APLICAES ADICIONAIS DA DERIVADA Aula 05 Matemtica I

APLICAÇÕES ADICIONAIS DA DERIVADA Aula 05 – Matemática I Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES PDB/Ano 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Gráfico dos gastos com armamentos dos países do antigo bloco soviético como porcentagem do PDB durante o período crucial de 1990 a 1995 que se seguiu à extinção da União Soviética. • Intuitivamente, sabemos que uma função f(x) é crescente quando a curva de f se inclina para cima e decrescente quando a curva se inclina para baixo.

DEFINIÇÃO

30 20 10 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -10 -20 -30 1 2 3 4 5 6

Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e o ponto de inflexão e justifique seu significado.

USO DA DERIVADA PERA DETERMINAR OS INTERVALOS EM QUE A FUNÇÃO F É CRESCENTE E DECRESCENTE

EXEMPLO 1 Valores Y 50 40 30 20 10 0 -4 -3 -2 -1 -10 -20 0 1 2 3 4

EXEMPLO 2

Valores Y 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 250

EXERCÍCIOS

f(x)=x²-4 x+5 f´(x)=2 x-4 30 4 25 2 0 20 -3 -2 -1 0 -2 15 -4 10 -6 5 -8 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 1 2 3 4

f(x)=x³-3 x-4 f´(x)=3 x²-3 20 30 15 25 10 20 5 15 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 10 -10 5 -15 0 -25 -4 -3 -2 -1 0 -5 1 2 3 4

300 125 250 100 75 200 50 150 25 100 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 50 -25 -50 -75 -100 -125 0 -3 -2 -1 0 -50 -100 -150 -175 -200 1 2 3 4

EXEMPLO Receita máxima?

EXTREMOS RELATIVOS A simplicidade dos gráficos das figuras anteriores pode ser enganadora. A figura a seguir mostra um gráfico mais geral. Observe que existem “picos” e “vales”. Mas só é possível traçar tangentes horizontais em alguns pontos. Em x 5 temos um “ponto de quebra”, não existe tangente. O ponto x 1 existe uma tangente horizontal que não é um pico nem um vale.

EXTREMOS RELATIVOS Como os métodos do cálculo podem ser usados para localizar e identificar os “picos” e “vales” de uma função? (o que, por sua vez, facilita o traçado da curva associada e ajuda a resolver problemas de otimização). Os “picos” de uma função f são chamados de máximos relativos de f e os “vales” são chamados de mínimos relativos. Os máximos e mínimos relativos são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.

EXTREMOS RELATIVOS

NÚMEROS CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS gráficos

Três pontos críticos (c, f(c)) nos quais f´(c)=0. Máximo Relativo Mínimo Relativo Nem máximo nem mínimo Relativo Como fica f´(x) em cada caso?

3 2. 5 Três pontos críticos (c, f(c)) nos quais não existe. 2 Máximo Relativo 1. 5 1 0. 5 0 0 2 4 6 18 4. 5 16 4 3. 5 14 3 12 2. 5 10 2 8 1. 5 6 1 4 0. 5 Nem Máximo nem Mínimo Relativo 2 0 0 1 2 Mínimo Relativo 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5

O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA PARA EXTREMOS RELATIVOS §Podemos usar o sinal da derivada para determinar os pontos críticos como máximos relativos, mínimos relativos ou nenhuma coisa nem outra. §Representar graficamente.

EXEMPLO

APLICAÇÕES Depois de determinar os intervalos nos quais a função f(x) é crescente ou decrescente e localizar os extremos relativos, podemos esboçar a curva da função. Segue uma descrição passo a passo do método para esboçar o gráfico de uma função contínua usando a derivada.

EXEMPLO

f(x)=x 4 +8 x 3 + 18 x²-8 30 25 20 15 10 5 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 -5 -10 1 2

g(x) = (3 -2 x-x²)1/2 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 -3. 5 -3 -2. 5 -2 -1. 5 -1 -0. 5 0 0. 5 1 1. 5

EXERCÍCIOS