Vetores no R 3 Produzido pelo Prof Dr

Vetores no R 3 Produzido pelo Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Março - 2009

Representação de um ponto no R 3 P(x, y, z) Z z P(x, y, z) O x X y Y

Representação de um ponto no 2º Octante P(-3, 3, 2) Z P 2 -3 O Y 3 X

Representação de um vetor no R 3 P(x, y, z) v Podemos identificar o vetor com o ponto P, ou seja, Z v ≡ P(x, y, z) z v O x X P(x, y, z) y Y

Expressão Cartesiana de um vetor no R 3 Sejam i , j e k vetores unitários do R 3 , ou seja, | i | = | j | = | k | = 1 Z z v = xi + yj + zk zk v k yj i x X xi P(x, y, z) j xi + yj zk y Y Módulo

Cossenos Diretores de um vetor No OPQ : P z S z y No OPR : v O y R No OPS: x Q x

Operações com vetores na forma cartesiana Sejam v = (x 1, y 1, z 1) e u = (x 2, y 2, z 2) 1. Adição: v + u = (x 1+x 2, y 1+y 2, z 1+z 2) 2. Subtração: v - u = (x 1 -x 2, y 1 -y 2, z 1 -z 2) 3. Produto por escalar: Sejam v = (x, y, z) e m R m·v = (mx, my, mz)

Condição de paralelismo entre 2 vetores Sejam v = (x 1, y 1, z 1) e u = (x 2, y 2, z 2), vetores paralelos. Então eles são múltiplos, ou seja, existe um escalar m R, tal que v = m·u. Assim, teremos: (x 1, y 1, z 1) = m·(x 2, y 2, z 2) = (mx 2, my 2, mz 2)

Condição de coplanaridade entre 3 vetores Sejam u = (x 1, y 1, z 1), v = (x 2, y 2, z 2) e w = (x 3, y 3, z 3) coplanares. Então existe uma combinação linear entre eles, ou seja, existem escalares m e n tais que: u = mv +nw nw w u v mv (x 1, y 1, z 1) = m(x 2, y 2, z 2) +n(x 3, y 3, z 3)

Exemplos: 1) Os vetores u = (2, -1, 2) e v = (0, 1, 0) estão aplicados no mesmo ponto A. Determine um vetor AB, de módulo , cuja direção é a bissetriz do ângulo entre os vetores dados. 2) Sejam a = (1, 0, 0) e b = (1, 1, 0). Calcule o ângulo entre os vetores a + b e a – b. 3) Demonstrar a equação do ponto médio de um segmento.