triângulo ABC, A(-3, 1, 4), B(-4, -1, 0) e C(-4, 3, 5) n Calcular a altura relativa ao lado BC

Distância entre duas retas n Caso as retas sejam concorrentes d(r, s)=0 n Retas Paralelas p r d s n d(r, s)=d(p, s)

Retas Reversas n Sejam r: p 1(x 1, y 1, z 1), u=(a 1, b 1, c 1) e s: p 2(x 2, y 2, z 2), v=(a 2, b 2, c 2) retas reversas n Os vetores u, v e p 1 p 2 determinam um paralelepípedo

n Volume = base. Altura = |u x v|. Altura n Altura = d(r, s) n Como calcular o volume?

n |[u, v, p 1 p 2]|=|u x v|*d(r, s) n d(r, s)=|[u, v, p 1 p 2]|/|u x v|

Exercício n Calcular a distância entre as retas r: x=0, y=z e s: y=3, z=2 x

n Calcular a distancia entre r que passa pelos pontos A(1, 0, 1) e B(-1, 0) s que passa pelos pontos C(0, 1, -2) e D(1, 1, 1)

n Calcular a distância entre r: x=y=z-2 e s: y=x+1, z=x-3

Distância de um ponto a um plano n Seja um ponto B(x 0, y 0, z 0) e um plano π ax+by+cz+d=0 B n π P A

n P є π, A є π é o pé da perpendicular baixada de B sobre o plano π n Note que o vetor AB é a projeção do vetor PB sobre o vetor normal n=(a, b, c)

n Assim, d(B, π)=|AB| = proj n PB = |(PB. n°)n°| = |PB. n| / |n|

n Como P є π ax+by+cz+d=0 -> d=-ax-by-cz

Exercício n Calcule d(P(2, -1, 2), π) onde π: 2 x-y-z+3=0

n Calcule d(P(2, -1, 2), π) onde π: 2 x+y=3

n Calcule d(A, π) onde A(0, 0, 0) e π: x=2 h+2 t, y=1+3 h-t, z=-t

n Escrever as equações dos planos π’ paralelo ao plano π 3 x-2 y-6 z-5=0 que distam 5 unidades da origem

Distância entre 2 planos A distância entre 2 planos é definida somente quando os planos são paralelos n d(pi 1, pi 2)=d(P, pi 2) com P in pi 1 n

n Calcular a distância entre os planos paralelos: π1: 2 x+2 y+2 z-5=0 e π2: x+y+z-3=0

Distância de uma reta a um plano n Temos que ter r//π e neste caso d(r, π) = d(P, π) com P є r

n Determinar a distância da reta r: x=3, y=4 ao plano x. Oz

n Determinar a distância da reta r: x=3, y=4 ao plano y. Oz

n Determinar a distância da reta r: x=3, y=4 ao eixo z