APLICACIN DE LA DERIVADA El concepto de derivada

APLICACIÓN DE LA DERIVADA El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales.

APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA INGENIERIA DE SISTEMAS En ingeniería en sistemas, la derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que Esta rama de la Ingeniería va de la mano con todos las demás ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseño de algunos programas que involucren velocidades.

EJERCICIO 1. Se le pide a un Ingeniero de Sistemas crear un programa que permita calcula dos números cuya suma sea 100 y de forma que su producto sea máximo.

Incógnitas y Datos: x= Primer numero y= Segundo numero x+ y = 100 Función que hay que maximizar f(x, y) = xy Sujeto a x + y = 100 – x

Se escribe la función con una sola variable: f(x)= x (100 – x) f(x)= 100 x - X 2 Se calculan los máximos y mínimos relacionados: f´(x)= 100 - 2 x 100 – 2 x = 0 X = 50 Si x = 50 Entonces: y = 50

Se comprueba en la segunda derivada: f´(x)= -2 < 0 (-) = Máximo Relatívo El primer numero es: x = 50 El segundo numero es: y = 50

EJERCICIO 2. Un fabricante vende x artículos por semana a un precio unitario p que depende de x, según la expresión: p(x)=200 - 0. 01 x p en $ El costo total de produccion de x articulos es: C(x)= 50 x + 20000 $/sem

a) Calcula el número de artículos que el fabricante debe producir para obtener maxima ganacia y el correspondiente precio de venta por unidad. b) Supongamos que el estado fija un impuesto de $10 por cada unidad vedendida permaneciendo invariables las otras condicones. Que parte del impuesto debe absover el fabricante y cual debe transmitir al comprador para obtener maxima ganacia? Comprar la gancias antes y despues de establecido el Impuesto

SOLUCION. a) Precio unitario: p(x)= 200 – 0. 01 x $ Costo total: C(x)= 50 x + 20000 $ La ganacia G del fabricante sera: G=I–C (Ganacia = Ingreso – Costo) El ingreso obtenido por la venta de x articulos por semana se obtiene multiplicando el precio unitario p por el numero de articulos vendidos semanalmente x. I(x)= p. x = 200 x – 0. 01 x 2 $/sem Finalmente entonces: G(x)=(200 x – 0. 01 x 2) – 50 x+20000 G(x)= – 0. 01 x 2 + 50 x + 20000 $/sem x > 0

Como puedes observar la funcion ganacia es una simple funcion cuadratica concavidad negativa. Basta que verifiquemos que el vertice corresponde al maximo de la funcion en el intervalo [0, + ∞] para lo cual su abcisa debera ser: > 0. Derivando: = -0. 02 x + 150 Anulando: x = 7500 unidades / sem En consecuencia para maximizar sus ganacias, el fabricante deberá vender 7500 unidades / sem. El precio correspondiente sera: p(7500) = 200 - 0, 01. (7500) = 125 p = 125 $ / unidad

Al establecerse un impuesto de 10 $/unidad tendremos una nueva funcion ganancia G 1 tal que G 1(x)= – 0, 01 x 2 + 150 x - 20000 – 10 x G 1(x)=– 0, 01 x 2 + 140 x – 20000 Repitiendo para esta funcion lo hecho en la parte a) del ejercicio: = -0. 02 x + 140 Anulando: x = 7000 unidades / sem El nuevo precio sera: P(7000)= 200 – 0, 01. (7000)= 130 P= 130 $ / unidades

El precio de venta ha aumentado $ 5. 00 lo que te esta indicando que para obtener maxima ganacia que el fabricante tranmite al comprador la mitad del impuesto, absorviendo el, la otra mitad. Las respectivas ganacias serán: G(7500)= -0, 01 (7500)2 + 150 (7500) - 20000 = 542500 $/sem G 1(7000)= -0, 01 (7000)2 + 140 (7000) 20000 = 540000 $/sem

EJERCICIO 3. El ministerio de transporte Con el fin de determinar la variacion de la velocidad del flujo de vehiculos que ingresan a Sincelejo los dias domingo entre las 17: 00 horas y las 22: 00 horas, ha efectuado mediciones que indican que la velocidad del trafico a la entrada de la ciudad en ese lapso esta dada aproximadamente por la expresion: V(t)= km/h t=0 a las 17 horas En que momento entre las 17: 00 horas y las 22: 00 horas, el transito es mas rapido y en que momento es mas lento?

SOLUCION. t en horas, V en km/h Estudiaremos la funcion en el intervalo [0, 5] de (17 horas a 22 horas) km/h Puntos critico: Anulando:

Raíces: t 1 = 1 t 2 = 4 De acuerdo con los calculos realizados y siendo una funcion de tipo polinomico, podemos afirmar que el maximo absoluto se produce en t = 1 y el minimo absoluto en t = 4

EJERCICIO 4. El número total de bacterias (en miles) presentes en un cultivo después de t horas viene dado por: N(t) = 2 t(t – 10)2 + 50 a) Calcula la función derivada. b) Durante las 10 primeras horas, ¿en qué instante se alcanza la población máxima y la mínima?

SOLUCION. N’(t)= 2 (3 t 2 – 40 t + 100) N´(t) = 0 t = 10/3 t = 10 Maximo relativo: A(10/3, 9350/27) Minimo relativo: B(10, 50) Se comprueban los extremos del intervalo [0, 10] F(0)= 50

El minimo se alcanza en los extremos, es decir, en t= 0 y t= 10 con 50000 bacterias. El maximo se alcanza en t= 10/3 con 9350/27 = 346296 bacterias.